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\title{Corrigé du DM1}

\author{Mathématiques} %Guillaume \textsc{Connan} }

\date{T\up{ale}S3 / 2018-2019 }



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Mis à jour le \today{} à \now
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\begin{document}

\maketitle





Un biologiste souhaite étudier l'évolution de la population d'une espèce animale dans une réserve.

%Cette population est estimée à \numprint{12000} individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les \numprint{60000}~individus.
%
\medskip

\textbf{Partie A : un premier modèle}

\medskip

Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 5\,\% par an.

%L'évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite $\left(v_n\right)$ où $v_n$ représente le nombre d'individus, exprimé en milliers, en $2016 + n$. On a donc 
%
%$v_0 = 12$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
Augmenter de 5\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{5}{100} = 1,05$; la suite $(v_n)$ est donc géométrique de premier terme $v_0=12$ et de raison $q=1,05$.

Donc, pour tout $n$, on a: $v_n=v_0\times q^n = 12\times 1,05^n$.

\item% Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?
Il faut regarder si ce modèle permet de limiter la population à \numprint{60000}
individus, autrement  dit chercher  $n$ tel  que $v_n>60$;  ne disposant  par du
logarithme népérien,  on ne  peut résoudre l'inéquation.  On va  donc utiliserla
machine sachant  que $(v_n)$  est strictement croissante  puisque sa  raison est
strictement supérieure à 1:

On obtient $v_{32}\approx 57,18$ et $v_{33}\approx 60,03$ donc pour $n=33$ c'est-à-dire en 2049, la population dépassera \numprint{60000} individus.

Ce modèle ne répond donc pas aux contraintes du milieu naturel.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : un second modèle}

\medskip

Le biologiste modélise ensuite l'évolution annuelle de la population par une suite  $\left(u_n\right)$ définie par 

$u_0  = 12$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = - \dfrac{1,1}{605} u_n^2 + 1,1 u_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = - \dfrac{1,1}{605}x^2 + 1,1 x$.

	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que $g$ est croissante sur [0~;~60].
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et $g'(x) = -\dfrac{1,1}{605}\times 2x + 1,1 = -\dfrac{2,2}{605}x+1,1$.

$g'(x)>0 \iff -\dfrac{2,2}{605}x+1,1>0 \iff 1,1 > \dfrac{2,2}{605} x \iff \dfrac{1,1\times 605}{2,2} > x  \iff x < 302,5$

Donc $g'(x)>0$ sur $\cd 0~;~60\cg$ donc $g$ est croissante sur 	$\cd 0~;~60\cg$.	
		
		\item On résout dans $\R$ l'équation $g(x) = x$:

$g(x)=x \iff 	- \dfrac{1,1}{605}x^2 + 1,1 x = x \iff - \dfrac{1,1}{605}x^2 + 0,1 x = 0
\iff x\left ( - \dfrac{1,1}{605}x + 0,1 \right )	=0\\[5pt]
\phantom{g(x)=x}  \iff x=0 \text{ ou }  - \dfrac{1,1}{605}x + 0,1 = 0
 \iff x=0 \text{ ou }  0,1= \dfrac{1,1}{605}x 
\iff x=0 \text{ ou }  0,1 \times \dfrac{605}{1,1}= x \\[5pt]
\phantom{g(x)=x} \iff x=0 \text{ ou } x=55$
		
 	\end{enumerate}

\item  On remarquera que $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la valeur arrondie à $10^{-3}$ de $u_1$. Interpréter.
$u_1=g(u_0)=g(12) \approx 12,938$

Avec ce  modèle, on peut estimer  la population à \numprint{12938}  individus en
2017. Cela correspond à une augmentation d'environ 8\% en un an.

		
		
		\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
$\text{Pour tout }n,\ u_{n+1}- u_n = -\dfrac{1,1}{605}u_n^2 + 1,1u_n - u_n = -\dfrac{1,1}{605}u_n^2 + 0,1u_n 
= u_n\left ( -\dfrac{1,1}{605} u_n + 0,1 \right )\\[5pt]
\phantom{\text{Pour tout }n,\ u_{n+1}- u_n}
= u_n \times \dfrac{1,1}{605} \left (-u_n + 0,1\times \dfrac{605}{1,1} \right )
= \dfrac{1,1}{605} u_n \left ( 55-u_n \right )$

On sait que $0\leqslant u_n \leqslant 55$ donc $55-u_n \geqslant 0$ donc $\dfrac{1,1}{605} u_n \left ( 55-u_n \right ) \geqslant 0$. \\
On a donc démontré que $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$ pour tout $n$ donc la suite $(u_n)$ est croissante.

		\item% En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 55 donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente.

		\item On admet que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ vérifie $g(\ell) = \ell$ donc elle est solution de l'équation $g(x)=x$.

L'équation $g(x)=x$ n'admet que 2 solutions: 0 et 55. 

La suite $(u_n)$ est croissante et $u_0=12$ donc la limite $\ell$ de la suite est supérieure ou égale à 12.

On en déduit donc que $\ell=55$ ce qui signifie que, selon ce modèle, la population va tendre vers $\numprint{55000}$ individus.
		
	\end{enumerate}

\item  Le biologiste souhaite déterminer le nombre d'années au bout duquel la population dépassera les \numprint{50000} individus avec ce second modèle.
	
On complète l'algorithme afin qu'il affiche en sortie le plus petit entier $r$ tel que $u_r \geqslant 50$:
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|X|}\hline
Variables 	&$n$ un entier naturel\\\cline{2-2}
			&$u$ un nombre réel\\ \hline
Traitement	&$n$ prend la valeur $0$\\
			&$u$ prend la valeur 12\\
			&\textbf{Tant Que} \textcolor{blue}{$u<50$}\\
			&\hspace{1.5cm}$u$ prend la valeur \textcolor{blue}{$1,1u - \frac{1,1}{605}u^2$} \\
			&\hspace{1.5cm}$n$ prend la valeur \textcolor{blue}{$n + 1$} \\
			&\textbf{Fin Tant Que}\\ \hline
Sortie 		&Afficher \textcolor{blue}{$n$} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}




\end{enumerate}


Au départ $u$ prend la valeur 12 i.e.  $u$ prend la valeur $u_0$.

Ensuite, à chaque tour de boucle, on réaffecte la variable $u$:

$$\text{Nouveau } u=g(u\text{ précédent})$$

et on incrémente $n$ d'une unité.

Donc au $n$-ème tour de boucle $u$ reçoit la valeur de $u_n$.

La boucle s'arrête dès que $u_n$ dépasse  50 et on affiche la dernière valeur de
$n$ calculée.



\end{document}



%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
