

\modenormal
\chapterimage{shadok}


\chaptertext{Les  nombres  complexes  portent  mal  leur  nom! Ils SIMPLIFIENT de nombreux domaines dans lesquels ils   interviennent
partout  : en  algèbre, en  analyse, en  géométrie, en  électronique, en
traitement du signal,  en musique, etc. Et en plus,  ils n'ont jamais la
même  apparence  :  tantôt  sous  forme algébrique,  tantôt  sous  forme
trigonométrique, tantôt sous forme  exponentielle, ... Leur succès vient
en fait de  deux propriétés : en travaillant  sur les nombres complexes,
tout polynôme admet un nombre de racines égal à son degré et surtout ils
permettent de calculer  facilement en dimension 2. Ce  n'est pas clair ?
Alors commençons  par parcourir  le deuxième millénaire  qui a  vu mûrir
petit à petit cette notion dans les esprits. }

\chapter{COMPLEXES - Épisode I}



\section{Approche historique}


\subsection{Les équations du second degré}

Depuis plus de \numprint{3000} ans  on sait résoudre ce que l'on appelle
aujourd'hui  des équations  du second  degré. Cependant,  très  tôt, les
Babyloniens, par exemple, sont restés bloqués au moment de résoudre des équations du
troisième degré. Il  faut attendre le XI\up{e} siècle  pour qu'un savant
perse commence à entrevoir une méthode approchée de résolution.

Toute cette section doit beaucoup aux activités proposées par Anne \textsc{Boyé}
dans    \textit{Images,    imaginaires,    imaginations}    paru    chez
\textit{Ellipses en 1998} (pages 122-173)
\subsection{Résolution géométrique de l'équation x\up{3}+ax=b}


\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
  \begin{minipage}[t]{3.2cm}
    \begin{figure}
      \includegraphics[width=3cm]{omar}
      \caption*{Omar \textsc{Khayyam} (1048-1131)\\}
    \end{figure}
  \end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-5cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
  
\end{minipage}


{
Au XI\up{e} siècle vécut en Perse Ghiyath ed-din Abdoul Fath Omar Ibn Ibrahim al-Khayyam
Nishabouri, ou plutôt:
\begin{otherlanguage}{farsi}
غياث الدین ابو الفتح عمر بن ابراهیم خیام نيشابوری
\end{otherlanguage}, 
 plus connu sous le nom d'Omar Khayyam.  
Il fut un poète joyeux et insouciant:
 \begin{verse}
  {\small \it La Roue tourne, insoucieuse des calculs des savants.\\
 Renonce à t’efforcer vainement de dénombrer les astres.\\
 Médite plutôt sur cette certitude: tu dois mourir, tu ne rêveras
 plus, \\
Et les vers de la tombe ou les chiens errants
 dévoreront ton cadavre. }
 \end{verse}}


\medskip

mais  aussi  un mathématicien  visionnaire  qui,  avec quelques  siècles
d'avance sur les savants  européens, découvrit des résultats importants
concernant la résolution des  équations du troisième degré. Son approche
est géométrique  et ne  permet d'obtenir qu'une  approximation graphique
d'une solution.

Omar ne considérait que des équations à coefficients positifs.




Nous   allons   par   exemple nous occuper de:

$$x^3+ax=b \qquad (E)$$

où $x$, $a$ et $b$ désignent  des nombres réels positifs mais jouant des
rôles différents:

\begin{itemize}
\item $x$  est l'\emph{inconnue} de l'équation; le  but du jeu est  en effet de
  déterminer  les  (ou  des...)  nombres réels  positifs  qui  satisfont
  l'équation (E);
\item  $a$  et $b$  sont  des  \emph{paramètres}:  plutôt que  d'étudier
  séparément des équations comme  $x^3+2x=1$, $x^3+x=7$, ..., Al Khayyam
  avait compris  qu'elles pouvaient être résolues  de manière similaire,
  quelque soit les valeurs positives prises par $a$ et $b$. Les solutions de
  l'équation dépendront donc de ces paramètres. 
\end{itemize}

Nous allons donc résoudre \emph{qualitativement } l'équation (E).


\subsubsection{Paraboles et cercles}

Dans le premier quadrant d'un repère orthonormal, considérons la branche
de 
parabole d'équation  $y=\frac{x^2}{\sqrt{a}}$ et le  demi-cercle passant
par  l'origine  du repère,  centré  sur l'axe  des  $x$  positifs et  de
diamètre $\frac{b}{a}$.

\begin{recherche}
Démontrez que  l'abscisse du point  d'intersection de ces  deux courbes,
distinct de l'origine, est solution de (E). 
\end{recherche}

\subsubsection{Paraboles et hyperboles}

Voyons les choses autrement:

\begin{eqnarray*}
(E)&\Leftrightarrow& x(x^2+a)=b\\
(E)&\Leftrightarrow& x^2+a=\frac{b}{x} \quad \text { ou } \quad x=0
\end{eqnarray*}


\begin{recherche}

Comment interpréter géométriquement ce résultat?
\end{recherche}






\subsection{La Renaissance italienne}



\subsubsection{Un saut dans l'espace-temps: combien l'équation x\up{3}+px+q=0 a-t-elle
 de solutions dans  R~?}
Historiquement,  c'est en essayant  de résoudre  cette équation  que les
mathématiciens italiens  du XVI\up{e} siècle eurent pour  la première fois
l'idée d'utiliser des nombres dont le carré est négatif. Nous qui vivons
au XXI\up{e}, nous avons des outils pour dénombrer les solutions. 

Considérons donc la fonction $f~:~x\mapsto x^3+px+q$ avec $p$ et $q$ des
entiers. En étudiant cette  fonction, nous allons vérifier qu'elle admet
toujours au  moins une solution réelle  et même déterminer  le nombre de
solutions selon les valeurs de $p$ et $q$. 

\sm

Comme                               $\Lim{-\infty}f(x)={-\infty}$,
$\Lim{+\infty}f(x)={+\infty}$ et que 
$f$  est continue  sur $\bbr$,  le Théorème  des  Valeurs Intermédiaires
assure l'existence d'une  valeur d'annulation de $f$ car  elle change de
signe\footnote{  comme nous le  verrons dans  un prochain  chapitre mais
  l'idée paraît naturelle!... }

\sm
\begin{recherche}
  

Calculez la dérivée de $f$.

\end{recherche}

  Quel
est son signe ? Distinguons deux cas : 

\begin{itemize}
\item $\mathbf{p\geq}$ \textbf{0} : alors la dérivée est strictement positive sur
  $\bbr^*$, donc $f$ ne s'annule qu'une fois. 
\item $\mathbf{p <}$ \textbf{0} : alors la dérivée s'annule en deux valeurs
  opposées {$\pm\sqrt{-\frac{p}{3}}$}  que nous appellerons  $a$ et
  $-a$. 


\end{itemize}

On 
  obtient donc le tableau de variations suivant~: 

\medskip

 \begin{center}
\begin{tabular}{|c|lcccccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $-a$ & &$a$&  &$+\infty$\\
\hline
Signe $f'(x)$ & &$+$ &0 &$-$&0 &$+$ & \\
\hline
 & & &$f(-a)$ & & & &$+\infty$\\
$f(x)$& &\croi& &\dec&   & \croi & \\
 &$-\infty$ & & & &$f(a)$ & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

Maintenant, il  faudrait connaître les  signes respectifs de  $f(-a)$ et
$f(a)$ pour  savoir si $f$  s'annule sur les  intervalles $]-\infty,a]$,
$[-a,a]$ et $[a,+\infty[$. 


\begin{recherche}
 Montrez que $f(a)=q-2a^3$ et  $f(-a)=q+2a^3$ en utilisant le fait que
 $f(a)=0$. 

Que vaut $f(a)\cdot f(-a)=$?

Pourquoi a-t-on $f(a)<f(-a)$?

Entamez alors la discussion en distinguant trois cas (\textit{ Si $f(a)$ et $f(-a)$ sont tous deux de même signe, c'est à dire si
  $f(a)\cdot f(-a)>0$ soit encore si $4p^3+27q^2>0$ 
alors $f$ ne s'annule qu'une seule fois et...})

\end{recherche}


\subsubsection{Résolvons ces équations}

\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
  \begin{minipage}[t]{3.2cm}
    \begin{figure}
      \includegraphics[width=3.2cm]{ArsMagna}
      \caption*{Girolamo \textsc{Cardano} (1501-1576)\\}
    \end{figure}
  \end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-4.5cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
  
\end{minipage}
{Plaçons-nous maintenant dans le cas $4p^3+27q^2>0$. Nous savons qu'alors
l'équation admet une unique solution réelle. 

%\break

Giralomo \textsc{Cardano} a établi en 1547 que cette solution est 

$$\sqrt[3]{\fr{-q}{2}+\sqrt{\fr{q^2}{4}+\fr{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\fr{-q}{2}-\sqrt{\fr{q^2}{4}+\fr{p^3}{27}}}$$ 

Vous  pouvez essayer de le prouver en
  posant $x=u+v$ et en  résolvant un système d'équations d'inconnues $u$
  et $v$.

}

\sm




\begin{recherche}
Utilisez cette formule pour trouver une solution de $(E_1)~:\
x^3-36x-91=0$ 

\end{recherche}

On voudrait faire de même avec $(E_2)~:~x^3-15x-4=0$. Un problème apparaît...

\begin{recherche}
Admettons qu'on puisse prolonger  les calculs usuels aux racines carrées
de nombres négatifs en utilisant le \og{}symbole\fg{} $\sqrt{-1}$.

Utilisons alors la formule de notre ami italien. 
\end{recherche}


Bon,  on ne  semble pas  très avancé.  Alors un  petit coup  de  pouce :

\begin{recherche}
calculez $\pa{2+\sqrt{-1}}^3$ et $\pa{2-\sqrt{-1}}^3$ 
\end{recherche}


On trouve  alors une solution  réelle $\alpha$ de $(E_2)$.  Or $4p^3+27q^2$
est négatif, donc on devrait  trouver deux autres racines réelles. Comme
on  en a  une,  cela veut  dire  qu'on peut  factoriser $x^3-15x-4$  par
$x-\alpha$.


\begin{recherche}
 Faites-le ! 


Déduisez-en les deux autres solutions réelles.
\end{recherche}

Ainsi,  à partir de  ces travaux,  les mathématiciens  ont eu  l'idée de
prolonger les calculs algébriques aux expressions comportant des racines
carrées négatives.  Il faudra  attendre le XIX\eme  siècle pour  que ces
nombres \og{}qui ne faisaient que  passer\fg{} aient droit de cité et soient
étudiés rigoureusement.  Il faudra attendre  la même époque pour  que le
héros  romantique  Évariste  \textsc{Galois}  propose  une  étude  théorique  des
équations de degré supérieur à 2, mais ceci est une autre histoire... 
 








\subsection{\textsc{Descartes} et les imaginaires}





\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
  \begin{minipage}[t]{3.2cm}
    \begin{figure}
      \includegraphics[width=3.cm]{rene}
      \caption*{René  \textsc{Descartes} (1596-1650)\\}
    \end{figure}
  \end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-5.cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
\end{minipage}



Presqu'un siècle après \textsc{Cardano,  Bombelli} e tutti quanti, cette
racine carrée de $-1$ continue (et continuera) de faire peur.

Voici ce qu'écrit \textsc{Descartes} en 1637

\begin{quote}
  \textit{Au reste tant les vrayes racines  que les fausses ne sont pas toujours
  réelles, mais quelquefois seulement \textbf{imaginaires}; c'est-à-dire
  qu'on peut  bien toujours  en imaginer autant  que j'ay dit  en chaque
  équation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde
  à celle  qu'on imagine;  comme encore qu'on  puisse imaginer  trois eb
  celle-ci $x^3-6xx+13x-10=0$,  il n'y en a toutefois  qu'une réelle qui
  est 2;  et pour les  autres, quoy qu'on  les augmente, ou  diminuë, ou
  multiplie en  la façon  que je viens  d'expliquer, on ne  sçauroit les
  rendre autres qu'imaginaires.}
\end{quote}



\begin{recherche}
Résolvez  l'équation proposée  par \textsc{Descartes}  en tenant
  compte du renseignement qu'il donne.
\end{recherche}


\subsection{Une notation malheureuse}


\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
  \begin{minipage}[t]{3.2cm}
    \begin{figure}
      \includegraphics[width=3.cm]{euler}
      \caption*{Leonhard  \textsc{Euler} (1707-1783)\\}
    \end{figure}
  \end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-5.5cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
\end{minipage}


En 1774,  le mathématicien suisse  Leonhard \textsc{Euler} remarque
  que la notation $\sqrt{-1}$ peut prêter à confusion.

En effet, dans le cas où \textit{$a$ est un nombre positif}, vous avez appris que
\textit{$\sqrt{a}$ désigne le nombre positif dont le carré vaut $a$}.

Cela se traduit par l'égalité: $$\text{Pour tout réel positif } a, \ \left(\sqrt{a}\right)^2=a$$


\begin{recherche}
\begin{itemize}
\item Vous avez de même établi que $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$.
Sauriez-vous le démontrer en utilisant la définition rappelée ci-dessus?

\item Si l'on  généralise cette dernière règle à tous  les réels, à quoi
  devrait être égal:
  \begin{itemize}
  \item[$\triangleright$] $\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}$?
  \item[$\triangleright$] $\left(\sqrt{-1}\right)^2$?
\end{itemize}  
\item Qu'en pensez-vous?
  \item Calculez de même $\sqrt{-2}\cdot \sqrt{-3}$ de deux manières différentes.
  
\end{itemize}
\end{recherche}

Pour pallier à ces  contradictions, \textsc{Euler} décide de désigner ce
nombre $\sqrt{-1}$ par la lettre i (i comme...).

Ainsi: $$\I^2=-1$$

Cette notation  ne sera pas adoptée  tout de suite mais  c'est elle dont
l'usage est largement répandue de nos jours et que nous utiliserons.

\begin{recherche}
  À l'aide de cette  notation, écrivez le plus simplement possible
  les nombres qui ont pour carré $-25$; $-2$; ${- \sqrt{3}}$
\end{recherche}



\subsection{Une représentation géométrique des nombres}

\subsubsection{Une même idée jaillie de trois esprits indépendants}


Il vous est  naturel de représenter des nombres  sur une droite graduée,
de visualiser  ce que  peut être un  nombre négatif, l'addition  de deux
nombres mais cela nous cantonne à nous promener sur une droite.

D'un  autre  côté,  les  nombres,  depuis l'antiquité,  ne  trouve  leur
validité auprès des mathématiciens (et  aussi de leurs élèves) que si on
peut les \og construire \fg{}.

Or, voilà que  l'espace mathématique est de plus en  plus envahi par ces
nombres imaginaires qui  continuent à tordre les esprits  car on ne peut
pas les \og voir\fg{}.






\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
  \begin{minipage}[t]{3.2cm}
    \begin{figure}
      \includegraphics[width=3.cm]{argand}
      \caption*{Jean-Robert  \textsc{Argand} (1768-1822)\\}
    \end{figure}
  \end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-5.5cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
\end{minipage}


Alors  que les  plus grands  esprits  depuis trois  siècles essayent  de
donner vie  à ces nouveaux nombres  fort utiles, la lumière  va venir en
1799 d'un
modeste  arpenteur-géomètre danois inconnu  de tous  (et qui  le restera
car il va publier  son mémoire en danois et sera donc  peu lu pendant un
siècle avant d'être enfin traduit!), Caspar \textsc{Wessel} , et presque
simultanément (1806) d'un tout aussi modeste libraire suisse installé à Paris,
Jean-Robert  \textsc{Argand}, et  enfin  d'un prêtre  français exilé  en
Angleterre et mathématicien amateur, Adrien-Quentin \textsc{Buée}.

Leurs résultats ne seront  acceptés que lorsqu'ils seront re-découverts par
des savants illustres dont le brillantissime \textsc{Gauss}.


\subsubsection{Les Français rationnels}


Pour les  deux francophones, il s'agissait de  trouver une signification
géométrique plausible pour ces nombres. 

\begin{recherche}
  Considérez un triangle EIA quelconque  et soit K le projeté orthogonal
  de E sur [IA].
Montrez que $$KA\cdot KI=KE^2$$
\end{recherche}


M. \textsc{Argand} nous demande alors  de considérer un cercle de centre
K, de diamètre  [IA] et tel que E  soit l'image de A par  la rotation de
centre K et d'angle $\frac{\pi}{2}$. 

On  associe à K  le nombre  0, à  A le  nombre 1.  Il est  alors naturel
d'associer à I le nombre $-1$.

\begin{recherche}
  Quel nombre peut-on associer à E ?
\end{recherche}


\subsubsection{Le Danois pratique}

L'arpenteur  \textsc{Wessel} a lui  une vision  plus dynamique:  il veut
représenter  des directions  par des  nombres, non  plus sur  une droite
seulement (positifs  et négatifs) mais sur  un plan (le  plan des cartes
qu'il doit dessiner!).

Laissons-le parler:

\begin{quote}
  {\itshape
Le présent essai a pour objet la question de savoir comment la direction
doit  être représentée analytiquement,  c'est-à-dire comment  on devrait
exprimer  les segments  de  droites,  si l'on  voulait,  au moyen  d'une
équation unique et entre un segment inconnu et d'autres segments donnés,
trouver  une  expression  représentant  à  la fois  la  longueur  et  la
direction du segment inconnu.
}
\end{quote}


\begin{recherche}
  Petite  pause: comment appelleriez-vous  ces fameux  segments orientés
  dont parle l'auteur?
\end{recherche}

\begin{quote}
  {\itshape
[..] Essayons donc de  généraliser la signification des opérations: n'en
bornons pas, comme on l'a  fait jusqu'à présent, l'usage aux segments de
droite de  même sens ou  de sens opposés  [...]. Si en même  temps qu'on
prend cette liberté, on respecte les règles ordinaire des opérations, on
ne  tombe point en  contradiction avec  l'ancienne théorie  des nombres,
mais on la développe seulement, on s'accommode à la nature des quantités
et on observe  la règle générale qui commande de  rendre, petit à petit,
plus aisé à comprendre une théorie difficile.[...] Par là précisément [...]
non seulement on réussit à éviter toutes les opérations impossibles et à
expliquer   ce  paradoxe   qu'il  faut   quelquefois  avoir   recours  à
l'impossible  pour expliquer  le  possible, mais  encore  on parvient  à
exprimer la  direction des segments de  droite situés dans  un même plan
d'une manière  aussi analytique que  leur longueur. Or il  faut convenir
que la démonstration générale  de théorèmes géométriques devient souvent
plus  facile   lorsqu'on  sait  exprimer  la   direction  d'une  manière
analytique et  la soumettre aux  règles des opérations  algébriques, que
lorsqu'on  est réduit  à  la représenter  par  des figures  qui ne  sont
applicables qu'à  des cas particuliers.\footnote{Caspar \textsc{Wessel},
  \textit{Essai sur  la représentation  analytique de la  direction}, pp
  3-5 de la traduction française disponible sur Gallica \href{http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99681g.r=caspar+wessel.langFR}{http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99681g.r=caspar+wessel.langFR}} 
}
\end{quote}

Voici résumé par  un homme de terrain en quelques  phrases ce qu'il faut
comprendre sur ces nouveaux nombres qui sont l'objet de notre étude.

\begin{recherche}
  Commentez ce court extrait de l'introduction de l'essai de \textsc{Wessel}.
\end{recherche}


\subsubsection{Somme des nombres imaginaires}

Voici  comment   \textsc{Wessel}  présente  son   addition  de  segments
orientés:

\begin{quote}
  {\itshape
L'addition  de deux  segments se  fait de  la manière  suivante:  on les
combine en faisant partir l'un d'un point où l'autre se termine; puis on
joint par un nouveau segment les deux bouts de la ligne brisée ainsi obtenue.\footnote{Ibid page 7}
}
\end{quote}

\begin{recherche}
Ça vous rappelle quelque chose? Que pensez-vous des termes utilisés?
\end{recherche}


\subsubsection{Produit de nombres imaginaires}

\textsc{Wessel} établit les règles suivantes:

\begin{quote}
  {\itshape
[...]
\begin{itemize}
\item Quant  à la  longueur, le  produit doit être  à l'un  des facteurs
  comme l'autre est à l'unité;
\item En ce qui concerne la direction du produit, si l'on fait partir de
  la même origine l'unité positive, les facteurs et le produit, celui-ci
  doit [...] dévier  de l'un des facteurs d'autant de  degrés et dans le
  même sens que  l'autre facteur dévie de l'unité,  en sorte que l'angle
  de direction du produit ou sa déviation par rapport à l'unité positive
  soit égale à la somme des angles de direction des facteurs.
\end{itemize}

Désignons par  $+1$ l'unité rectiligne, par $+\epsilon$  une autre unité
perpendiculaire à la première et ayant la même origine: alors l'angle de
direction  de  $+1$   sera  égal  à  0\textdegree,  celui   de  $-1$  à
180\textdegree,  celui  de $+\epsilon$  à  90\textdegree  et celui  de
$-\epsilon$ à  -90\textdegree ou à  270\textdegree; et selon  la règle
que l'angle  de direction  du produit est  égal à  la somme de  ceux des
facteurs, on aura: 

$(+1)\cdot(+1)=+1$,    $(+1)\cdot(-1)=-1$,
$(-1)\cdot(-1)=+1$,                     $(+1)\cdot(+\epsilon)=+\epsilon$,
$(+1)\cdot(-\epsilon)=-\epsilon$,       $(-1)\cdot(+\epsilon)=-\epsilon$,
$(-1)\cdot(-\epsilon)=+\epsilon$,
$(+\epsilon)\cdot(+\epsilon)=-1$,
$(+\epsilon)\cdot(-\epsilon)=+1$, $(-\epsilon)\cdot(-\epsilon)=-1$.

Il en résulte que $\epsilon$ est  égal à $\sqrt{-1}$ et que la déviation
du produit est déterminée de telle sorte qu'on ne tombe en contradiction
avec aucune des règles d'opérations ordinaires.\footnote{Ibid page 9}
}
\end{quote}


\begin{recherche}
  Illustrez par des schémas ce qui est clairement exposé par \textsc{Wessel}.
\end{recherche}


On peut donc  représenter un nombre à l'aide  d'une \og longueur\fg{} et
d'une \og  déviation\fg{} (que nous  appellerons bientôt \textit{module}
et \textit{argument}).

\begin{recherche}
  Dans  un  repère  orthonormal  orienté, représentez  les  nombres  \og
  impossibles\fg{} suivant les préconisations de \textsc{Wessel}:

  \begin{multicols}{4}
    \begin{itemize}
    \item $z_1~:~\left[2,\frac{\pi}{2}\right]$ 
     \item $z_2~:~\left[2,\frac{4\pi}{3}\right]$ 
     \item $z_3~:~\left[\frac{3}{2},-\frac{\pi}{4}\right]$
     \item $z_4~:~\left[\frac{2}{3},\frac{\pi}{4}\right]$
     \item $z_5~:~\left[2,\frac{\pi}{2}\right]$ 
     \item $z_6~:~\left[1,\frac{\pi}{2}\right]$
     \item $z_7~:~\left[2,\frac{3\pi}{2}\right]$
    \item $z_8~:~\left[1,\frac{5\pi}{2}\right]$
     \item $z_9~:~\left[\frac{2}{3},\pi\right]$ 
     \item $z_{10}~:~\left[\frac{3}{2},2\pi\right]$    
    \end{itemize}
  \end{multicols}


\sm

Calculez  ensuite le produit  deux à  deux des  six premiers  nombres en
présentant vos résultats dans un tableau.

\sm

Construisez les \og images\fg{} de $z_3\cdot z_6$ et $z_1\cdot z_3$.

\sm 

Résolvez les deux équations suivantes:


$$(E_1)~:~\left[\frac{3}{2},-\frac{\pi}{4}\right]\cdot
z=\left[3,\frac{\pi}{12}\right]
\qquad (E_2)~:~\left[2,\frac{\pi}{3}\right]\cdot
z=\left[1,\frac{\pi}{6}\right]$$

\sm


Écrivez    la   suite   des    puissances   entières    successives   de
$\left[1,-\frac{\pi}{3}\right]$.

Faites de même avec $\left[r,\theta\right]$. Des commentaires?


\end{recherche}


\subsection{\textsc{Gauss}: clair et génial}


Beaucoup   de   légendes   circulent   au  sujet   de   Carl   Friedrich
\textsc{Gauss}, fils d'un modeste jardinier, 
qui  aurait  commencé  sa  carrière  mathématique très  tôt  en  donnant
instantanément à
dix ans la somme des termes d'une suite arithmétique très compliquée, aurait
dit \og dites  lui d'attendre un moment que  j'aie fini\fg{} alors qu'on
lui  annonçait  que  sa  femme  se  mourrait  au  milieu  d'une  de  ses
démonstrations.  Sa  devise  était  \textit{pauca  sed  matura}  ce  qui
explique qu'il ait  publié des résultats bien des  années après en avoir
eu l'intuition.

Ceci  étant, il  donna  dans sa  thèse  de Doctorat  parue  en 1799  une
première    démonstration   de   ce    qu'on   appellera    ensuite   le
\textit{théorème fondamental de l'algèbre},  à savoir que toute équation
de degré  $n$ a $n$  solutions pouvant s'écrire  sous la forme  $a+\I b$
avec $a$  et $b$ des  nombres réels et  $\I$ le fameux nombre  dont nous
parlons depuis le début de ce cours.


Il appellera plus tard (1831) l'ensemble de tous ces nombres \textit{ensemble
  des  nombres   complexes},  les  opérations  valables   dans  $\R$  se
prolongeant  dans cet  ensemble comme  nous l'avons  découvert  dans les
paragraphes précédents.


\begin{recherche}
  Essayez d'écrire les  nombres suivant sous la forme  $x+\I y$ avec $x$
  et $y$ des nombres réels et $\I$ le nombre de carré $-1$:

$(3+5\I)+(9-2\I)~;~(3-4\I)-(-1+\I)~;~(a+b\I)+(c+d\I)~;~4(2+7\I)~;~(4+3\I)(2+\I)\\
(-2-\I)(3+2\I)~;~(a+b\I)(c+d\I)~;~(a+\I
b)^2~;~(a+\I b)(a-\I b)$
\end{recherche}



Douze  ans  plus  tard,  il  évoque dans  une  lettre  au  mathématicien
Friedrich \textsc{Bessel} un résultat qu'il ne publiera qu'en 1831:

\begin{quote}
{\itshape
  De  même qu'on  peut  se  représenter tout  le  domaine des  quantités
  réelles  au moyen d'une  ligne droite  indéfinie, de  même on  peut se
  représenter le domaine complet de toutes les quantités, les réelles et
  les  imaginaires,  au  moyen  d'un  plan indéfini,  où,  chaque  point
  déterminé par son abscisse $a$ et son ordonnée $b$, représente en même
  temps la quantité  $a+b\I$. Le passage se fait  par conséquent suivant
  une ligne, et peut donc s'effectuer d'une infinité de manières.}
\end{quote}

% je suis malade mais  je veux que tu me fasses un  gros câlin rugby parce
% que tu est le plus gentil papa  du monde gros bisous rose connan mon nom
% de jeu c'est elisa blyton


\begin{recherche}
Que vous rappelle l'idée exposée par \textsc{Gauss}?

Dans  le   plan  muni  d'un   repère  orthonormal,  placez   les  points
correspondant à:

$$1~;~\I~;~-\I~;~2-\I~;~1+\I~;~3-2\I~;~\frac{1+\I \sqrt{3}}{2}$$


Les nombres réels  sont-ils des nombres complexes? Sur  quelle partie du
plan  complexe  se représentent-ils?  Quelle  propriété caractérise  les
nombres représentés sur l'axe des ordonnées du plan complexe?

Comment peut-on rapprocher les formulations $[r,\theta]$ et $a+\I b$?
\end{recherche}



Pour finir,  une dernière citation de \textsc{Gauss}  qui nous permettra
de méditer sur les aléas du progrès scientifique:

\begin{quote}
  {\itshape
Jusqu'à  ce jour on  avait surtout  discuté sur  la théorie  des nombres
complexes  d'un mauvais  point  de  vue, on  avait  senti une  obscurité
mystérieuse.  Mais la  raison de  ceci est  en grande  partie due  à une
dénomination  maladroite.  Si on  n'avait  pas  caractérisé $+1$,  $-1$,
$\sqrt{-1}$  par  unité positive,  négative,  imaginaire  (ou plus  fort
impossible), mais  par unité  directe, inverse et  latérale, l'obscurité
mentionnée n'aurait pas surgi.

}
\end{quote}







\section{Approche \og moderne\fg{}}

\pro Vous savez  <<~compter en dimension 1~>>, c'est  à dire additionner
et multiplier des nombres réels qu'on peut représenter sur la droite des
réels : 

\bigskip

\begin{center}
\includegraphics{limfonc.32}
\end{center}


Faute  d'outils  plus rigoureux\footnote{Vous  les  verrez peut-être  un
  jour...Il   y   a   plusieurs   manières  de   construire   l'ensemble
  $\bbr$.  Presque toutes  définissent  un nombre  réel  comme étant  la
  limite d'une  suite d'approximations par  des rationnels.}, on  vous a
présenté en classe  de seconde l'ensemble des nombres  réels comme étant
l'ensemble des abscisses des points de la droite orientée ci-dessus. 

Vous  utilisez depuis  l'école primaire  ces nombres  et  les opérations
usuelles qui leur sont  associées, addition et multiplication, sans trop
vous  poser  de  questions. Rappelons  quelques  propriétés\footnote{Ces
  propriétés donnent à $\bbr$ une structure de \textit{corps} : au temps
  préhistorique des  mes années de  collège, cette notion  algébrique de
  corps  était vue  en  4\eme et  maintenant  en math  sup. On  comprend
  pourquoi   tant   de   vos   parents   ont  été   effrayés   par   les
  mathématiques...}: 
\begin{itemize}
\item L'addition possède un élément neutre noté 0 : $x+0=0+x=x$.
\item La somme de 2 réels est encore un réel.
\item Chaque réel $x$ admet un opposé $-x$ vérifiant $x+(-x)=(-x)+x=0$.
\item  La multiplication  possède un  élément neutre  noté 1  : $x\cdot
  1=1\cdot x=x$ 
\item Le produit de deux réels est encore un réel.
\item Chaque  réel différent  de 0 admet  un inverse  $x^{-1}$ vérifiant
  $x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=1$ 
\item   La   multiplication    est   distributive   sur   l'addition   :
  $x\cdot(y+z)=x\cdot y + x\cdot z$. 
\end{itemize}

Tout ceci est bien naturel. Maintenant, on voudrait décoler de l'axe des
réels  et faire  le même  travail en  dimension 2,  c'est-à-dire pouvoir
calculer avec des couples de nombres du style $(x,y)$.

\tsx \c Ca veut dire qu'on travaille maintenant sur le plan tout entier ?

\pro  C'est  ça.  On  note   $\bbr^2$  cet  ensemble  :  l'ensemble  des
coordonnées des points du plan  ! Est-ce qu'on peut définir une addition
et une multiplication qui  engloberaient et généraliseraient celles vues
dans $\bbr$ ? 

\tsx Ben pour l'addition, on fait $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$.

\pro Pourquoi pas ! Vérifions que les  propriétés de l'addition sont vérifiées.

\tsx On a un élément neutre : (0,0) car $(x,y)+(0,0)={(x+0,y+0)=(x,y)}$.

\pro  Et  surtout l'élément  neutre  de  $\bbr^2$  se situe  <<~au  même
endroit~>> que celui de $\bbr$ : on l'a juste <<~gonflé~>> d'un deuxième
zéro pour être reconnu dans $\bbr^2$. 

\tsx   Et  pour   le   symétrique,  on   prend  {$(-x,-y)$}   car
$(x,y)+{(-x,-y)}={(0,0)}$ l'élément neutre. 

\pro En effet. Et pour la multiplication ?

\tsx  \c  Ca  doit  être pareil  :  $(x,y)\cdot(x',y')=(xx',yy')$  avec
$(1,1)$ comme élément neutre. 

\pro  Pourquoi   pas,  mais  dans   ce  cas,  l'élément  neutre   de  la
multiplication  dans $\bbr^2$ ne  serait pas  <<~au même  endroit~>> que
celui de $\bbr$ 



\begin{center}
\includegraphics{limfonc.33}
\end{center}

On   voudrait   plutôt   un   élément   neutre   (1,0)   et   donc   que
$(x,y)\cdot(1,0)=(x,y)$. Je vous propose la multiplication suivante 
$$(x,y)\cdot(x',y')=(xx'-yy',xy'+x'y)$$

\tsx                 Fichtre!                 Essayons                 :
$(x,y)\cdot(1,0)={(x\cdot1-y\cdot0,x\cdot0+y\cdot1)=(x,y)}$. \c
Ca marche. 

\pro Je  vous laisse vérifier que cette  multiplication est distributive
sur  l'addition et  que tout  élément $(x,y)$  de $\bbr^2$  différent de
$(0,0)$ admet un inverse $$\pa{\fr{x}{x^2+y^2},-\fr{y}{x^2+y^2}}$$ 

\tsx Je suis impressionné par ce  petit exposé, mais je ne vois pas trop
le lien avec le $\sqrt{-1}$ du paragraphe précédent. 

\pro Et bien observez $(0,1)$ et élevez-le au carré.

\tsx Allons-y :  $(0,1)\cdot (0,1)={(0-1,0+0)=(-1,0)}$, bon et alors ?
\pro Alors $(-1,0)$, c'est le réel $-1$ <<~gonflé~>>. Donc $\sqrt{-1}$ a
un  <<~représentant~>> dans  $\bbr^2$. Dans  le plan,  il  correspond au
point de coordonnées $(0,1)$. Et  donc nous allons pouvoir calculer avec
ce  fameux  nombre  $\sqrt{-1}$  assez  naturellement  en  utilisant  les
opérations décrites précédemment. 

\tsx Naturellement, c'est  beaucoup dire ! C'est un  peu compliqué comme
multiplication. 

\pro Je  vous l'accorde.  C'est  pourquoi nous allons adopter  une autre
tactique.  \`A chaque  élément  $(x,y)$ de  $\bbr^2$  nous allons  faire
correspondre un nombre qu'on qualifiera de \textit{complexe}. 

L'idée    vient    de   l'observation    \textit{intuitive}\footnote{Les
  $\curvearrowright$  renvoient à une  notion extrêmement  importante et
  rigoureuse  : la notion  d'\textit{isomorphisme}. Deux  ensembles sont
  isomorphes lorsqu'il existe une bijection  entre les deux et que cette
  bijection  <<~conserve~>> les  opérations. Cela  permet  de travailler
  \textit{à  isomorphisme   près}  sur  un  ensemble   compliqué  en  le
  remplaçant   par   un  ensemble   isomorphe   plus   approprié  à   la
  situation.  C'est ce  qui se  passe entre  $\bbr^2$ et  $\bbc$}  : $$\og
(x,y)\curvearrowright  x\cdot(1,0)+y\cdot (0,1)\curvearrowright x\cdot
1+y\cdot \sqrt{-1}\curvearrowright x+y\sqrt{-1}\fg{}$$


Nous allons même  donner un nom à ce $\sqrt{-1}$  : appelons-le $i$ pour
qu'il fasse moins peur. Ainsi nous avons les correspondances 

\begin{center}
\begin{tabular}{ccccc}
Le   point   M   &$\longleftrightarrow$    &   Le   couple   $(x,y)$   &
$\longleftrightarrow$ & Le nombre complexe $x+\I y$\\ 
$\updownarrow$ & &  $\updownarrow$ & & $\updownarrow$ \\
Le plan $\PR$  & $\longleftrightarrow$ & $\bbr^2$ &$\longleftrightarrow$
& L'ensemble des nombres complexes 
\end{tabular}
\end{center}


Pour se simplifier la vie, nous  allons donner un nom à cet ensemble des
nombres complexes : $\bbc$.. 
Et  maintenant   observez  comme  les  calculs   deviennent  faciles  en
prolongeant les règles valables sur $\bbr$ ! 

\tsx Si vous le dites : $(x+\I y) + (x'+\I y')= x+\I y+x'+\I y'=(x+x')+i(y+y')$

\pro Comme nous avions $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$, mais en plus simple.

\tsx Et $(x+\I y)\cdot(x'+\I y')=xx'+\I xy'+\I yx'+\I^2yy'$

\pro N'oubliez pas que $\I^2=-1$

\tsx Alors $(x+\I y)\cdot(x'+\I y')=(xx'-yy')+i(xy'+yx')$

\pro Comme nous avions $(x,y)\cdot (x',y')=(xx'-yy',xy'+yx')$. 

Donc nous  allons pouvoir  calculer en dimension  2 en  généralisant les
règles de  dimension 1. Nous avons  juste ajouté ce nombre  $\I$ de carré
$-1$.   En  particulier,  tous   les  nombres  réels  sont  des  nombres
complexes : $\bbr\subset\bbc$.  

Nous allons pouvoir  associer à chacun de ces nombres  réels un point du
plan et  donc associer  des transformations du  plan à des  calculs dans
$\bbc$ : on va résoudre des problèmes de géométrie par le calcul. 
 

\sm

Si  vous avez  compris ces  relations,  tout ce  qui va  suivre va  vous
paraître <<~trop~>> simple.... 


\section{Vocabulaire et premières propriétés}




  \begin{theoreme}[Ensemble $\bbc$]
On  définit un ensemble $\bbc$ 
\begin{itemize}
\item muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\bbr$
\item contenant un nombre $\I$ vérifiant $\I^2=-1$ 
\item  tel que chaque  élément $z$  de $\bbc$  peut s'écrire  de manière
  \textbf{unique}  sous   la  forme   $$z=a+\I b  \quad  \text{avec   }  a
  \text{ et } b \text{ des nombres réels}$$ 
\end{itemize}
    
    \end{theoreme}
  



\subsection{Forme algébrique}

Cette écriture unique est appelée \textbf{forme algébrique} du réel $z$.

Le nombre $a$ est appellé \textbf{partie réelle} de  $z$ et notée $\text{Re}(z)$

Le nombre $b$ est appellé \textbf{partie imaginaire} de  $z$ et notée $\text{Im}(z)$


  \begin{DANGER}
    $\text{Im}(z)$ est {un nombre réel}.
    \end{DANGER}
  


  
    \begin{idee}{\textbf{\`A quoi sert l'unicité de la forme algébrique ?}}


Par exemple,  après maints calculs  savants, vous arrivez au  résultat $
2x+3y-5+\I (7x-32y+1)=0$ avec $x$ et $y$  des réels.  Et bien le membre de
gauche  est   une  forme   algébrique  puisque  de   la  forme   réel  +
$\I\cdot$réel. Or la forme algébrique de 0 est $0+\I \cdot0$.  

Ainsi,  une   équation  complexe   revient  à  deux   équations  réelles
( bienvenue dans la deuxième dimension... ) et donc 

{$    2x+3y-5+\I (7x-32y+1)=0   \Longleftrightarrow   \begin{cases}
    2x+3y-5=0\\ 7x-32y+1=0\end{cases}$} 
\end{idee}


\subsection{Le plan complexe}

Nous avons vu que chaque nombre complexe peut être associé à un point du
plan qu'on munit d'un repère $\pa{O,\ve{e_1},\ve{e_2}}$ 


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.34}
\end{center}
\end{figure}





\`A tout nombre complexe $z=a+\I b$ on associe le point $M$ de coordonnées
$(a,b)$ qu'on  appelle \textbf{image} de  complexe $z=a+\I b$. On  le note
souvent $M(z)$. 

Inversement, à tout point $M$ du plan de coordonnées $(a,b)$, on associe
son \textbf{affixe} $z=a+\I b$ qu'on note souvent $z_M$. 

Enfin,  à  tout   vecteur  $\ve{u}=a\ve{e_1}+b\ve{e_2}$  de  coordonnées
$(a,b)$  dans la  base $\pa{\ve{e_1},\ve{e_2}}$  est associé  une affixe
$z_{\ve{u}}=a+\I b$ 



\subsection{Premiers calculs géométriques}

\begin{itemize}

\item  Soient   $\ve{u}$  et  $\ve{v}$  deux   vecteurs  de  coordonnées
  respectives         $(a,b)$         et        $(a',b')$,         alors
  $\ve{u}+\ve{v}=(a+a')\ve{e_1}+(b+b')\ve{e_2}$, donc 

  
    \begin{propriete}[affixe d'une somme]
      $$z_{\ve{u}+\ve{v}}={z_{\ve{u}}+z_{\ve{v}}}$$
      \end{propriete}
    




\item De même, si $\lambda$ est un nombre réel 

  
    \begin{propriete}[affixe du produit par un réel]
      $$z_{\lambda \ve{u}}={\lambda z_{\ve{u}}}$$
      \end{propriete}
    


\item Alors, si  $I$ est le \textbf{milieu} du segment $[A,B]$, on a


  
    \begin{propriete}[affixe du milieu]
      $$z_I={\ud(z_A+z_B)}$$
      \end{propriete}
    




\item Pour tous points $A$ et $B$ 

  
    \begin{propriete}[affixe d'un vecteur ]
      $$z_{\ve{AB}}={z_B-z_A}$$
      \end{propriete}
    

\end{itemize}


\subsection{Conjugué d'un complexe}

  \begin{definition}[Conjugué]
    On appelle conjugué du nombre complexe $z=a+\I b$ le nombre $${\overline{z}=a-\I b}$$
    \end{definition}
  



Géométriquement cela donne 



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.35}
\end{center}
\end{figure}



Je vous laisse prouver les propriétés immédiates suivantes~:


  \begin{propriete}[]
    \begin{itemize}
\item $M(z)$ et $M'(\overline{z})$ sont symétriques par rapport à l'axe $(O,\ve{e_1})$
\item $\overline{z_1+z_2}={\overline{z_1}+\overline{z_2}}$
\item $\overline{z_1z_2}={\overline{z_1}\ \, \overline{z_2}}$
\item $\overline{\overline{z}}={z}$
\item $z\in\bbr\Longleftrightarrow z={\overline{z}}$
\item $z\in i\bbr\Longleftrightarrow z={-\overline{z}}$
\item $\text{Re}(z)={\ud(z+\overline{z})}$
\item $\text{Im}(z)={\ud(z-\overline{z})}$
\item Si $z=a+\I b$, alors $z\overline{z}={a^2+b^2}$
\end{itemize}
    \end{propriete}
  



\subsection{\`A quoi servent les conjugués ?}


\subsubsection{\`A montrer qu'un complexe est un réel}

En  effet, si  on arrive  à montrer  que $\overline{z}=z$,  alors  on en
conclut que $z$ est réel.\textbf{ Pourquoi~?}

\subsubsection{\`A rendre réel des dénominateurs pour obtenir des formes  algébriques} 

En
effet, $$z\cdot\overline{z}=(a+\I b)(a-\I b)={a^2-(\I b)^2=a^2+b^2}$$ 


  \begin{exemple}[]
    Ainsi, pour obtenir la forme algébrique de l'inverse de $2+\I $~: 

$\fr{1}{2+\I }={\fr{1}{2+\I }\cdot\fr{2-\I }{2-\I }=\fr{2+\I }{4+1}=\fr{2}{5}+\fr{1}{5}i}$ 
    \end{exemple}
  

\subsection{Conjugué de l'inverse}


Sachant qu'un complexe non nul $z$ admet une forme algébrique $a+\I b$, on
sait maintenant trouver la forme algébrique de son inverse~:


\vspace{3cm}

et donc $\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=$


\subsection{Module d'un nombre complexe}


  \begin{definition}[Module]
    Le module du complexe  $z$ est le réel positif noté $|z|$ tel que $$|z|=\sqrt{z\ \,\overline{z}}$$
    \end{definition}
  


    \begin{remarque}[]
      \begin{itemize}
\item Cette définition en est bien une car $z\ \,\overline{z}=a^2+b^2$ d'après notre étude sur les conjugués. 
\item Si $a$ est un réel, $|a|=\sqrt{a\ \,\overline{a}}={\sqrt{aa}=\sqrt{a^2}}$ car $\overline{a}=a$. Donc le module de $a$ est bien la valeur absolue de $a$ et notre notation est cohérente.

La notion de module dans $\bbc$ généralise donc celle de valeur absolue dans $\bbr$.
\end{itemize}
      \end{remarque}
    


\subsubsection{Interprétation géométrique}


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.36}
\end{center}
\end{figure}




Nous venons de voir que, si $z=a+\I b$, alors 



  \begin{propriete}[]
    $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$
    \end{propriete}
  


Or,  qu'est-ce que  $\sqrt{a^2+b^2}$ si  ce  n'est la  norme du  vecteur
$\ve{OM}$ ou encore la longueur $OM$. 



  \begin{propriete}[]
    $$\ab{z_M}=\nov{OM}=OM\qquad \ab{z_{\ve{u}}}=\nov{u}$$
    \end{propriete}
  



\subsubsection{Propriétés des modules}

Je vous laisse prouver les propriétés suivantes





\begin{propriete}[]
  \begin{multicols}{3}
    \begin{itemize}
\item $\ab{\overline{z}}={\ab{z}}$
\item $\ab{z}=0\ssi { z=0}$
\item $\ab{z_1\cdot z_2}={\ab{z_1}\cdot\ab{z_2}}$
\item $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=$
\item $\text{Re}(z)\leqslant {\ab{z}}$
\item $\text{Im}(z)\leqslant {\ab{z}}$
\end{itemize}
\end{multicols}
\end{propriete}
  


La propriété suivante mérite une petite aide à la démonstration


  \begin{propriete}[Inégalité triangulaire]
    $$\ab{z_1+z_2}\leqslant\ab{z_1}+\ab{z_2}$$
    \end{propriete}
  



C'est  à dire, pour  aller de  Nantes à  Montaigu, il  est plus  long de
passer par Bratislava que de suivre la RN 137.  

Pour les curieux, voici comment cela se démontre.

\sm

Comme les deux membres de l'inégalité sont positifs, il suffit donc de comparer les carrés de chaque membre.

Or
$\ab{z_1+z_2}^2=\pa{z_1+z_2}\pa{\overline{z_1+z_2}}=(z_1+z_2)\pa{\overline{z_1}+\overline{z_2}}=\ab{z_1}^2+\pa{z_1\overline{z_2} 
+\overline{z_1}z_2}+\ab{z_2}^2$

\sm

D'autre part $\pa{\ab{z_1}+\ab{z_2}}^2=\ab{z_1}^2+2\ab{z_1z_2}+\ab{z_2}^2$

Il s'agit donc de comparer les <<~doubles produits~>>.

Or                                                     $z_1\overline{z_2}
+\overline{z_1}z_2=z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}}=2\RR
e\pa{z_1z_2}\leqslant 2\ab{z_1z_2}$ d'après une propriété ci-dessus. Donc 
$$\ab{z_1+z_2}^2=\ab{z_1}^2+\pa{z_1\overline{z_2}
+\overline{z_1}z_2}+\ab{z_2}^2\leqslant\ab{z_1}^2+2\ab{z_1z_2}+\ab{z_2}^2=\pa{\ab{z_1}+\ab{z_2}}^2$$




\section{R\'esolution d'\'equations du second degr\'e}

\subsection{Racine carrée d'un nombre complexe}

L'objet de cette section est de résoudre dans $\bbc$ l'équation $z^2=\alpha$

\subsubsection{Racine carrée d'un nombre réel}

On suppose ici que $\alpha$ est un réel.



\fbox{$\alpha\geqslant 0$} alors $z^2=\alpha\ssi 
  z^2-\alpha=${$(z-\sqrt{\alpha})(z+\sqrt{\alpha})=0$}.  Les 
  solutions\footnote{LA solution si $\alpha=0$} 
  sont donc {$\pm \sqrt{\alpha}$}


    \begin{exemple}[]
      On connaît : $z^2=4\ssi ${$z=-2$} ou {$z=2$}
      \end{exemple}
    



\fbox{$\alpha<    0$}   alors    $z^2=\alpha\ssi
  (z-\I \sqrt{-\alpha})(z+\I \sqrt{-\alpha})=0$.  Les  solutions  sont  donc  $\pm
  \I\sqrt{-\alpha}$ 


  
    \begin{exemple}[]
      C'est la nouveauté : $z^2=-4\ssi$ {$z=-2\I $} ou {$z=2\I $}
      \end{exemple}
   


\subsubsection{Racine carrée d'un complexe non réel}

Les choses se  compliquent ! Nous allons traiter un  exemple pour ne pas
vous faire (trop) peur.  


  \begin{exemple}[]
    
Cherchons les racines carrées de $4+3\I $, à savoir les nombres
$a+\I b$ tels que $$(a+\I b)^2=a^2-b^2+2\I ab=4+3\I $$ 
    \end{exemple}
  

 Par unicité de la forme algébrique on obtient 

$\bsyc a^2-b^2&=&4\\a^2+b^2&=&5\\2ab&=&3\esyc$

Ainsi $a^2=${$9/2$} et $b^2=${$1/2$}, donc $a=${$\pm3\sqrt{2}/2$} et
$b=${$\pm\sqrt{2}/2$}, or $2ab=3$, donc $a$ et $b$ sont {de même signe}.

Les solutions sont donc {$\fr{\sqrt{2}}{2}(3+\I )$} et
{$-\fr{\sqrt{2}}{2}(3+\I )$}



\subsection{Résolution de ax\up{2}+bx+c=0 avec a, b   et  c  des réels} 

C'est        comme       en        1\ere        :       $$ax^2+bx+c=0\ssi
a\Big[\big(x+\fr{b}{2a}\big)^2-\fr{b^2-4ac}{4a^2}\Big]=0\ssi
\bigl(x+\fr{b}{2a}\bigr)^2=\fr{b^2-4ac}{(2a)^2}$$ 

Tout dépend donc du signe de $b^2-4ac$, puis on utilise les résultats de la section précédente.



  \begin{theoreme}[Résolution  de \boldmath$ax^{\mathbf{2}}+bx+c=\mathbf{0}\quad \text{avec}
    \ a,\ b \ \text{ et }\ c$ \unboldmath des réels] 
    L'équation $ax^2+bx+c=0$ admet toujours des solutions sur $\bbc$. 
Notons  $$\Delta=b^2-4ac$$  le   \textbf{discriminant}  de  l'équation  et
$\delta$ un \emph{complexe} vérifiant $$\delta^2=\Delta$$
\begin{itemize}
\item Si $\Delta=0$, il existe une unique solution {$x=-\dfrac{b}{2a}$}
\item Si $\Delta>0$, il existe deux solutions réelles  {$x=\dfrac{-b\pm\delta}{2a}$}
\item  Si  $\Delta<0$, il  existe  deux  solutions complexes  conjuguées
  {$x=\dfrac{-b\pm \delta}{2a}$} 
\end{itemize}

\begin{center}
\fbox{{\large \textcolor{red}{Dans tous les cas $x=\dfrac{-b\pm \delta}{2a}$}}}
\end{center} 
   \end{theoreme}
  




\vfill

\eject













%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%
% E X E R C I C E S
%
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\modeexercice % entre en mode exercice
\section{EXERCICES}


%\begin{listeexercices}


\subsection{Énigmes historiques}

\begin{exercice}[Résolution d'une équation de degré 3]
  On veut résoudre l'équation:

$$(E)~:~x^3-6x^2+13x-10=0$$

par la méthode de \textsc{Cardan}.

\begin{questions}
\item Soit $a$ un réel et $X=x-a$. Déterminez $a$ pour que les solutions
  de   $(E)$  soient   les  solutions   d'une  équation   de   la  forme
  $X^3+pX+q=0$. 

\item Résoudre  cette nouvelle équation  d'inconnue X et en  déduire les
  solutions de $(E)$.
\end{questions}
\end{exercice}


\begin{exercice}[\textsc{Leibniz} se trompe !]
  
Une des  conséquences du théorème fondamental de  l'algèbre démontré par
\textsc{Gauss}  est  de pouvoir  affirmer  que  tout  polynôme dont  les
coefficients  sont réels  peut  s'écrire comme  produit  de polynômes  à
coefficients réels de degré 1 ou 2.


En 1702,  le grand \textsc{Leibniz} conjecture pourtant  que ce résultat
est faux  en proposant  les égalités  suivantes avec $a$  un réel  et le
fameux $\sqrt{-1}$ que nous n'utilisons plus:

{\small
$X^4+1=\left(X^2- \sqrt{-1}\right)\left(X^2+ \sqrt{-1}\right)\\
=\left(X+ \sqrt{\sqrt{-1}}\right) \left(X- \sqrt{\sqrt{-1}}\right) \left(X+ \sqrt{-\sqrt{-1}}\right) \left(X- \sqrt{-\sqrt{-1}}\right) 
$
}

Que pensez-vous des solutions de l'équation $X^4+1=0$?
 
\textsc{Leibniz} affirme alors que, quels que soient les deux facteurs qu'on regroupe,
cela ne donnera jamais un facteur réel.

Cette utilisation  du symbole $\sqrt{}$ est  décidément trompeuse. Menez
l'enquête en évitant les $\sqrt{}$ et en utilisant plutôt i.

\end{exercice}

\subsection{Exercices stakhanovistes}


\begin{multicols}{2}
%\begin{figure}
%\end{figure}
\begin{exercice}[Puissances de i]
  Exprimez  chacun des nombres  suivant comme  un élément  de l'ensemble
  $\{-1,+1,-\I,+\I\}$:

  \begin{multicols}{4}
    \begin{questions}
      \item $\I^3$
\item $\I^4$
\item $\I^6$
\item $\I^9$
\item $\I^{16}$
\item $\I^{32}$
    \end{questions}
  \end{multicols}
\end{exercice}
\begin{center}
  \includegraphics[width=.4\linewidth]{Stakhanov}
\end{center}
\end{multicols}

\begin{exercice}[Formes algébriques]
  Écrivez les nombres suivant sous forme algébrique:
  \begin{multicols}{4}
    \begin{questions}
      \item $\I^8+3\I^7$
\item $(3+2\I)+(5-\I)$
\item $(6-\I)+(4-3\I)$
\item $(-2+3\I)+(6-4\I)$
\item $(-2-\I)+(-1+7\I)$
\item $(a+\I b)+(c+\I d)$
\item $(6-2\I)-4$
\item $(a+\I b)-(2-3\I)$
\item $(3+\I)(2+4\I)$
\item $(1-\I)(2+3\I)$
\item $(2-\I)(3+2\I)$
\item $(1-4\I)^2$
\item $(2+\I)^3$
\item $\frac{1}{2-3\I}$
\item $\frac{2+\I}{1-2\I}$
\item $\frac{3+2\I}{2-3\I}$
\item $\frac{2\I}{2+\I}$
\item $\frac{3-2\I}{\I}$
\item $\frac{1}{\I}$
\item $1+\I-3\I^2+\I^7$
\item $\frac{-1+\I \sqrt{3}}{-1-\I \sqrt{3}}$
\item $\left(-\frac{1}{2}+\I \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3$
\item $(-1+\I)^4$
\item $\left(\frac{2+3\I}{5+\I}\right)^4$
\item $\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}+\I \sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)^8$
\item $\left(\frac{\sqrt{6}-\I \sqrt{2}}{2(1-\I )}\right)^{12}$
    \end{questions}
  \end{multicols}
\end{exercice}



\begin{exercice}[Formes algébriques]
  On  pose  $z_1=3-\I$,  $z_2=1+2\I$,  $z_3=-2\I$.  Écrivez  sous  forme
  algébrique:
  \begin{multicols}{4}
    \begin{questions}
      \item $3z_1$
\item $z_1-z_3$
\item $2z_1+z_2$
\item $2z_2+\I z_3$
\item $\I(z_2z_3)$
\item $\I z_1+\I z_2$
\item $z_1+\overline{z_2}$
\item $\I z_1+\overline{z_3}$
\item $z_1 \overline{z_2}$
\item $\I z_1^2+\frac{z_2}{\overline{z_3}}$
\item $(z_1+\overline{z_2}^2)^2$
\item $z_3\left(z_1+\overline{\left(\frac{1}{z_2}\right)}\right)^2$
\item $(z_1+\overline{z_2}^2+\frac{\I}{z_1+z_3})^2$
\item $z_1+\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_1^2}+\frac{1}{\I \overline{z_1}}$
    \end{questions}
    
  \end{multicols}
\end{exercice}




\begin{exercice}[Équations]
  Déterminez les valeurs des réels $x$  et $y$ ou la forme algébrique du
  complexe $z$ satisfaisant les équations suivantes:
  \begin{multicols}{3}
    \begin{questions}
      \item $x+\I y=(2-3\I)(3+\I)$
\item $(x+\I y)+3(2-3\I)=6-10\I$
\item $2x+\I y=6$
\item $(x+\I y)(5+\I)=3-2\I$
\item $(x+\I y)(2+\I)=(1-\I)^2$
\item $(2-\I)x-(1+3\I)y-7=0$
\item $x^2+2xy\I+y^2=10+6\I$
\item $(x+\I y)^2=8-6\I$
\item $(x+\I y)^2=5+12\I$
\item $(x+\I y)^2=-3+4\I$
\item $\frac{2}{z}=\frac{1}{2-\I}+\frac{1}{1+2\I}$
\item $\frac{x}{1+\I}+\frac{y}{1+2\I}=1$
\item $\left(-1+\I \sqrt{3}\right)^2+x \left(-1+\I \sqrt{3}\right)\in \R$
    \end{questions}
  \end{multicols}
\end{exercice}

\begin{exercice}[Modules]
  
     Calculez les modules suivants:
\begin{questions}
      \begin{multicols}{6}
        \item $\left|-3+4\I\right|$ 
\item $\left|6-8\I\right|$ 
\item $\left|5+\I\right|$ 
\item $\left|-3\I\right|$ 
\item $\left|\sqrt{2}+\I\right|$ 
\item $\left|\sqrt{2}+1\right|$
\item $\left|\frac{1}{4+3\I}\right|$
\item $\left|\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\I\right|$
\item $\left|-2+2 \sqrt{3}\I\right|$
\item $\left|\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\I\right|$
\item $\left|\frac{1+\I}{1-2\I}\right|$
\end{multicols}
\end{questions}
\end{exercice}



\begin{exercice}[Modules]
  \begin{questions}
    \item Sachant que $z_1=-3-2\I$ et $z_2=1-3\I$ calculez:

$\left|z_1\right|;\quad                          \left|z_1-z_2\right|;\quad
\left|z_1+2z_2\right|;\quad \left|z_1z_2\right|$

\item    Sachant    que    $z_1=5+\I$    et    $z_2=-2+3\I$,    vérifiez
  que $$\left|z_1\right|^2=2 \left|z_2\right|^2$$
\item  Soit  $k\in\R$,  $z_1=-1+8\I$,  $z_2=(1-k)+7\I$.  Déterminez  les
  valeurs de $k$ telles que $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$.
\item Soit $z=x+\I y$ avec $x$ et $y$ des réels. Montrez que :
$$\left|z-2\I\right|-\left|z-1\right|\Leftrightarrow 2x-4y+3=0$$
\item Résolvez dans $\R$ $\left|11+2\I\right|=\left|x+1+5\I\right|$.
\item Résolvez dans $\bbc$ $\sqrt{5}\left|z\right|+\I z=3+\I$.
  \end{questions}
\end{exercice}




\begin{exercice}[Équations de degré 2 ou 3]
  \begin{questions}
  \item Résolvez dans $\bbc$ les équations suivantes:
    \begin{multicols}{4}
      \begin{enumerate}
      \item $z^2+6z+10=0$
      \item $ z^2-2z+2=0$
      \item $2z^2-2z+5=0$
        \item $ z^2-6z+10=0$
        \item $z^2+1=0$
        \item $ z^2+z+1=0$
\item  $ z^2-\I \sqrt{2} z-\I \fr{\sqrt{3}}{2}=0$
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
    
\item Vérifiez que $5+\I$ est solution de $z^2-10z+26=0$ puis déterminez
  la deuxième solution.
\item Déterminez  des équations du  second degré telles que  les nombres
  suivants en soient les solutions:

$\pm2\I ;\quad 1\pm2\I;\quad 3\pm2\I;\quad -2\pm\I \sqrt{5}$
\item Si $3-2\I$  est une solution de $z^2+kz+13=0$ où  $k$ est un réel,
  déterminez $k$ et trouvez l'autre solution de l'équation.
\item     L'équation    $2z^2-(7-2\I)z+k=0$    admet     $1+\I$    comme
  solution. Déterminez $k$ puis la deuxième solution de l'équation.
\item Si $-1-2\I$ est une solution de $z^2+az+b=0$, déterminez les réels
  $a$ et $b$.
\item L'équation  $z^2+(-3+2\I)z+k-\I=0$ où $k\in\R$  admet $1+\I$ comme
  solution. Déterminez $k$ et la deuxième solution de l'équation.
\item   L'équation    $z^2+(p+5\I)z+q(2-\I)=0$   admet   $1+2\I$   comme
  solution.  Déterminez  $p$  et  $q$  ainsi  que  l'autre  solution  de
  l'équation.
\item L'équation $z^3-4z^2+6z-4=0$  admet $1+\I$ comme solution. Trouvez
  les deux autres solutions.
\item Idem avec $2z^3-9z^2+30z-13=0$ et $2+3\I$.
\item Idem avec $z^3-8z^2+22z-20=0$ et $2$.
\item Idem avec $z^3-4z^2+6z-4=0$ et $1-\I$.
\item Idem avec $z^3-\I z^2-z+\I=0$ et $\I$
\item  Idem   avec  $z^3-4z^2+4z+k=0$  et  $1-3\I$   en  commençant  par
  déterminer le réel $k$.
\item Idem avec $z^3+kz^2+z+34=0$ et $4-\I$.
\item Factorisez $z^3-1$ par  $z-1$ puis résolvez dans $\bbc$ l'équation
  $z^3-1=0$.
\item  Factorisez $z^3+(3+\I)z^2-4z-12-4\I$  par  $z^2-4$ puis  résolvez
  dans $\bbc$ l'équation $z^3+(3+\I)z^2-4z-12-4\I=0$.
  \end{questions}
\end{exercice}






\begin{exercice}[\' Equation dans C]

Déterminer la solution complexe $z_0$ de l'équation
$
   \frac{z+1}{z-1} = 1+\I .
$

\end{exercice}

\begin{exercice}[Système d'équations dans C]

Déterminer les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ tels que
$
   \begin{cases}
      2z_1 + z_2 = 4\\
      -2\I z_1 + z_2 = 0
   \end{cases}
$


\end{exercice}




\begin{exercice}[\' Equation  à coefficients dans R]


\begin{questions}

\item Résoudre dans $\bbc$ l'équation
$
   z^2 - 2\sqrt 2 z + 4  = 0.
$

\item Déterminer le module et un argument de chacune des solutions.

\end{questions}

\end{exercice}

\begin{exercice}[\' Equation  à coefficients dans C]

\begin{questions}

\item Calculer $(3-2\I )^2$ puis résoudre dans $\bbc $ l'équation
$
   z^2 + z - 1 + 3\I  = 0.
$

\item Calculer $(5-3\I )^2$ puis résoudre dans $\bbc $ l'équation
$
   z^2 + (5-\I ) z + 2 + 5\I  = 0.
$


\item Résoudre dans $\bbc $ l'équation
$
   z^2 - (5+3\I ) z + 10 + 5\I  = 0.
$


\end{questions}


\end{exercice}




\begin{exercice}[Centres \'etrangers, juin 
2007]


\begin{questions}
\item  D\'emontrer qu' un nombre complexe $z$ est imaginaire pur si 
et seulement si $\overline{z} =  -z$.
\item  D\'emontrer qu'un nombre complexe $z$ est r\'eel si et 
seulement si $\overline{z}= z$.
\item  D\'emontrer que pour tout nombre complexe $z$, on a 
l'\'egalit\'e : $z\overline{z} = |z|^2$.
\end{questions}

\end{exercice}

\begin{exercice}[Am\'erique du Nord, juin 2006]


\emph{Pr\'erequis :  le module d'un nombre complexe $z$ quelconque, not\'e $|z|$, v\'erifie $|z|^2 =z\overline{z}$ o\`u $\overline{z}$ est le conjugu\'e de $z$.}\\
D\'emontrer que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$
 $| z_{1} \cdot z_{2}| =| z_{1}| \cdot | z_{2}|$
\item[$\bullet~$] pour tout nombre complexe $z$ non nul 
$\left|\dfrac{1}{z}\right|  = \dfrac{1}{|z|}$
\end{itemize}




\end{exercice}



\begin{exercice}[ Inversion complexe]

\label{inversion} On considère l'application $f$ du plan complexe dans $\bbc$ qui à tout point $M$ d'affixe non nulle $z$ associe le
point $M'$ d'affixe $1/z$. On pose $z=x+\I y$ la forme algébrique de $z$ et $x'+\I y'$ celle de l'affixe $z'$ de $M'$.

\begin{questions}

\item Exprimez $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$.
\item Quelle est l'image de $M'$ par $f$~? Déduisez-en l'expression de $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$.
\item Soit $D$ une droite d'équation $x=k$ avec $k\in\bbr$. Déterminez une équation de l'image de $D$ par $f$. Déduisez-en la nature de
cette image.
\item Cas particulier : déterminez l'image de la droite $\Delta$ d'équation $x=32$.

\end{questions}



\end{exercice}






\begin{exercice}[\'Equations - systèmes]

\begin{questions}

\item Résoudre dans $\bbc$ les équations suivantes:
  \begin{multicols}{2}
        \begin{sousquestions}

        \item $\fr{z+2}{z+2\I }=i$

\item $ 2z+\I  \overline{z} = 5-\I $
        \end{sousquestions}
      \end{multicols}
      
\item Résoudre dans $\bbc\cdot\bbc$ le système suivant: $\left\{
        \begin{array}{rl}
        2\I z+z' &=2\I \\
        3z-\I z' &=1
        \end{array}
        \right.$
\end{questions}




%\item[\underline{Exercice 2}]{\small ( 4 points )}





\end{exercice}

\begin{exercice}[\'Equations coeff complexes]

\begin{questions}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :
        $ z^2 + 2z + 2 = 0 $
\item Soit l'équation (F) d'inconnue complexe z :
$$\textrm {(F)~:~} z^2 - 2z + 4 + 4\I  = 0 $$
\item Montrer que (F) admet pour solution un nombre imaginaire pur
que l'on déterminera. \item Résoudre l'équation (F).
\end{questions}


% 

\end{exercice}

\begin{exercice}[\'Equation de degré 4]

On consid\`{e}re le polyn\^{o}me P$(z)=z^{4}+17\,z^{2}-28\,z+260$,
o\`{u} $z$ est un nombre complexe.

\begin{questions}
\item D\'{e}terminer deux nombres r\'{e}els $a$ et $b$ tels que :
$$\mathrm{P}(z)=(z^{2}+az+b)(z^{2}+4\,z+20).
$$

\item R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation P$(z)=0$.

\item Placer dans un rep\`{e}re orthonormal direct $\left(
O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $, les images M,
N, P et Q des nombres complexes respectifs
$m=-2+4\I ,\;n=-2-4\I ,\;p=2+3\I $ et $q=2-3\I $.

\item

\begin{sousquestions}
\item D\'{e}terminer le nombre complexe $z$ v\'{e}rifiant
$\displaystyle\frac{z-p}{z-m}=i$. Placer son image K.

\item En d\'{e}duire que le triangle MPK est isoc\`{e}le rectangle
en K.
\end{sousquestions}

\item

\begin{sousquestions}
\item D\'{e}teminer par le calcul l'affixe du point L,
quatri\`{e}me sommet du carr\'{e} MKPL.

\item D\'{e}terminer l'abscisse du point d'intersection R de la
droite (KL) et de l'axe des abscisses.

\item Montrer que M, N, P et Q sont sur un m\^{e}me cercle de
centre R. \bigskip
\end{sousquestions}
\end{questions}
\end{exercice}




\begin{exercice}[VRAI ou FAUX ]

  Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une d\'emonstration pour la r\'eponse indiqu\'ee. Dans le cas d'une proposition fausse, la d\'emonstration consistera \`a fournir un contre-exemple. Une r\'eponse sans d\'emonstration ne rapporte pas de point.\\
On rappelle que si $z$ est un nombre complexe, $\overline{z}$ d\'esigne le conjugu\'e de $z$ et $|z|$ d\'esigne le module de $z$.
\begin{multicols}{2}
\begin{questions}
\item Si $z = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$, alors $z^4$ est un nombre r\'eel.
\item Si $z + \overline{z} = 0$, alors $z = 0$.
\item Si $z + \dfrac{1}{z} = 0$, alors $z = \text{i}$ ou $z = - \text{i}$.
\item Si $|z| = 1$ et si $|z + z'| = 1$, alors $z' = 0$.
\end{questions}
\end{multicols}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 





\end{exercice}














\begin{exercice}[Bac 2017]

  
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct \Ouv. 

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation 

\[(E) :\qquad  z^2 - 6z + c = 0\]

où $c$ est un réel strictement supérieur à 9. 

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que (E) admet deux solutions complexes non réelles. 
		\item Justifier que les solutions de (E) sont $z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{c - 9}$  et $z_{\text{B}} = 3 - \text{i}\sqrt{c - 9}$. 
	\end{enumerate}
\item On note A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. 

Justifier que le triangle OAB est isocèle en O. 
\item Démontrer qu'il existe une valeur du réel $c$ pour laquelle le triangle OAB est rectangle et déterminer cette valeur. 
\end{enumerate}
  
\end{exercice}











\begin{exercice}[Bac 2017]
  
On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct. On considère l'équation 

\[(E) :\qquad  z^4 + 2z^3 - z - 2 = 0\] 

ayant pour inconnue le nombre complexe $z$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Donner une solution entière de $(E)$. 
\item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$, 

\[z^4 + 2z^3 - z - 2 = \left(z^2 + z - 2\right)\left(z^2 + z + 1\right).\] 

\item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des nombres complexes. 

\item Les solutions de l'équation $(E)$ sont les affixes de quatre points A, B, C, D du plan complexe tels que ABCD est un quadrilatère non croisé. 

Le quadrilatère ABCD est-il un losange ? Justifier. 

\end{enumerate}

\end{exercice}




\begin{exercice}[Bac 2017]
  
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv. À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M’$ d'affixe 

\[z’ = - z^2 + 2z.\]

Le point $M’$ est appelé image du point $M$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\bbc$ des nombres complexes l'équation :

\[- z^2 + 2z - 2 = 0.\] 

En déduire les affixes des points dont l'image est le point d'affixe 2. 
\item Soit $M$ un point d'affixe $z$ et $M’$ son image d'affixe $z’$. 

On note $N$ le point d'affixe $z_N = z^2$. 

Montrer que $M$ est le milieu du segment $[NM’]$.
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[Bac 2012]
  
On considère le polynôme $P$ défini sur $\bbc$ par 

\[P(z) = z^3 - \left(2 + \text{i}\sqrt{2}\right)z^2 + 2\left(1 + \text{i}\sqrt{2}\right)z - 2\text{i}\sqrt{2}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le nombre complexe $z_{0} = \text{i}\sqrt{2}$ est solution de l'équation 

$P(z) = 0$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $P(z ) = \left( z - \text{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 + az + b\right)$. 
		\item En déduire les solutions dans $\bbc$ de l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	 
  
\end{exercice}


\begin{exercice}[Bac 2011]
  
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\bbc$ l'équation 

\[z^2 - 2z + 5 = 0.\]

\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. 

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}, z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$ où :
 
\[z_{\text{A}} = 1 + 2\text{i},\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},\quad z_{\text{C}} = 1 + \sqrt{3} + \text{i},\quad z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A et B dans le repère \Ouv. 

		\item Calculer 	$\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}$	et donner le résultat sous forme algébrique. 
		\item En déduire la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle $\Gamma$ dont on précisera le centre et le rayon. 
\item Construire les points C et D dans le repère \Ouv. Expliquer la construction proposée.
\end{enumerate}
%%%%%%%  fin Amérique du Sud novembre 2011  %%%%%%%%

  
\end{exercice}

\begin{exercice}
  
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. 

On prendra 1~cm pour unité graphique.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\bbc$ l'équation $z^2 - 2z + 2 = 0$. 
\item Soit A, B, C et D les points d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\quad ;\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}\quad ; \quad z_{\text{C}} = 2z_{\text{B}} \quad;\quad z_{\text{D}} = 3.\]
 
Construire une figure et la compléter tout au long de l'exercice. 
\item Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre D dont on précisera le rayon. 
\item Calculer $\dfrac{z_{\text{C}} - 3}{z_{\text{A}} - 3}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}




\begin{exercice}[Bac 2011]
  
  
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 4~cm. 

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip
 
On note P le point d'affixe $p = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, Q le point d'affixe $q = - \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, et K le point d'affixe $- 1$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle $\Gamma$ de centre O et de rayon 1. 
		\item Faire une figure et construire les points P et Q.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble $D$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z| = |z + 1|$. Représenter cet ensemble sur la figure. 
		\item Montrer que P et Q sont les points d'intersection de l'ensemble $D$ et du cercle 
		$\Gamma$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
On considère trois nombres complexes non nuls $a,\: b$ et $c$. On note A, B et C les points d'affixes respectives $a,\: b$ et $c$.
 
On suppose que l'origine  O du repère \Ouv{} est à la fois  le centre de gravité
et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.
\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
		\item Montrer que $|a| = |b| = |c|$ puis que $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{c}{a}\right| = 1$. 
		\item Montrer que $a + b + c = 0$.
		 
		\item Montrer que $\left|\dfrac{b}{a}\right| = \left|\dfrac{b}{a} + 1\right| = 1$. 
		\item En utilisant A, montrer que $\dfrac{b}{a} = p$ ou $\dfrac{b}{a} = q$.  
                \end{enumerate}
              \end{multicols}
            \end{exercice}
            
              \begin{exercice}[Bac2015]
                
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv. À tout point $M$ d'affixe $z$
du plan, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :

\[z' = z^2 + 4z + 3.\]\index{transformation complexe}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un point $M$ est dit invariant lorsqu'il est confondu avec le point $M'$ associé.

Démontrer qu'il existe deux points invariants. Donner l'affixe de chacun de ces points
sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
\item  Soit A le point d'affixe $\dfrac{- 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et B le point d'affixe 
$\dfrac{- 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$.

Montrer que OAB est un triangle équilatéral.
\item  Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont réels, tels que le point $M'$ associé soit sur l'axe des réels.
\item  Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l'ensemble $\mathcal{E}$.
\end{enumerate}
 
                
              \end{exercice}
%\end{listeexercices}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "PolyTS18_19"
%%% End:
