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\entete{}{}{}%g,d,b
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}
























 {\LARGE \textbf{Exercice spécialité \hfill 5 points}}

\bigskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \ouv. On prendra 1 cm
 pour unité graphique. 
 
\noindent On considère l'application $f$ du plan dans lui-même 
qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que

\[z' = -\left(\sqrt{3} + \I\right)z -1 +\I\left(1 + \sqrt{3}\right)\]

\begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est une similitude directe dont le centre $\Omega$ a pour
 affixe i. En déterminer le rapport et l'angle.

\item Soit M$_{0}$ le point d'affixe $z_{0} = \cfrac{\sqrt{3}}{4} + 
\cfrac{3}{4}\I$.

Calculer $\Omega$M$_{0}$ et donner une mesure en radians
de l'angle 
%$\left(\widehat{\ve{u}~;~\ve{\Omega 
%\text{M}_{0}}}\right)$.
$\anglevec{u}{\Omega M_0}$

\item On considère la suite des points	$\left(M_{n}\right)_{n \in \bbn}$ définie
pour tou0t naturel $n$ par $M_{n+1} =  f\left(M_{n}\right)$. On note 
$z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$.

\begin{enumerate} \item Placer les points $\Omega,~ \text{M}_{0},~ M_{1},~ M_{2},~ M_{3}$ 
et $M_{4}$.

\item Montrer par récurrence, pour tout entier naturel $n$, l'égalité 

\[z_{n} - \I = 2^n \E^{\I\frac{7n\pi}{6}}\left(z_{0} - 
\I\right).\]

En déduire que $z_{n} - \I = 
2^{n-1}\E^{\I\frac{(7n-1)\pi}{6}}$.

\item Pour tout $n$ entier naturel, calculer $\Omega M_{n}$
puis déterminer le plus petit entier $n$ tel que
$\Omega M_{n} \geqslant 10^2$.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item On considère l'équation (E) : $7n- 12k = 1$ où
$n$ et $k$ sont deux entiers relatifs.

Après avoir vérifié que le couple $(-5~;~ -3)$ est
solution, résoudre l'équation (E).

\item Soit $\Delta$ l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$
telle que $\textfrak{Im}(z) = 1$ et $\textfrak{Re}(z) \geqslant  0$.

Caractériser géométriquement et le représenter.

Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$
tels que $M_{n}$ appartienne à la demi-droite d'origine $\Omega$ dirigée
par le vecteur $\overrightarrow{u}$. Préciser son plus petit élément.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

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