a) Déduction élémentaire.

Il s'agit de «passer» d'une information connue et sûre, une information qui en général nous est donnée dans l'énoncé* d'un problème, à une nouvelle information qui à priori était douteuse, mais qui devient par cette déduction, certaine, irréfutable*.

La première information est appelée la donnée*. La deuxième information est la conclusion* de la déduction. (Voir remarque R1).

Schéma logique d'une déduction élémentaire.

La légitimité de l'emploi du mot donc vient de l'outil. L'outil peut être une définition*, une propriété*, un théorème*, un axiome*... Nous tirons cet outil de nos connaissances. Il doit être pertinent* et sûr. Si l'outil n'est pas adapté ou faux, la déduction n'est pas correcte et la conclusion est fausse. (Remarque sur les outils)

La déduction élémentaire peut avoir plusieurs formes suivant que l'outil utilisé admette une ou plusieurs données, une ou plusieurs conclusions.

Exemple1.

Exemple 2.

Exemple 3.

b) La démonstration.

Démontrer c'est prouver, c'est à dire rendre certaine une information qui n'était jusque là que supposée (conjecture*). Après avoir fait une première déduction*, je peux considérer la conclusion comme certaine et m'en servir comme donnée dans une nouvelle déduction. Je construis ainsi un enchaînement de déductions.

Schéma logique.

La conclusion B de la première déduction devient la donnée de la deuxième déduction et ainsi de suite.

La déduction élémentaire est une brique. Le raisonnement déductif est un édifice construit avec ces briques. Voir R3.

Exemple.

L'exemple nous montre un enchaînement idéal où les déductions se suivent l'une après l'autre. Hélas nous avons vu que les briques qui composent ce type de raisonnement ont des formes variées. Aussi, très souvent, le schéma logique d'une démonstration* ressemble plus à un réseau qu'à une chaîne. Voici, par exemple, ce que pourrait être le schéma logique d'une démonstration.

A1, A2, A3 et A4 sont les données initiales, contenues sans doute dans l'énoncé. G est la conclusion finale de la démonstration.

c) Remarques.

R1. La donnée est aussi appelée hypothèse* ou condition* ou encore prémisse*. La conclusion est aussi appelée conséquence*.

R2. Les mathématiques, dans leur ensemble, sont construites à l'aide de ces briques élémentaires. Les mathématiciens sont sûrs de ce qu'ils avancent car ils savent que leurs propos ont été démontrés par eux-mêmes ou par d'autres. La démonstration est le ciment des mathématiques et représente l'activité principale des mathématiciens théoriciens. On ne peut rien construire sur quelque chose de douteux. Si la donnée est fausse la conclusion peut être vraie ou fausse. On ne peut rien dire. La quête du mathématicien est d'arriver à un maximum de résultats ( propriétés, théorèmes...) en réduisant au minimum les données initiales. Car si l'on veut aller au fond des choses, ces données initiales, les toutes premières données de la théorie, ne peuvent pas être démontrées ( sous peine de résumer la théorie à un serpent logique qui se mord la queue et qui ne dit rien, c'est à dire un cercle vicieux ou tautologie). Elles ont donc été admises, prises pour évidentes. Ces principes sont appelés les axiomes*. Tout ce qu'offre la théorie, c'est une vérité logique sur la base de ces axiomes. Si un axiome est remis en cause, c'est toute la théorie qui est remise en cause. On comprend pourquoi plus il y a d'axiomes et plus la théorie est faible. M. Riemann, célèbre mathématicien du XIX^e siècle se pencha avec d'autres sur l'axiome d'Euclide*. En refusant cet axiome*, il construisit une nouvelle géométrie* où il existe plusieurs droites distinctes* passant par un même point et toutes parallèles à une droite donnée, la sphère de Riemann. Mais nous sommes loin là de l'intuition* que l'on peut avoir de l'espace devant une feuille de papier.

R3. Il n'y a pas qu'un seul type de démonstrations* en mathématiques. Nous étudions ici le raisonnement déductif qui est basé sur un principe logique appelé modus ponens* et le théorème de substitution*. Un autre principe logique, le modus tollens*, est à la base du raisonnement par l'absurde, très peu étudié en collège, nous en voyons cependant un exemple en troisième, pour démontrer l'irrationalité de . Enfin les propriétés de l'ensemble (5^e axiome de Péano) sont à la base du raisonnement inductif* ou raisonnement par récurrence*; nous n'en traitons aucun exemple ici. Si nous ne parlons pas du raisonnement par l'absurde ou du raisonnement par récurrence dans ce chapitre, ils n'en demeurent pas moins des raisonnement importants et très utilisés. Il serait faux aussi de penser qu'il y a une « vision déductive » ou « inductive » ou « par l'absurde » des mathématiques. Le mathématicien utilise toute la gamme de raisonnements qu'il possède pour franchir les difficultés qu'il rencontre. Cependant des guéguerres ont eu lieu (crise des fondements), certains privilégiant le principe d'induction comme Henri Poincaré s'opposant à une mathématique empêtrée dans des principes logiques trop formels.

R4. Les propriétés et les outils, en général, peuvent très souvent se mettre sous la forme logique

<si> [A] <alors> [B].

A est l'hypothèse* et B, la conclusion*. Il faut bien faire la distinction entre la structure grammaticale d'une phrase et sa structure logique. Deux phrases différentes peuvent très bien être logiquement équivalentes. Par exemple la phrase «  Toutes les translations conservent les distances. » est équivalente à la phrase «  Si t est une translation alors t conserve les distances. ». Pour plus de détails sur les propriétés* et leurs réciproques* voir le cours de cinquième.

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