\documentclass[11pt,svgnames]{article}
\usepackage{etex}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage[scaled=0.85]{luximono}
\usepackage{amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}
\usepackage{listings,keystroke}
\usepackage{xcolor,hyperref}
\usepackage[xcas]{pro-tablor,pro-courbes,pro-probas}
\usepackage[french]{varioref}
%\usepackage[dvips,final]{graphicx}
%\usepackage{bold-extra,fancyvrb}
%\usepackage{luximono}
\newcommand{\ie}{\leqslant}  % inferieur ou egal
\newcommand{\se}{\geqslant}  % superieur ou egal

\def\bbr{\mathbb{R}}%
\def\bbn{\mathbb{N}}%
\def\bbp{\mathbb{P}}%
\newcommand{\NumLecon}{}
\newcommand{\binomial}[2]{\displaystyle {#1 \choose #2}}


\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle
=\color{blue}\bfseries,basicstyle=\ttfamily\color{black!90},commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape,breaklines=true,backgroundcolor=\color{green!20},frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt,showstringspaces=false,stringstyle=\slshape,captionpos=b}


\newcommand{\MarqueCommandeGiac}[1]{%
    \color{red}$>\ $}
\newcommand{\MarqueLaTeXGiac}{%
    \color{blue}}
\newcommand{\InscriptionFigureGiac}[1]{%
    \begin{center}
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{#1}
    \end{center}}

% \definecolor{0.6white}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
% \definecolor{0.4white}{rgb}{0.4,0.4,0.4}
% \definecolor{0.8white}{rgb}{0.8,0.8,0.8}
% \definecolor{0.2white}{rgb}{0.2,0.2,0.2}
% \definecolor{0.9white}{rgb}{0.9,0.9,0.9}
%% On redéfinit l'allure des sections en gardant \section, etc.

\usepackage{sectsty,bclogo}

\newcounter{num}

\newcommand{\exot}[1]{\refstepcounter{num}

\vspace{.3cm}
\ifxetex
\textcolor{MidnightBlue}{\bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont{{\Large\bcdanger}\ \ { Exercice  \thenum\ \  #1} \\  }  }\par\nobreak 
 \vspace{0.5cm}
\else
\ifpdf
\textcolor{MidnightBlue}{\textbf{{{\Large\bcdanger}\ \ {\LARGE\fontfamily{ugq}\selectfont Exercice \thenum\ \  #1}} \\  }  }\par\nobreak 
 \vspace{0.5cm}
\else
  \psshadowbox*[fillcolor=green!50,framearc=.05]{\color{MidnightBlue}\bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont{\large\bcdanger}\ \  Exercice  \NumLecon  \thenum\ \  #1 \\    }\par\nobreak 

\normalsize
 \vspace{0.15cm}
\fi
\fi
}



\newlength{\largsec}
 \sectionfont{\def\currentsectioncolor{MidnightBlue}\setlength{\largsec}{1em}\LARGE
   \bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont\color{\currentsectioncolor}}
 \subsectionfont{\def\currentsectioncolor{blue!50!black}\setlength{\largsec}{1.9em}\Large\bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont\color{\currentsectioncolor}}
\subsubsectionfont{\def\currentsectioncolor{blue}\setlength{\largsec}{2.7em}\large\bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont\color{\currentsectioncolor}}
 \renewcommand\thesection{\Alph{section}}
 \renewcommand\thesubsection{\thesection\,\arabic{subsection}}
 \renewcommand\thesubsubsection{\thesubsection\,\alph{subsubsection} }
\setcounter{secnumdepth}{3}


\title{Correction Bac S France juin 2010\\ assistée par \texttt{XCAS} et \texttt{professor}}

\author{Guillaume CONNAN\\ \href{http://tehessin.tuxfamily.org}{http://tehessin.tuxfamily.org}}

\begin{document}


\setlength{\parindent}{0mm}

\maketitle

%\initablor






\exot{}

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
\item    La    fonction   $u$    est    dérivable    sur   $\bbr$.    On
  a: \[u'(x)=\mathrm{e}^{-x}-x \mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{-x}-u(x)\]

On en déduit que,  pour tout réel $x$, $u'(x)+u(x)=\mathrm{e}^{-x}$ donc
que $u$ est une solution de $(E)$.


%@Commande-1
\begin{lstlisting}
u(x):=exp(-x)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[\text{(x)\(\rightarrow\)exp(-x)}\]}}

%@Commande-2
\begin{lstlisting}
simplifier(deriver(u(x),x)+u(x))==exp(-x)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 0 \]}}

\item $(E')$ admet pour ensemble de solutions:

\[\mathcal S'=\bigl\{ x\mapsto \lambda \mathrm{e}^{-x},\ \lambda\in \bbr\bigr\}\]


%@Commande-3
\begin{lstlisting}
desolve(y'+y=0,y)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \mathrm{c\_0} e^{-x} \]}}



\item On sait que la fonction $u$ vérifie, pour tout réel $x$:

\[u'(x)+u(x)=\mathrm{e}^{-x}\]

\begin{eqnarray*}
v-u \text{ solution de (E')} &\Leftrightarrow& \forall x\in\bbr, \
v'(x)-u'(x)+v(x)-u(x)=0\\
&\Leftrightarrow& \forall x\in\bbr, \ v'(x)+v(x)=u'(x)+u(x)\\
&\Leftrightarrow& \forall x\in\bbr, \ v'(x)+v(x)=\mathrm{e}^{-x}\\
&\Leftrightarrow& v \text{ solution de (E)}
\end{eqnarray*}


\item Comme $v$ est une solution de $(E)$ si, et seulement si, $v-u$ est
  une solution de $(E')$, alors, d'après la question 2.

  \begin{eqnarray*}
     v \text{ solution de (E)} &\Leftrightarrow& \exists \lambda\in\bbr,
     \ \forall x\in\bbr, \ v(x)-u(x)=\lambda \mathrm{e}^{-x}\\
v \text{ solution de (E)} &\Leftrightarrow& \exists \lambda\in\bbr,
     \ \forall x\in\bbr, \ v(x)=x \mathrm{e}^{-x}+\lambda \mathrm{e}^{-x}\\
  \end{eqnarray*}

On en déduit que l'ensemble des solutions de $(E)$ est:

\[\mathcal S= \bigl\{x \mathrm{e}^{-x}+\lambda \mathrm{e}^{-x}, \ \lambda\in\bbr\bigr\}\]


%@Commande-4
\begin{lstlisting}
desolve(y'+y=exp(-x),y)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \mathrm{c\_0} e^{-x}+x e^{-x} \]}}
\end{enumerate}


\subsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
\item Étudions les variations de la fonction $f_k$ qui est dérivable sur
  $\bbr$:

\[f'_k(x)=\mathrm{e}^{-x}-(x+k)\mathrm{e}^{-x}=(1-k-x)\mathrm{e}^{-x}\]

Or  $\mathrm{e}^{-x}>0$ pour  tout réel  $x$.  On en  déduit le  tableau
suivant:

\begin{center}
  \begin{TV*}{101}
    TV([-infinity,+infinity],[],"f_k","x",(x+2)*exp(-x),1,n,\tv)
    \end{TV*}
  \end{center}

ce qui traduit que $f_k$ admet un maximum en $x=1-k$.

%@Commande-5
\begin{lstlisting}
fk(x):=(x+k)*exp(-x)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[\text{(x)\(\rightarrow\)(x+k)*exp(-x)}\]}}

%@Commande-6
\begin{lstlisting}
resoudre(deriver(fk(x),x)>=0,x)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ [x\leq (-k+1)] \]}}

\item Comme  $f_k(1-k)=\mathrm{e}^{-(1-k)}$, on  en déduit que  le point
  $M_k \bigl(1-k,f_k(1-k)\bigr)$ appartient à $\Gamma$.

\item
  \begin{enumerate}
  \item  La   fonction  $x\mapsto  \mathrm{e}^{-x}$   étant  strictement
    croissante  sur  $bbr$, il  est  facile  de  distinguer $\Gamma$  de
    $\mathcal C_k$:

\item Comme  $\mathrm{e}^{0}=1$, on en  déduit que $\Gamma$  coupe l'axe
  des ordonnées en  1 donc qu'une graduation correspond  à une unité sur
  l'axe des  ordonnées. Or $\Gamma$  coupe l'axe des ordonnées  au point
  d'ordonnée 2 donc:
\[f_k(0)=k=2\]

Enfin,  les  courbes  $\Gamma$  et  $\mathcal C_2$  se  coupent  sur  le
graphique en un point
d'abscisse $-1$  graduation. Or ce point  est $M_2$ qui  a pour abscisse
$1-2=-1$. On  en déduit  qu'en abscisse aussi,  une graduation  vaut une
unité.


\textit{On  aurait pu également  lire la  question suivante  et vérifier
  que 2 est une bonne valeur pour k...}


\begin{center}
\begin{pro-courbemulti}{1}
 [
 [exp(-x),"rouge"],
 [(x+2)*exp(-x),"bleu"],
 [1,"gris",[0,1]],
  [0,"noir",[0,2]]
 ],
 -4,5,-2,5, //xmin,xmax,ymin,ymax,
 0.75,0.75,1,1,1,1, //ux,uy,cx,cy,gx,gy,
 [ // ----------------- debut des options
 ["base"], // pour avoir les vecteurs de base
  ["point-courbe",1,-1,"$M_2$","lft","noir",["x"]],
  ["texte-courbe",1,-1.5,"$(@Gamma)$","urt","rouge"],
 ["texte-courbe",2,-2,"$({@cal C}_k)$","ulft","bleu"],
 ["aire-entre-courbes",2,4,0,2,"orange"],
 ["valeur-aire-entre-courbes",2,4,0,2,[1,1.5],"${@cal A} @approx$","rt","orange"]
 ]// ----------------- fin des options
\end{pro-courbemulti}
\end{center}
  \end{enumerate}


\item                                                              Posons
  $I=\displaystyle\int_{0}^{2}(x+2)\mathrm{e}^{-x}\;\mathrm{d}x$       et
  effectuons une intégration par parties:

\[
\begin{array}{ll}
                u(x)=x+2& v'(x)=\mathrm{e}^{-x}\\
                u'(x)=1& v(x)=-\mathrm{e}^{-x}
\end{array}
\]

On      en     déduit     que:      \[I=\Bigl[     -(x+2)\mathrm{e}^{-x}
\Bigr]_0^2+\displaystyle\int_{0}^{2}\mathrm{e}^{-x}\;\mathrm{d}x=-4
\mathrm{e}^{-2}+2- \Bigl[ -\mathrm{e}^{-x} \Bigr]_0^2=-4
\mathrm{e}^{-2}+2-\mathrm{e}^{-2}+1\]


Finalement, $I=-5\mathrm{e}^{-2}+3\approx 2,323 \mathrm{u.a.}$

%@Commande-7
\begin{lstlisting}
int((x+2)*exp(-x),x,0,2)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ -5 e^{-2}+3 \]}}

%@Commande-8
\begin{lstlisting}
int((x+2)*exp(-x),x,0,2.0)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[      2.323324 \]}}




\end{enumerate}


\exot{}

\begin{enumerate}
\item Les rôles des suites $(u_n)_{n\in\bbn}$ et $(v_n)_{n\in\bbn}$ étant symétriques, on peut
  supposer que  $(u_n)_{n\in\bbn}$ est croissante  et $(v_n)_{n\in\bbn}$
  décroissante.

Alors, d'après la propriété 1, on a, pour tout entier naturel $n$:

\[v_0 \geqslant v_n \geqslant u_n \geqslant u_0\]


On en déduit  que $(v_n)_{n\in\bbn}$ est décroissante et  minorée par le
réel $u_0$  et que $(u_n)_{n\in\bbn}$  est croissante et majorée  par le
réel  $v_0$.  D'après  la  propriété   2,  ces  deux  suites  sont  donc
convergentes.

Appelons  $\ell$ et $\ell'$  leurs limites  respectives, alors  la suite
$(u_n-v_n)_{n\in\bbn}$ qui converge vers 0 d'après la définition, admet
pour limite $\ell-\ell'=0$. On en conclut que les deux suites $(u_n)_{n\in\bbn}$
 et $(v_n)_{n\in\bbn}$ convergent vers la même limite.

\textit{Tiens, le même exercice qu'il y a cinq ans...}


\item
  \begin{enumerate}
  \item  Comme  $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{10^n}=0$,  les
    deux suites convergent vers 1.

De plus, pour tout entier naturel $n$, $v_n-u_n=\frac{2}{10^n}$ donc $(v_n-u_n)_{n\in\bbn}$ converge
vers 0. 

Enfin, pour         tout         entier        naturel         $n$, $u_{n+1}-u_n=\frac{9}{10^{n+1}}>0$ donc  $(u_n)_{n\in\bbn}$ est
croissante et $v_{n+1}-v_n=-\frac{9}{10^{n+1}}<0$ donc  $(v_n)_{n\in\bbn}$ est
décroissante.

Les deux suites sont donc adjacentes.
\item  Les deux  suites divergent  vers $+\infty$  donc ne  peuvent être
  adjacentes...

\item Les deux suites convergent vers 1. 

Cependant, pour         tout         entier        naturel         $n$,
$v_{n+1}-v_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}-\frac{(-1)^n}{n}=\frac{(-1)^{n+1}(n+(n+1))}{n(n+1)}$
est de signe alterné donc la suite $(v_n)_{n\in\bbn}$ n'est pas monotone
donc les suites ne peuvent être adjacentes.

%@Commande-9
\begin{lstlisting}
v(n):=1+((-1)^n)/n
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[\text{(n)\(\rightarrow\)1+((-1)\^{}n)/n}\]}}

%@Commande-10
\begin{lstlisting}
factoriser(v(n+1)-v(n))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{(-2 n-1) -1^{n}}{(n+1) n} \]}}

% attention bug

  \end{enumerate}

\item  La suite $(u_n)_{n\in\bbn}$  converge manifestement  en croissant
  vers 1. 


%@Commande-11
\begin{lstlisting}
u(n):=1-1/n
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[\text{(n)\(\rightarrow\)1-1/n}\]}}

%@Commande-12
\begin{lstlisting}
factoriser(u(n+1)-u(n))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{1}{(n+1) n} \]}}

%@Commande-13
\begin{lstlisting}
limite(u(n),n,+infinity)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 1 \]}}


Comme   $\displaystyle\lim_{n\to  +\infty}a+\frac{1}{n}=a$  et   que  la
fonction ln  est continue en  tout réel strictement positif  $a$, alors,
pour tout réel positif $a$ $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=\ln(a)$.

Pour que  les suites aient  la même limite,  il est donc  nécessaire que
$\ln(a)=1$, i.e. $a=\mathrm{e}^{}$.


Or,         pour         tout         entier        naturel         $n$,
$\mathrm{e}^{}+\frac{1}{n+1}<\mathrm{e}^{}+\frac{1}{n}$              donc
$v_{n+1}-v_n<0$ et la suite $(v_n)_{n\in\bbn}$ est décroissante.

On  a  donc  trouvé une  valeur  de  $a$  telle  que les  suites  soient
adjacentes.


%@Commande-14
\begin{lstlisting}
v(n):=ln(a+1/n)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[\text{(n)\(\rightarrow\)ln(a+1/n)}\]}}

%@Commande-15
\begin{lstlisting}
resoudre(limite(v(n),n,+infinity)=limite(1-1/n,n,+infinity),a)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ [e^{1}] \]}}


\end{enumerate}



\exot{}

\begin{enumerate}
\item Il faut choisir deux boules blanches parmi sept et une boule noire
  parmi trois.  Les tirages  de trois boules  quelconques parmi  les dix
  sont au nombre de $\binomial{10}{3}$.

La                probabilité                cherchée                est
donc \[\frac{\binomial{7}{2}\times\binomial{3}{1}}{\binomial{10}{3}}=\frac{21}{40}\]

%@Commande-16
\begin{lstlisting}
(binomial(7,2)*binomial(3,1))/binomial(10,3)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{21}{40} \]}}


\item Notons X la variable  aléatoire donnant le nombre de boules blanches
  obtenues.   X   suit   la   loi   binomiale   de   paramètres   5   et
  $\frac{7}{10}$. On en déduit que la probabilité cherchée vaut:
\[\bbp(X=2)=\binomial{5}{2}\times       \left(\frac{7}{10}\right)^2\times
\left(\frac{3}{10}\right)^3\]

\item Dressons un arbre avec des notations évidentes:

\begin{pro-arbre22}{1}
["B",7/10,"N"],
["U",1/6,1/4],
[                 // ----------------- debut des options
]                // ----------------- fin des options
\end{pro-arbre22}


\begin{pro-ana22}{1}
["B",7/10,"N"],
["U",1/6,1/4]
\end{pro-ana22}


La probabilité cherchée est $p_U(B)=\frac{14}{23}$.


\item La probabilité cherchée est:

\[p(1   \leqslant    X   \leqslant   3)=\displaystyle\int_{1}^{3}\lambda
\mathrm{e}^{-\lambda   t}\;\mathrm{d}t=\Bigl[  -\mathrm{e}^{-\lambda  t}
\Bigr]_1^3=\mathrm{e}^{-\lambda}-\mathrm{e}^{-3\lambda}\]

%@Commande-17
\begin{lstlisting}
int(k*exp(-k*t),t,1,3)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ -\left(e^{-k\cdot 3}\right)+e^{-k} \]}}


\end{enumerate}

\exot{}



\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item yaka calculer:

%@Commande-18
\begin{lstlisting}
a:=1+i*sqrt(3)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 1+(i) \sqrt{3} \]}}

%@Commande-19
\begin{lstlisting}
evalc(a^2-4*a)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ -6+(i) (-2 \sqrt{3}) \]}}

%@Commande-20
\begin{lstlisting}
evalc(2*conj(a)-8)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ -6+(i) (-2 \sqrt{3}) \]}}

\item                             On                             calcule
  $\left|\alpha\right|=\sqrt{1+3}=2=\left|\overline{\alpha}\right|$ donc
  B et C sont à la distance 2 de O et appartiennent donc à $\mathcal C$.

%@Commande-21
\begin{lstlisting}
abs(a)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 2 \]}}


  \end{enumerate}

\item
  \begin{enumerate}
  \item Voici la figure complétée:

    \begin{lstlisting}[caption={}]
A:=point(2);
O:=point(0);
C:=cercle(O,2);
B:=point(a);
C:=point(conj(a));
D:=point(2*exp((17*i*Pi/24)));
E:=rotation(O,Pi/3,D);
F:=milieu(B,D);
G:=milieu(C,E); 
triangle(A,F,G) 
    \end{lstlisting}


%@Commande-22
\begin{lstlisting}
read("figureBac.g");
\end{lstlisting}
\InscriptionFigureGiac{BacMetro2010-01.pdf}    



\item  La  rotation  de  centre  O et  d'angle  $\frac{\pi}{3}$  a  pour
  expression complexe:

\[z\mapsto  z  \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{3}}=z  \left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}
  \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\alpha}{2}z\]

On       en       déduit       que       $z_E=z_D\cdot\frac{\alpha}{2}=2
\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\frac{\alpha}{2}=\alpha \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}$.


%@Commande-23
\begin{lstlisting}
affixe(E)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ (\frac{1}{2}+\frac{(i) \sqrt{3}}{2})\cdot 2 e^{\frac{(17*i) \pi }{24}} \]}}

%@Commande-24
\begin{lstlisting}
evalc(affixe(E)-affixe(D)*a/2)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 0 \]}}




  \end{enumerate}

\item
  \begin{enumerate}
  \item On obtient successivement:
    \begin{eqnarray*}
z_F&=&\frac{z_B+z_D}{2}\\
&=& \frac{\alpha+2 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}}{2}\\
&=&\frac{\alpha}{2}+\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}
    \end{eqnarray*}

\item D'après 1.a. $\alpha^2-4\alpha=2\overline{\alpha}-8$. Or

  \begin{eqnarray*}
\frac{z_G-2}{z_F-2}&=&\frac{\frac{\alpha           \mathrm{e}^{\mathrm{i}
      \theta}+\overline{\alpha}}{2}-2}{\frac{\alpha}{2}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}
    \theta}-2}\\
&=&\frac{\alpha   \mathrm{e}^{\mathrm{i}  \theta}+\overline{\alpha}-4}{2
  \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+\alpha-4}\\
&=&\frac{\frac{1}{2}\left(2\alpha                  \mathrm{e}^{\mathrm{i}
      \theta}+2\overline{\alpha}-8\right)}{\frac{1}{\alpha}\left(2\alpha
    \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+\alpha^2-4\alpha\right)}\\
&=&\frac{\alpha}{2} 
  \end{eqnarray*}


%@Commande-25
\begin{lstlisting}
evalc((affixe(G)-2)/(affixe(F)-2))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{1}{2}+\frac{(i)}{2} \cdot \sqrt{3} \]}}

Or
$\frac{z_G-2}{z_F-2}=\frac{z_G-z_A}{z_F-z_A}=\frac{z_{\overline{AG}}}{z_{\overline{AF}}}$.

On                    en                    déduit                   que
$\frac{AG}{AF}=\frac{\left|\alpha\right|}{2}=\frac{2}{2}=1$.

Le triangle AFG est donc isocèle de sommet principal A.

Or
$\mathrm{Arg}\frac{z_{\overline{AG}}}{z_{\overline{AF}}}=\left(\overline{AF},\overline{AG}\right)=\mathrm{Arg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\pi}{3}\bigl[ 2\pi
\bigr]$.

Le triangle  isocèle AFG  ayant un angle  de mesure  $\frac{\pi}{3}$ est
donc équilatéral.

  \end{enumerate}

\item Complétons le tableau de variations:

  \begin{center}
    \begin{TV}
      TV([-pi,pi],[],"f","x",4-3*cos(x)+sqrt(3)*sin(x),0,t,\tv)
      \end{TV}
    \end{center}


On en déduit que $AF^2$ admet  un minimum sur $[-\pi,\pi]$ qui vaut $4-2
\sqrt{3}$  donc  AF  aussi car  $AF>0$  et  la  fonction carré  est  une
bijection strictement croissante sur $\bbr_+$.

\end{enumerate}


%\nettoyer

\end{document}

