\chapterimage{cantorInfinity}
\chaptertext{Georg Cantor est mort pauvre,  solitaire et déprimé en janvier 1918
  après avoir prouvé 40 ans auparavant l'existence de plusieurs infinis et fondé
  la théorie des ensembles. L'infini devenait alors un objet mathématique plutôt
  qu'un argument philosophique. Il fut alors farouchement méprisé, dépeint comme
  un charlatan  par Kronecker,  ses idées  étant une  maladie grave  selon Henri
  Poincaré. Cela  l'a conduit à  une profonde dépression  même si son  travail a
  ensuite été loué. 

Cela bat en pièces l'idée que les mathématiques sont une science sans passion ni
contradiction, mais renforce celle selon laquelle elles sont un
art. En outre, la démonstration communément appelée \textit{ diagonale de Cantor} est un
exemple de beauté mathématique: si simple et si puissante. 

Et j'adore une des citations les plus célèbres de Cantor:

\begin{center}
     L'essence des mathématiques réside dans leur liberté
\end{center}
  }

\chapter{Vers l'infini et au-del\`{a}}



\section{Le programme}


\textbf{Contenus}
\begin{itemize}
\item Limite finie ou infinie d'une suite;
\item Limite et comparaison;
\item Opérations sur les limites;
\item Comportement à l'infini de la suite $(q^n)$, $q$ étant un nombre réel;
  \item Suite majorée, minorée, bornée
\end{itemize}



\textbf{Capacités attendues}


\begin{itemize}
\item  Dans le cas d’une limite infinie, étant 
donnés une suite croissante $(u_n)$ et un 
nombre réel A, déterminer à l’aide d’un 
algorithme un rang à partir duquel $u_n$
est supérieur à A.
\item Démontrer que si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites telles que:
  \begin{itemize}
  \item $u_n$ est inférieur ou égal à $v_n$ à partir d'un certain rang;
  \item $u_n$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$:
  \end{itemize}
  alors $v_n$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$;
\item  Étudier la  limite d'une  somme, d'un  produit ou  d'un quotient  de deux
  suites;
\item Démontrer que la suite $(q^n)$, avec $q>1$, a pour limite $+\infty$;
\item Déterminer la limite éventuelle d'une suite géométrique;
\item Utiliser le théorème de convergence des suites croissantes majorées.
\end{itemize}

\section{Souvenirs de Première}

\subsection{Définition}

\begin{definition}[suite numérique]
    Une  suite (sous-entendue  numérique) est  une fonction  définie sur
    l'ensemble $\bbn$  des entiers naturels ou sur  une partie seulement
    de $\bbn$.

Définir une suite, c'est donc associer un nombre réel à tout élément d'une partie de
$\bbn$.
\end{definition}

Par exemple si on considère les multiples de 10,  on peut
écrire~:
$d \colon\begin{array}{rll} \bbn &\to &\bbr  \\ n  & \mapsto &10n  \end{array}$.
Ainsi, le multiple numéro 3 est $d(3)=10\times 3=30$

  \begin{Idee}{Notation usuelle}
Au lieu  d'utiliser la notation habituelle $d(n)$  pour désigner l'image
de $n$, on utilise souvent $d_n$. 

Dans notre exemple, $d_n=10n$, quelque soit l'entier naturel $n$.

La suite  $d$ est  de \emph{terme général}  $d_n$. Au  lieu de $d$,  on désigne
aussi la suite par $(d_n)_{n\in\bbn}$ ou même plus simplement $(d_n)$.

On appelle $d_n$  le \emph{terme d'indice $n$} ou  encore le \emph{terme
de rang $n$}.
    \end{Idee}
 

              \begin{DANGER}
              Il ne faudra pas  confondre le \emph{nombre} $d_n$ avec la
              \emph{suite} (c'est-à-dire fonction) $(d_n)$...
               \end{DANGER}



\subsection{Suite dont le terme général est donné explicitement}

En  fait, cela  veut  dire que  l'on  connaît l'expression  de $u_n$  en
fonction de $n$  et que l'on peut donc calculer  n'importe quel terme de
la suite.


  \begin{definition}[suite définie explicitement]
Soit  D une  partie  de $\bbn$  et  soit $f$  une  fonction définie  sur
$n$. Soit $u$ une suite telle  que $u_n=f(n)$ pour tout $n\in D$. On dit
alors que $u$ est définie explicitement.
    \end{definition}
 
    \begin{exemple}[]
      Soit      $u$      la       suite      définie      pour      tout
      $n\in\bbn\setminus\big\{0\big\}$ par $u_n=2-\frac{1}{n^2}$.
      \end{exemple}
   
On        obtient        par        exemple        $u_1=${$2-1=1$},
$u_2=${$2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$}, $u_{10}=${$2-\frac{1}{100}=\frac{199}{100}$}



On peut même tracer sa représentation graphique. On peut le faire 

\begin{itemize}
\item sur un axe~:

\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{suitesES.1}
\end{center}


\item dans un repère du plan~:


% \begin{pro-suitefn}{1}
% ["u",1],              // nom,indice debut
% [4,"rouge"],          // nb termes,couleur,optionel(noms caches)
% [2-1/x^2,"bleu"],         // expression,couleur,optionnel(intervalle, bornes)
% -.5,11,-0.25,2.25,       //xmin,xmax,ymin,ymax,
% 1,0.3,1,0.5,0.5,0.25,//ux,uy,cx,cy,gx,gy,
% [                 // ----------------- debut des options
% ["texte-courbe",0.9,"$({@cal C}_f)$","urt","bleu"],
% ["titre-droite","$({@cal C}_f) : y=2-@dfrac{1}{x^2}$"],
% ["titre-gauche","$u_n=f(n)$ à partir de $n=1$"]
% ]               // ----------------- fin des options
% \end{pro-suitefn}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{suites1es.suitefn1.0}
\end{center}
%\end{figure}


  
\end{itemize}
              \begin{DANGER}
              La  représentation graphique de  la suite  n'est constitué
              que par les points de $\mathscr{C}_f$ d'abscisses entières~:~il ne
              faut donc pas les relier mais laisser des petites croix isolées.
            \end{DANGER}



            \subsection{Suite définie par une relation de récurrence}

             \begin{exemple}[]
Il nous faut un point de départ~:~posons par exemple $u_0=1$ et $u_1=1$.

Ensuite, il  nous faut  un petit algorithme,  comme dans les  dessins de
maternelle...

Disons ici que chaque terme est égal à la somme des deux précédents.
Calculez  les 10 premiers  termes de  la suite.
\end{exemple}
    
$u_0=1$,                 $u_1=1$,                $u_2=${$1+1=2$},
$u_3=${$1+2=3$},$u_4=${$2+3=5$},$u_5=${$3+5=8$}

$u_6=${$5+8=13$},$u_7=${$8+13=21$},$u_8=${$13+21=34$},$u_9=${$21+34=55$}

$u_{10}=${$34+55=89$}.

Pouvez-vous calculer le 137\eme terme de cette suite\footnote{Cette  suite est
célèbre  et  porte  le  nom  de  «~suite de  Fibonacci~»  du  surnom  du
mathématicien  italien  Leonardo  \textsc{Pisano}(1175  -  1250).  Cette
suite   présente  d'innombrables   propriétés   remarquables.  Fibonacci
l'avait  utilisée pour  décrire l'évolution  d'une population  de lapins
immortels.  Plus  tard,  un  romancier  américain  opportuniste  a  fait
fortune en en parlant dans un roman portant le nom d'un autre Leonardo...}~?

  \begin{definition}[suite définie par une relation de récurrence ]
    C'est une suite dont on connaît le(s) premier(s) terme(s) et dont un
    terme quelconque est défini en fonction des termes précédents.
    \end{definition}
 

    \begin{exemple}[]
      Soit $s$ et $t$ les suites définies par~: 

$s~:~\begin{cases}s_0=1\\ \text{pour
      tout entier } n \geqslant  1, \ s_n=1+\frac{1}{s_{n-1}}\end{cases} t~:~\begin{cases}t_0=1\\ \text{pour
      tout entier } n \geqslant  1, \ t_n=\sqrt{1+t_{n-1}}\end{cases}$.

Calculez les valeurs approchées à $10^{-4}$ près des 10 premiers termes de chaque suite.
      \end{exemple}
    


      \begin{Idee}{utilisation de la touche [Ans] de la calculatrice}
        On commence par entrer le premier terme. Par exemple pour $s$~:

\CUn \CExe

Ensuite, on  utilise la touche  [Ans] qui récupère le  dernier résultat
donné par la machine, c'est-à-dire ici 1~:

\CUn \CPlus \CUn \CDiv [Ans] \CExe

ensuite, on tape sur \CExe pour obtenir les termes suivants.

        \end{Idee}


        Sur un sujet de Bac, ça ressemblerait à ça:

        \begin{algo}
          \ALGO{Suite récurrente version Bac :/}
          \VAR
          \DECLVAR{n, k}{entier}
          \DECLVAR{S}{flottant}
          \BEGIN
          \STATE{Afficher("valeur de n ?")}
          \STATE{Lire(n)}
          \STATE{S \recoit{} 1}
          \FOR{k}{1}{n}
          \STATE{S \recoit{} 1 + 1/S}
          \ENDFOR
          \STATE{Afficher(S)}
          \END
        \end{algo}

        On peut rêver qu'un jour cela devienne:

        \begin{algo}
          \FUNC{s}{\pfarg{n}{entier}}{flottant}
          \VAR
          \DECLVAR{k}{entier}
          \DECLVAR{S}{flottant}
          \BEGIN
          \STATE{S \recoit{} 1}
          \FOR{k}{1}{n}
          \STATE{S \recoit{} 1 + 1/S}
          \ENDFOR
          \RETURN{S}
          \END
        \end{algo}

        Pourquoi serait-ce un rêve?
        
% Avec un logiciel programmable, on peut écrire ça~:


% %@Commande-1
% \begin{lstlisting}
%  s := 1; S := s;
%     pour k de 1 jusque 10 faire
%            s := 1 + 1/s;
%            S := S, approx(s);
%     fpour;
% \end{lstlisting}
% \setindent{0cm}
% {\MarqueLaTeXGiac{\[ 1,1,1,     2.000000,     1.500000,     1.666667,     1.600000,     1.625000,     1.615385,     1.619048,     1.617647,     1.618182,     1.617978 \]}}
% \setindent{\indentationcours}



% %@Commande-2
% \begin{lstlisting}
%  t := 1; T := t;
%     pour k de 1 jusque 10 faire
%            t := sqrt(1 + t);
%            T := T, approx(t);
%     fpour;
% \end{lstlisting}
% \setindent{0cm}
% {\MarqueLaTeXGiac{\[  1,1,1, 1.414214,  1.553774, 1.598053,  1.611848, 1.616121,
%       1.617443, 1.617851, 1.617978, 1.618017, 1.618029 \]}}

% \setindent{\indentationcours}


Sur Python on peut faire pareil:

\begin{pythoncode}
def s0(n):
    s = 1
    for k in range(1,n):
        s = 1 + 1/s
    return s
\end{pythoncode}

Ensuite on peut peaufiner pour le plaisir:

\begin{pythoncode}
def s(n):
    assert type(n) is int and n >= 1, 'La suite est définie pour des entiers > 0'
    if n == 1:
        return 1
    else :
        return 1 + 1 / s(n - 1)
\end{pythoncode}


On peut obtenir quelques termes de la suite:

\begin{pythoncode}
In [23]: [s(k) for k in range(1,10)]
Out[23]: 
[1,
 2.0,
 1.5,
 1.6666666666666665,
 1.6,
 1.625,
 1.6153846153846154,
 1.619047619047619,
 1.6176470588235294]

In [24]: [s(k) for k in range(100,110)]
Out[24]: 
[1.618033988749895,
 1.618033988749895,
 1.618033988749895,
 1.618033988749895,
 1.618033988749895,
 1.618033988749895,
 1.618033988749895,
 1.618033988749895,
 1.618033988749895,
 1.618033988749895]
\end{pythoncode}




Il  existe  également des  modes  spécifiques  pour  étudier les  suites
définies par une  relation de récurrence sur calculatrices. Par  exemple pour la
\texttt{TI-83 Premium CE}:


On    tape     \keystroke{mode}    puis    sur    la     quatrième    ligne    on
sélectionne(\texttt{Suit})



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=.6]{suite0}
\end{center}
%\end{figure}


On va ensuite sur \keystroke{$f(x)$}.

On entre \texttt{nMin=1}, \texttt{u(n)=} \CUn
\CPlus \CUn \CDiv [2nde] [$u_n$] \CParOuv \CX \CMoins \CUn \CParFerm


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=.6]{suite1}
\end{center}
%\end{figure}



On va ensuite sur [table] ou sur  [calculs] et on choisit le
rang désiré.

\begin{multicols}{2}
  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=.6]{suite2}
\end{center}
% \end{figure}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=.6]{suite3}
\end{center}
%\end{figure}


\end{multicols}


\subsection{Suites arithmétiques et géométriques}



\subsubsection{Suites arithmétiques}

Nous n'allons étudier que deux  cas très particuliers de suites définies
par une relation de récurrence.  

Le  premier cas  concerne les  suites
telles que l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même
nombre.


  \begin{exemple}[]\label{mamie}
    

Votre mamie vous donne 2 euros 50 tous les ans le 25 décembre. Vous décidez de garder précieusement cet
argent dans  votre chaussette préférée en  vous interdisant d'y toucher  pendant les soixante-quinze
ans à venir.

De quelle somme disposerez-vous après $n$ années ?

    \end{exemple}
 



Notons $C_1$ votre capital après un noël et plus généralement $C_n$ votre capital après $n$ noëls. 

On a $C_1=2,5$ puis $C_2=5$, $C_3=7,5$, etc.



Avec un bon sens de l'observation, nous remarquons que 

\[C_n= 2,5\times n\]

Nous avons ainsi tout naturellement construit une \emph{suite} de
sommes d'argent qui est en fait une suite numérique de \emph{terme
général} $C_n=2,5n$. C'est un cas particulier qui nous intéresse~:

  \begin{definition}[suite arithmétique]
    Une suite  $(u_n)$ est  arithmétique lorsqu'il  existe un réel  $b$ tel  que, pour  tout $n\in\bbn$,

\[u_{n+1}=u_n+b\]

 On appelle $b$ la raison de la suite

    \end{definition}
 

Dans l'exemple  \vref{mamie}, si on  appelle $C_n$ le  capital constitué
après $n$ années, $C_{n+1}=C_n+2,5$  avec $C_0=0$~:~la suite $(C_n)$ est
donc une suite arithmétique de raison .... et de premier terme ....

 
    \begin{Idee}{Comment montrer qu'une suite n'est pas arithmétique~?}
      Par  exemple,   considérons  la  suite  définie   sur  $\bbn$  par
      $u_n=2n^2+1$.

Calculons les premiers termes~:~$u_0=...$, $u_1=...$, $u_2=...$.

Calculons $u_1-u_0=...$ et $u_2-u_1=...$. Que pouvons-nous en conclure~?

\vspace{1cm}
      \end{Idee}
    

\paragraph{Expression explicite du terme général}

Observons    les    premiers    termes    d'une    suite    arithmétique
$(a_n)_{n\in\bbn}$ de premier terme
$a_0$ et de raison $r$~:

\begin{align*}
a_{\textcolor{0.6white}{0}}&=&a_0=a_0+\textcolor{0.6white}{0}\cdot r\\
a_{\textcolor{0.6white}{1}}&=&a_0+r=a_0+\textcolor{0.6white}{1}\cdot r\\
a_{\textcolor{0.6white}{2}}&=&a_1+r=(a_0+r)+r=a_0+\textcolor{0.6white}{2}\cdot r\\
a_{\textcolor{0.6white}{3}}&=&a_2+r=(a_0+2r)+r=a_0+\textcolor{0.6white}{3}\cdot r\\
a_{\textcolor{0.6white}{4}}&=&a_3+r=(a_0+3r)+r=a_0+\textcolor{0.6white}{4}\cdot r\\
a_{\textcolor{0.6white}{5}}&=&a_4+r=(a_0+4r)+r=a_0+\textcolor{0.6white}{5}\cdot r\\
\end{align*}


Il semble se dégager que pour  n'importe quel entier naturel $n$, on ait
$a_n=a_0+n\cdot r$

Vérifions que la suite de terme général $u_n=a_0+n\cdot r$ est bien la suite $(a_n)$~:

\begin{itemize}
\item son premier terme est $a_0+0\cdot r=a_0$~;
\item étudions la différence de deux termes consécutifs quelconques. Soit $p$ un entier quelconque. Calculons $u_{p+1}-u_p$.

$u_{p+1}-u_p=a_0+(p+1)r-(a_0+nr)=$
\end{itemize}

Conclusion~:

  \begin{theoreme}[expression explicite du terme général d'une suite arithmétique]
    Une suite $(a_n)_{n\in\bbn}$ est arithmétique de premier terme $a_0$ et de raison $r$ si, et seulement si, pour tout entier naturel $n$,
\[a_n=a_0+n\cdot r\]
    \end{theoreme}
  

    \begin{Idee}{Expression du terme général en fonction d'un autre terme que celui de rang 0}
      Soit $p$ un entier supérieur à un entier $m$.

$a_p=a_0+p\cdot r$ et $a_m=a_0+m\cdot r$. Alors $a_p-a_m=...$

On obtient donc que \fbox{$a_p=a_n+(p-n)r$}
      \end{Idee}
   

% \subsection{Sens de variation d'une suite arithmétique}

% Il suffit  d'observer que pour tout  entier naturel $n$,  en gardant les
% mêmes notations que précédemment, $a_{n+1}-a_n=r$~:~le sens de variation
% de la suite dépend donc du signe de $r$... ce qui est assez logique~!

\paragraph{Représentation graphique}

Avec  les mêmes  notations, $a_n=a_0+n\cdot  r=f(n)$  avec $f~:~x\mapsto
a_0+r\cdot  x$.  La  fonction  $f$  est donc  une  fonction  affine~:~sa
représentation  graphique  est   une  droite  de  coefficient  directeur
$r$. 




% \begin{pro-suitefn}{3}
% ["a",0],              // nom,indice debut
% [6,"rouge","cache"], // nb termes,couleur,optionel(noms caches)
% [-2+4*x/3,"bleu"],         // expression,couleur,optionnel(intervalle, bornes)
% -1.5,6,-6,6,       //xmin,xmax,ymin,ymax,
% 0.5,2,1,2,.5,1,//ux,uy,cx,cy,gx,gy,
% [                 // ----------------- debut des options
% ["texte-courbe",-1,"$({@cal C}_f)$","bot","bleu"],
% ["titre-gauche","Suite arithmétique de raison $@frac{4}{3}$ et de premier terme $-2$"]
% ]               // ----------------- fin des options
% \end{pro-suitefn}



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{suites1es.suitefn3.0}
\end{center}
%\end{figure}


  \begin{theoreme}[représentation graphique d'une suite arithmétique]
Les points correspondant aux termes d'une suite arithmétique sont donc alignés
sur  une droite  de  coefficient  directeur la  raison  et d'ordonnée  à
l'origine le premier terme.
 \end{theoreme}
 
\paragraph{Somme des premiers termes d'une suite arithmétique}

\textbf{Somme des $n$ premiers entiers naturels}

On veut  calculer $S_n=1+2+3+\cdots+n$. La démonstration  suivante a été
donnée par le jeune Friedrich \textsc{Gauss} à l'âge de 7 ans~:


\begin{center}
             \begin{tabular}{cccccccccccc}
	     $S_n=$&1&+&2&+&3&+&$\cdots$&+&$n-1$&+&$n$\\
             $S_n=$&$n$&+&$n-1$&+&$n-2$&+&$\cdots$&+&2&+&1\\
\whline
$2S_n=$&$n+1$&+&$n+1$&+&$n+1$&+&$\cdots$ &+&$n+1$&+&$n+1$\\
             \end{tabular}
             \end{center}


Conclusion $2S_n=...$\hspace{2cm} et donc~:

  \begin{theoreme}[somme des $n$ premiers entiers naturels]
    La somme des entiers de 1 à $n$, notée $\ds\sum_{k=1}^nk$, est égale
    à $\dfrac{n(n+1)}{2}$
    \end{theoreme}
  
\textbf{Somme des premiers termes d'une suite arithmétique}


Avec    les    notations     habituelles,    nous    voulons    calculer
$T_n=\ds\sum_{k=0}^na_k=a_0+a_1+a_2+\cdots+a_n$.

$T_n=a_0+a_0+r+a_0+2r+a_0+3r+\cdots+a_0+nr$

Combien de fois apparaît $a_0$ dans la somme ? 

On peut d'autre part factoriser par $r$: just do it.


\vspace{5cm}

  \begin{theoreme}[somme des premiers termes d'une suite arithmétique]
     \'Etant donné une suite arithmétique $a$ de raison $r$
\[\ds\sum_{k=0}^{n}a_k=\fr{\text{nombre de termes}\times(\text{1er terme+dernier terme})}{2}=\fr{(n+1)(a_0+a_n)}{2}\]
 \end{theoreme}
  
\subsubsection{Suites géométriques}

Nous irons plus vite ici : c'est des révisions...

\paragraph{Définition}




  \begin{definition}[suite géométrique]
Une  suite $(g_n)$  est géométrique  lorsqu'il existe  un réel  $q$ tel  que, pour  tout $n\in\bbn$,
$$g_{n+1}=q\cdot g_n$$ On appelle $q$ la raison de la suite.
    \end{definition}

\paragraph{Expression explicite du terme général}



  \begin{theoreme}[expression explicite du terme général d'une suite géométrique]
    Une suite $(g_n)_{n\in\bbn}$ est géométrique de premier terme $g_0$ et de raison $q$ si, et seulement si, pour tout entier naturel $n$,
\[g_n=g_0\cdot q^n\]
    \end{theoreme}
 

% \subsection{Sens de variation d'une suite géométrique}

% Il suffit  d'observer que pour tout  entier naturel $n$,  en gardant les
% mêmes                            notations                           que
% précédemment 

% \[g_{n+1}-g_n=g_0q^{n+1}-g_0q^n=q^ng_0(q-1)\]
% Le sens de variation
% de la suite dépend donc du signe de $g_0(q-1)$.




\paragraph{Somme des premiers termes d'une suite géométrique}


  \begin{theoreme}[somme des premiers termes d'une suite géométrique]
     Si $q\neq 1$, $\ds\sum_{k=0}^{n}g_k=\text{premier terme}\times\fr{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}=g_0\fr{1-q^{n+1}}{1-q}$
    \end{theoreme}
 






\subsection{Sens de variation d'une suite}

\subsubsection{Le cours court}

\begin{definition}[]
  On dit que la suite $(u_n)_{n\geq0}$ est :
  \begin{itemize}
  \item strictement croissante si pour tout $n\in\N$, $u_{n+1} > u_n$;
  \item strictement décroissante si pour tout $n\in\N$, $u_{n+1} < u_n$.
  \end{itemize}
\end{definition}

\begin{exemple}
  On pose pour tout $n\in\N$, $u_n=(2n+1)^2$. Pour étudier les variations de $(u_n)_{n\geq0}$, on calcule $u_{n+1}-u_n$ :
\[
\begin{array}{rcl}
  u_{n+1}-u_n & = & \left(2(n+1)+1\right)^2 - \left(2n+1\right)^2 \\
             & = & \left(2n+3\right)^2 - \left(2n+1\right)^2\\
             & = & 4n^2 + 12n + 9 - (4n^2 + 4n +1)\\
             & = & 8n+8>0 \textrm{, pour }n\in\N\\
\end{array}
\]
Donc la suite  $(u_n)_{n\geq0}$ est strictement croissante.
\end{exemple}

\begin{exemple}
  On considère la suite $(v_n)_{n\geq0}$ définie par récurrence par : $\displaystyle{\left\{
  \begin{array}[c]{l}
    v_0 = 10\\
    v_{n+1}=\left(v_n\right)^2+3v_n+1\\
  \end{array}
\right.}$. 

Pour étudier les variations de $(v_n)$, on va calculer  $v_{n+1}-v_n$ :
\[
\begin{array}{rcl}
  v_{n+1}-v_n & = & \left(v_n\right)^2+3v_n+1 - v_n \\
             & = & \left(v_n\right)^2+2v_n+1  \\
             & = & \left(v_n+1\right)^2 >0 \textrm{, pour }n\in\N\\
\end{array}
\]
Donc la suite  $(v_n)_{n\geq0}$ est strictement croissante.
\end{exemple}

\begin{propriete}
  Soit $u$ une suite à TERMES STRICTEMENT POSITIFS. Alors :
  \begin{itemize}
  \item la suite $u$ est strictement croissante si et seulement si pour tout $n\in\N$ on a $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$;
  \item la suite $u$ est strictement décroissante si et seulement si pour tout $n\in\N$ on a $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$.
  \end{itemize}
\end{propriete}

\begin{propriete}
  Soit $f$ un fonction définie sur $\R_+$ et $u$ la suite définie pour $n\in\N$ par $u_n=f(n)$. Alors :
  \begin{itemize}
  \item si $f$ est croissante sur $\R_+$ alors $u$ est croissante;
  \item si $f$ est décroissante sur $\R_+$ alors $u$ est décroissante.
  \end{itemize}
\end{propriete}



\begin{DANGER}[]
  Les réciproques des deux propositions précédentes sont fausses : $u$ peut être
  croissante et  $f$ ne  pas l'être  sur $\R_+$ ($f$  peut avoir  des variations
  quelconques entre deux entiers consécutifs).

  Trouvez des contre-exemples!
\end{DANGER}


\subsubsection{Variations autour d'un exemple}


On  veut  étudier le  sens  de  variation de  la  suite  \textbf{u} définie  par
$u_n=n^3$.
%$

\begin{itemize}

\item \textbf{En déterminant le signe de} $\mathbf{u_{n+1}-u_n}$
  
  
  
Pour tout entier $n$:

$$u_{n+1}-u_n=(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1$$

Le dernier terme est strictement positif  comme somme de deux termes positifs et
d'un terme strictement positif.

Ainsi, pour tout entier naturel $n$:

$$u_{n+1}-u_n>0$$

La suite \textbf{u} est donc strictement croissante.

\begin{remarque}
  N'oubliez pas que $n$ est positif!
\end{remarque}



\item \textbf{En utilisant une fonction auxiliaire}

  La fonction $f:x\mapsto x^3$ est strictement croissante sur $\bbr$ donc pour tout
  entier naturel $n$:

  $$n<n+1 \Longrightarrow f(n)=u_n<f(n+1)=u_{n+1}$$

  La suite \textbf{u} est donc strictement croissante.
  
\item \textbf{En comparant} $\mathbf{\frac{u_{n+1}}{u_n}}$ \textbf{ à 1}

  Pour tout $n \geqslant 1$ on a  $n^3>0$ donc la suite est à termes strictement
  positifs à partir du rang 1.

  Pour tout $n \geqslant 1$:

  $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^3=\left(1+\frac{1}{n}\right)^3>1$$

  La suite est strictement croissante à  partir du rang 1. Or $u_0=0<1=u_1$ donc
  la suite \textbf{u} est strictement croissante.
\end{itemize}



\begin{NB}
  Quelle  méthode vous  paraît  plus adaptée?  Une chose  est  sûre, la  troisième
  demande une vérifiaction supplémentaire, la seconde ne concerne que
  certaines  suites, la  première est  plus  générale et  permet d'utiliser  nos
  outils d'étude du signe d'une expression.

  Elles sont  donc classées  dans l'ordre  de préférence mais  si vous  avez une
  suite définie par un  produit, on préfèra la troisième et  si elle est définie
  par une somme alors on choisira la première.
\end{NB}



\subsection{Majoration, minoration}


\begin{definition}[]
  Une suite \textbf{u} est \textbf{majorée} si, et seulement si, pour tout entier $n$, il
  existe un réel M tel que $u_n \leqslant M$.

  Une suite \textbf{u} est \textbf{minorée} si, et seulement si, pour tout entier $n$, il
  existe un réel m tel que $u_n \geqslant  m$.

  Une  suite \textbf{u}  est \textbf{bornée}  si, et  seulement si,  elle est  à la  fois
  minorée et majorée.
\end{definition}


\begin{remarque}
  Les minorants et les majorants ne sont pas uniques.

  Par exemple,  pour tout entier $n$  la suite \textbf{u} définie  par $u_n=n^2$
  est minorée par 0 mais aussi par $-5$, par $-\sqrt{\pi^{2017}-3}$, etc.
\end{remarque}









\section{Petite digression philosophique}




\subsection{Prenons le temps d'y penser}


\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
  \begin{minipage}[t]{3.2cm}
    \begin{figure}
      \includegraphics[width=3cm]{weierstrass}
      \caption*{Karl \textsc{Weierstra\ss}\\(1815 - 1897)}
    \end{figure}
  \end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-6cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
  
\end{minipage}

La  notion
d'infini a  turlupiné les  plus grands esprits  pendant des  siècles. De
rudes batailles philosophico-mathématiques ont été menées de l'Antiquité
à nos jours.

Même si la conception  de limite est encore en évolution,  celle que nous allons
découvrir cette année a vu le jour en 1850 grâce au
charmant  \textsc{Weierstra\ss}  et  avait  échappé  à  \textsc{Galilée,
Descartes, Pascal,  Leibniz, Newton}, etc. bref~:~du  beau monde...et on
vous demande d'assimiler cette notion en quelques semaines~!


L'humanité ayant pris son temps  pour l'acquérir, n'hésitez pas vous non
plus à réfléchir calmement à ce à quoi peut ressembler un \og~infiniment
grand~\fg et un \og~infiniment petit~\fg.


Cela  vous permettra  peut-être d'éviter  d'écrire, comme  tant d'autres
lycéens, de  grosses bêtises  sur vos copies  au moment de  calculer des
limites.



\subsection{De l'Antiquité au Moyen-Âge}




\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
  \begin{minipage}[t]{3.2cm}
    \begin{figure}
      \includegraphics[width=3cm]{Zenon}
      \caption*{Zénon d'Élée \\ (-490 - -430)\\}
    \end{figure}
  \end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-4.8cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
  
\end{minipage}


Nous  sommes  coincés
entre  deux  notions~:~celle d'infiniment  grand  et celle  d'infiniment
petit.  C'est la deuxième qui a commencé par poser le plus de problèmes.
Au V\up{e} siécle avant JC, Zénon proposa quatre paradoxes,  dont le plus célèbre
est celui d'Achille  et de la Tortue. Achille  coure beaucoup plus vite
que la  tortue mais  part 10 mètres  derrière elle. Le  temps qu'Achille
franchisse ces 10 mètres, la tortue aura parcourue une certaine distance
d,  le temps  qu'Achille franchisse  cette  distance d,  la tortue  aura
parcouru une certaine  distance d', etc., donc Achille  mettra un temps
infini à franchir  ces distances de plus en plus  petites mais en nombre
infini~!


Archimède et  avant lui Démocrite  réussirent à calculer les  volumes de
solides  en \og~empilant~\fg  des  \og~lamelles~\fg planes  d'épaisseurs
infiniment petites. C'est ainsi qu'Archimède  montra que le volume de la
sphère valait $\frac{4}{3}\pi R^3$.


Concernant les rapports entre les infinis, les questions se posèrent dès
le  Moyen-Âge où  la figure  suivante  permit d'affirmer  qu'il y  avait
autant  de points  sur le  petit  cercle que  sur le  grand\footnote{Les
démonstrations géométriques ont  longtemps été les seules démonstrations
admises en mathématiques depuis les Grecs. }.


\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
  \begin{minipage}[t]{3.2cm}
    \begin{figure}
      \includegraphics[width=3cm]{galilee}
      \caption*{Galilée (1564 - 1642)\\}
    \end{figure}
  \end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-5cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
  
\end{minipage}

\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{moyenage1}
\end{center}

Ainsi, deux infiniment grands différents  semblent en fait avoir le même
nombre -infini- d'éléments...

\subsection{Du XVI\up{e} au XVII\up{e} siècle}



Entre  deux découvertes,  \textsc{Galilée} remarqua  qu'à  chaque entier
naturel,  on pouvait associer  son carré  et réciproquement  qu'à chaque
carré on pouvait faire correspondre sa racine carrée.


\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{moyenage2}
\end{center}






\smallskip


Il y avait donc autant d'entiers naturels que de carrés parfaits, ce qui
en laissa plus d'un  rêveur... Le grand \textsc{Leibniz} lui-même refusa
de \emph{croire} que  des infinis qui paraissaient de  toute évidence de
tailles différentes soient en fait de même taille.

%\medskip

\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
  \begin{minipage}[t]{3.2cm}
    \begin{figure}
      \includegraphics[width=3cm]{cavalieri}
      \caption*{Bonaventura \textsc{Cavalieri} (1598 - 1647)\\}
    \end{figure}
  \end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-7cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
  
\end{minipage}

Mais  la plus grande
des   batailles  se   joua   au  sujet   des   infiniment  petits,   que
\textsc{Cavalieri}   nomma   pour  la   première   fois
\emph{indivisibles}.

\textsc{Pascal} en fit de larges  commentaires. Il remarqua en effet que
tout  esprit admet facilement  qu'une quantité  puisse être  augmentée à
l'infini en la doublant et en réitérant le mécanisme par exemple.

En   revanche  il  est   \emph{psychologiquement}  beaucoup   plus  ardu
d'imaginer un \og~infini de petitesse~\fg.

Prenons un  segment de  droite et  divisons-le en 2,  puis encore  en 2,
etc.  Si on  admet une  fin de  la division  nous dit  Pascal,  on admet
l'existance d'indivisibles. Si ces indivisibles ont une étendue, il sont
encore divisibles, ce  qui est absurde. Mais s'ils  n'ont pas d'étendue,
on ne peut  pas les \og~recoller~\fg pour reformer  la division dont ils
sont issus...

Donc, Pascal  arrive \emph{indirectement} à la conclusion  qu'on ne peut
pas arrêter la division et qu'elle peut se répéter infiniment.

La  difficulté   d'appréhension  vient   du  fait  qu'on   n'accède  pas
directement  à  la  preuve  de  l'existence  d'infiniment  petits,  mais
indirectement  en  prouvant   qu'il  est  impossible  qu'ils  n'existent
pas~!...

Reste à déterminer  la nature de cet infiniment petit.  D'une part on le
considère comme négligeable devant des grandeurs \emph{mesurables}, tout
comme le point est négligeable devant la droite.

Mais  il  ne  faut  pas  trop  le négliger  sous  peine  de  ne  pouvoir
reconstituer  en  l'additionnant  une  quantité  mesurable  comme  l'ont
théorisé Leibniz  et Newton  avec le calcul  différentiel comme  nous le
verrons en étudiant les dérivées et les intégrales.

Ils ont  en effet eu  besoin d'addditionner des infiniment  petits, mais
ont remarqué des résultats troublants.

Par exemple, \textsc{Euler}(1707 - 1783) a montré que
\[1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\]

mais que

\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots\longrightarrow
+\infty\]

même si dans chacun des cas on ajoute des infiniment petits.

De plus, on peut se demander que vaut

\[1-1+1-1+1-1+\cdots\]

D'une    part,    $(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots=0$,    et    d'autre    part
$1-(1-1)-(1-1)-\cdots=1$, et donc...$0=1$~!

Bref,  y  a quelque  chose  qui  cloche là-dedans,  ce  qui  fit dire  à
l'Irlandais  \textsc{Berkeley}  \emph{ne  vaut-il  pas mieux  donner  de
bonnes  approximations que  prétendre atteindre  à l'exactitude  par des
sophismes~?} et  donc étudier des  polygones plutôt que des  courbes par
exemple.

Sauf  qu'il faudrait alors  réfuter le  calcul différentiel  et renoncer
quasiment à tout ce qui s'est découvert en sciences depuis le XVII\up{e}
siècle~!


\subsection{Le XIX\up{e} siècle...enfin~!}


\textsc{Gauss}, l'un des plus grands  génies de l'Histoire
n'a pas encore  une vision correcte de l'infini, mais  résume en fait la
vision  générale  des  limites   que  vous  devez  acquérir  au  Lycée~:
\emph{L'infini ne  doit être  qu'une façon de  parler pour  exprimer que
certaines quantités  peuvent s'approcher aussi près que  l'on veut d'une
limite ou augmenter au delà de toute limite.}



\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
  \begin{minipage}[t]{3.2cm}
    \begin{figure}
      \includegraphics[width=3cm]{gauss}
      \caption*{Carl Friedrich \textsc{Gauss} (1777 - 1855)\\}
    \end{figure}
  \end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-5.5cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
  
\end{minipage}

Le grand bond de la  pensée vient d'être effectué~:~cet infiniment petit
qu'on  recherchait avec  tant d'ardeur  depuis des  siècles,  cet ultime
stade hypothétique, on le cherchait au mauvais endroit~:~on le cherchait
constant alors qu'il faut le considérer comme \emph{variable}~:~c'est ce
que traduit le \emph{aussi petit que  l'on veut} dont parle Gauss et que
va  reprendre  \textsc{Cauchy}  dans  ses  \emph{Leçons  sur  le  calcul
infinitésimal} qui marque le réel envol de l'Analyse moderne.

 Notre
austère  royaliste posa  en  effet \emph{Si  les valeurs  successivement
attribuées à  une variable s'approchent indéfiniment  d'une valeur fixe,
de manière  à finir  par en  différer aussi peu  que l'on  voudra, alors
cette dernière est appelée la limite de toutes les autres.}


C'est  la définition  utilisée  en Terminale.  Il  existe cependant  une
faille  dans cette  définition  mais  qui est  sans  importance à  notre
niveau.

Il  faudra attendre 1861  et Weierstra\ss\  pour obtenir  une définition
rigoureuse  et  surtout  \textsc{Cantor}\label{cantor}  pour  explorer  les  réels  et
l'infini.% (voir aussi \vref{discretcontinu}). 

Cantor mit au point la  \emph{Théorie des Ensembles} et prouva ainsi des
résultats qui défient la perception que l'on a du monde réel.

Il donna  un nom au \emph{cardinal} (c'est-à-dire  au nombre d'éléments)
de $\bbn$~:~$\aleph_0$ (qui  se lit aleph zéro). Il  montra qu'il s'agit
du  plus  petit  cardinal  d'un  ensemble infini.   Comme  l'avait  déjà
pressenti  Galilée, il  montra  qu'il  y a  autant  d'entiers pairs  que
d'entiers tout court, et donc que $2\times \aleph_0=\aleph_0$. 



Il montra
ensuite qu'il y avait autant  de nombres rationnels que d'entiers. Or un
entier peut être représenté  par un couple (numérateur,dénominateur). Il
y    a   donc    $\aleph_0\times\aleph_0$   tels    nombres    et   donc
$\aleph_0^2=\aleph_0$...       On      parle      alors      d'ensembles
\emph{dénombrables},  c'est-à-dire d'ensembles  dont  tous les  éléments
peuvent  être   reliés  d'une   et  une  seule   manière  à   un  entier
naturel\footnote{en  gros,  on  peut  accoler  un  dossard  différent  à
tous...}


Est-ce pareil pour  $\bbr$~? Cantor montra en fait  que $\bbr$ n'est pas
dénombrable~:~on ne  peut pas  mettre un dossard  sur chacun  des nombre
réels. Plus  fort encore~:~il  montra qu'il y  a autant de  nombres dans
$[0\pv 1]$ que dans $\bbr$ tout  entier. Et le summum~:~il y a autant de
nombres dans $[0\pv 1]$ que dans l'Espace de dimension 3 tout entier~!

Ce  résultat rendit  à  moitié fou  le  pauvre russo-germano-danois  qui
affirma en parlant  de ces résultats~:~\og~je le vois  mais je n'y crois
pas~\fg...


Lorsqu'on vous a présenté les réels en 2\textsuperscript{nde}, on vous a
parlé  des entiers  naturels, des  entiers relatifs,  des  décimaux, des
rationnels,  des irrationnels.  On a  cependant besoin  de  parler d'une
autre catégorie de nombres~:~\emph{les nombres algébriques} qui sont les
réels solutions d'une équation polynomiale à coefficients rationnels...

Par  exemple,   $\sqrt{2}$  est  algébrique  car  il   est  solution  de
$x^2-2=0$.  De  même,  $\frac{3}{2}$  est  algébrique  car  solution  de
$2x-3=0$.

Les nombres qui ne sont pas algébriques sont dits \emph{transcendants}.

Cantor  montra   que  l'ensemble  des  nombres   algébriques  est  aussi
dénombrable,  et  donc  que   les  nombres  transcendants  ne  sont  pas
dénombrables,  c'est-à-dire qu'il  y  en a  beaucoup  plus...or vous  ne
connaissez qu'un seul de ces  nombres~:~$\pi$~! Et on en connaît en fait
très peu~:~il a  fallu de grosses recherches à la  fin du XIX\up{e} pour
prouver que  $\pi$ était transcendant.  C'est assez troublant  de penser
qu'on ne connaît pas la plupart des nombres réels~!...



\subsection{Oui...et alors~?}

Votre cerveau fume~?...Bien~! Que  retenir de ce passionnant exposé~? Et
bien au moins que \emph{calcul sur les limites = danger}. Les infiniment
grands et les  infiniment petits doivent se traiter  avec la plus grande
prudence  et   qu'il  a  fallu   des  siècles  à  l'humanité   pour  les
apprivoiser. Quant à vous, je vous laisse deux semaines...

Il est maintenant temps de s'amuser un peu.








\section{La somme des entiers fait le buzz}

Très récemment,  une bataille s'est engagée  via Youtube au sujet  d'un problème
mathématique qui  a donné lieu  à des  kilomètres d'échanges très  virulents sur
internet et concerne un peu notre chapitre sur les limites de suites.

Voici quelques liens qui témoignent de la bataille:

\begin{itemize}


\item L'article qui fait scandale:
  \href{https://sciencetonnante.wordpress.com/2013/05/27/1234567-112/}{https://sciencetonnante.wordpress.com/2013/05/27/1234567-112/}

\item Une mise au clair:
  \href{https://sciencetonnante.wordpress.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/}{https://sciencetonnante.wordpress.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/}


\item Une réponse sans ambiguité quoiqu'un peu difficile à suivre au niveau Terminale:

\href{https://youtu.be/IghfFlXK__U}{https://youtu.be/IghfFlXK\_\_U}

\item Une magnifique réponse mais en anglais:

\href{https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw}{https://www.youtube.com/watch?v=sD0NjbwqlYw}



\end{itemize}




Vous pourrez y entendre par exemple:

\begin{quote}
  \textit{You are a mathematician, so you don't let the fact that something is nonsensical stop you}
\end{quote}

Pendant  longtemps, parler  de $\sqrt{2}$  comme  un nombre  était une  hérésie,
parler de nombres négatifs vous envoyait en enfer.

Jusqu'à  présent, votre  prof de  maths vous  fouettait si  vous évoquiez un carré
négatif...Et pourtant  cette année, vous  manipulerez des nombres dont  le carré
vaut $-37$. Nous compremdrons ce que peut signifier:

$$0.999999.............=1$$


Vos camarades de spécialité maths verront que parfois:

$$2+2 = 1$$


Et peut-être qu'un jour vous ne serez pas choqués de voir inscrit:

$$1 + 2 + 4 + 16 + 32 + 64 + 128 +\cdots + 2^n + \cdots = -1$$

et peut-être n'avez-vous pas réalisé que  sur notre planète, la somme des angles
d'un triangle peut valoir 270 degrés!



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5.2cm]{wonkaSomme}
\end{center}
% \end{figure}

Mais que cela ne vous incite pas  à dire n'importe quoi. Cette année plus encore
qu'auparavant,  il faudra  être bien  précis  et rigoureux  et vous  comprendrez
peut-être pourquoi un prof de maths répond toujours par une question.



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5.2cm]{batmanCarre}
\end{center}
% \end{figure}

N'oubliez pas ce qu'a dit le héros de notre chapitre:


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{cantorLiberte}
\end{center}
% \end{figure}

Mais revenons à notre programme de Bac...

\section{Comportement asymptotique d'une suite}

Le  mot «  asymptote » est construit  à l'aide  du préfixe  privatif  « a  » et  de
«  symptôsis »  (rencontre). Étudier  le comportement  asymptotique d'une  suite
c'est déterminer ce qui se passe pour la  suite là où l'on ne peut rencontrer la
suite: à l'infini (nous serons un peu plus précis plus tard).

Nous  avons   rapidement  évoqué   que  la  notion   d'infini  est   délicate  à
apréhender. Nous allons donc préciser ce que cela signfie à notre niveau.

\subsection{Comment traduire qu'une suite diverge vers l'infini ?}

\begin{definition}[Suite divergeant vers l'infini]
Soit $\un$ une suite réelle. On  dit que $\un$ diverge vers $+\infty$ si
et  seulement si ,  pour tout  réel positif  $A$, il  existe \textbf{un}
entier $N$ tel  que \textbf{pour tout} entier $n$ supérieur  à $N$, on a
$u_n>A$.
On note $$
\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty
$$
\end{definition}




\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{limfonc.59}
\end{center}



\begin{exemple}



Prenons  par  exemple   la   suite  $(u_n)_{n\in\bbn}$   de   terme  général
$u_n=5n^2$.

Soit $A$ un  réel positif quelconque. Nous voudrions  savoir s'il existe
un  rang  $N$   à  partir  duquel  les  valeurs   prises  par  la  suite
$(u_n)_{n\in\bbn}$ sont $toujours$ supérieures à $A$.

Il s'agit donc de résoudre \textbf{dans} $\mathbf{\bbn}$ l'inéquation

\begin{align*}
  (I)&: \ 5n^2 \geqslant  A\\
(I)&\ssi n^2 \geqslant  A/5\\
(I)&\ssi n \geqslant \sqrt{A/5}\ \text{car } A \geqslant  0
\end{align*}

Donc, dès que $n$ sera supérieur à $\sqrt{A/5}$, on aura $u_n$ supérieur
à   $A$.    Donc,  d'après   notre   définition,   on   peut  dire   que
$(u_n)_{n\in\bbn}$ tend vers $+\infty$ ou diverge vers $+\infty$.

\end{exemple}


\begin{remarque}

Mais attention  !  $\sqrt{A/5}$  n'a aucune  raison d'être  un entier~!  Le plus
petit $N$
est en fait le premier entier supérieur à $\sqrt{A/5}$.

\end{remarque}


\begin{recherche}
  Quelle pourrait être la définition d'une suite divergeant vers $-\infty$?...Il
  y a plusieurs possibilités.
\end{recherche}


\subsection{Comment traduire qu'une suite converge ?}




\begin{definition}[Suite convergente]
On dit qu'une  suite $\un$ converge vers le réel  $\ell$ si et seulement
si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient aussi \textbf{tous
  les termes de la suite à partir d'un certain rang}.
On note $$
\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=\ell
$$
\end{definition}




\begin{center}
\includegraphics[height=2.25cm]{limfonc.60}
\end{center}

\begin{exemple}

Prenons un exemple simple : la suite de terme général $v_n=\fr{n+1}{n}$.

On  observe $v_1=2,\ v_2=3/2,\  v_{100}=1,01,\ v_{10\,000}=1,0001$  : la
suite semble converger vers 1.



Prenons un intervalle centré en 1 : il est de la forme $]1-ε\,;\,1+ε[$



Résolvons alors:

\begin{align*}
(I_n)&:\ 1-ε<v_n<1+ε\\
(I_n)&\ssi 1-ε<1+1/n<1+ε\\
(I_n)&\ssi -ε<1/n<ε\\
(I_n)&\ssi 0<1/n<ε\ \text{car $n$ est strictement positif}\\
(I_n)&\ssi n>1/ε
\end{align*}

Donc, quelque soit  $ε$, c'est à dire quelque  soit l'intervalle ouvert
centré en 1 $]1-ε, 1+ε[$, tous les termes $v_n$ de la suite seront dans l'intervalle
dès que $n$ est supérieur à $1/ε$.

\end{exemple}

%$

\begin{recherche}
 Est-ce que toutes les suites admettent une limite, finie ou infinie?
\end{recherche}






\subsection{Croyable mais faux !}

Mathémator  combat les  idées  reçues  sur les  suites  : une  interview
exclusive.

\sm

\tsx Est-il  vrai qu'une suite strictement  croissante diverge forcément
vers $+\infty$~?

\pro On pourrait le penser en effet  : une suite qui ne fait que croître
va forcément monter vers $+\infty$. Et pourtant c'est FAUX~!

Je vous laisse trouver un contre-exemple.


\tsx Est-il vrai  qu'une suite qui diverge vers  $+\infty$ est forcément
croissante à partir d'un certain rang~?

\pro On pourrait le penser en effet : puisqu'il faut aller vers l'infini
et au-delà, il va bien  falloir monter sans s'arrêter. Et pourtant c'est
FAUX~!


Je vous laisse trouver un contre-exemple.

\tsx Est-il vrai qu'une suite bornée converge forcément vers un réel~?

\pro On pourrait le penser en  effet : puisque la suite est bornée, elle
ne pourra aller vers l'infini, donc il faut qu'elle se stabilise quelque
part. Et pourtant c'est FAUX~!

Je vous laisse trouver un contre-exemple.

\tsx Est-il  vrai qu'une suite ne  prenant qu'un nombre  fini de valeurs
converge forcément~?

\pro On  pourrait le penser en effet  : puisque la suite  ne prend qu'un
nombre  fini de  valeurs, elle  va se  stabiliser sur  l'une  d'elle. Et
pourtant c'est FAUX~!

Je vous laisse trouver le \textit{contre-exemple}.




%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{vaderLeia}
\end{center}
%\end{figure}


\section{Les théorèmes}





\tsx  Je  commence  à  m'habituer  à ces  définitions  mais  serons-nous
toujours obligés d'y revenir pour calculer des limites ?

\pro Rassurez-vous, dans la plupart  des cas, nous pourrons utiliser les
théorèmes que nous allons découvrir ensemble.

Mais avant toute chose, voici le principal théorème du cours



\begin{theoreme}[]  En  analyse,   un  dessin  avant  de  résoudre
l'exercice tu feras.
\end{theoreme}
      


\subsection{Théorème de comparaison}


\pro Ce théorème est résumé par le dessin suivant:



\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.8}
\end{center}

\begin{theoreme}[Théorème de comparaison (ROC)]
  Soit $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ deux suites définies sur $\bbn$ vérifiant:

  \begin{itemize}
  \item $
    \displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty$
  \item Il existe un entier $N_0$ tel  que pour tout entier $n \geqslant N_0$ on
    a $v_n \geqslant u_n$
   
  \end{itemize}

  alors $
    \displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=+\infty$
\end{theoreme}


\tsx En fait,  ça veut dire que  si on est plus grand  que quelque chose
qui tend vers $+\infty$, on tend soi-même vers $+\infty$.

\pro C'est cela,  oui, et il existe le pendant en  $-\infty$ que je vous
laisse imaginer. Maintenant, le dessin  est bien beau, mais il s'agirait
de démontrer ce résultat. Or nous n'avons que la définition de la limite
en magasin, donc utilisons-la.

On  veut  prouver  que $\displaystyle\lim_{n\to  +\infty}v_n=+\infty$,  donc  on
considère un réel positif A quelconque.


Puisque $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty$, il existe un entier $N$ à
partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont au-dessus de $A$.

\tsx Et comme $v_n$  est toujours plus grand que $u_n$,  $v_n$ est toujours plus
grand que $A$ et ça marche. Ah! Ah! Ça vous épate.

\pro Je ne peux que féliciter votre enthousiasme mais...

\MATA{ça m'aurait étonné qu'il soit content. Vieux sadique!}

\pro ...vous oubliez que  notre petit dessin est un cas  particulier. Il se peut
que $v_n$ soit encore plus petit que $u_n$ au début de la \og zone bleue\fg{}.

\sm

Reprenons.

Il existe un entier $N_0$ tel  que pour tout entier $n \geqslant N_0$ on
a $v_n \geqslant u_n$ mais?

\tsx chais pas moi débrouillez-vous!

\pro Vous boudez?...Soit.

Bon, on ne sait pas qui est plus grand entre $N$ et $N_0$. On va prendre le plus
grand des deux pour  être sûr et alors on aura les  deux conditions de remplies:
on aura à la fois 
$v_n$ plus grand que $u_n$ et $u_n$ plus grand que A.
 

Soit $N_{\max} = \max(N_0,N)$, alors:

$$n \geqslant N_{\max} \Longrightarrow v_n \geqslant u_n \geqslant A$$

ce qui traduit bien que la suite $(v_n)$ diverge vers $+ ∞$.




\subsection{Théorème des gendarmes}



\pro  Un nom qui  fait un  peut peur  et qui  laisse imaginer  le pauvre
prisonnier entouré de deux fiers à  bras en uniforme. On aurait pu aussi
l'appeler  théorème  des  portes  d'ascenseur,  théorème  de  la  mouche
écrasée,  théorème  du  rouleau   compresseur,  et  j'en  passe  et  des
meilleures.

Comme d'habitude, l'idée vient du petit dessin suivant

\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.9}
\end{center}

Une  suite   $\mathbf{u}$  est  coincée   entre  deux  suites   $\mathbf{v}$  et
$\mathbf{w}$ 
qui tendent
vers $\ell$, alors $\mathbf{u}$ elle-même va tendre vers $\ell$.
Il ne reste plus qu'à trouver un énoncé et une démonstration.

\tsx Je veux bien donner l'énoncé:



\begin{theoreme}[Théorème des gendarmes]
  Soit $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ et $\mathbf{w}$ trois suites définies sur $\bbn$ vérifiant:

  \begin{itemize}
  \item $
    \displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=\lim_{n\to +\infty}w_n=\ell$
  \item Il existe un entier $N$ tel  que pour tout entier $n \geqslant N$ on
    a $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$
   
  \end{itemize}

  alors $
    \displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=\ell$
\end{theoreme}


\pro Bravo! C'est parfait.

\MATA{J'y crois pas! Pas de mais?}

\pro Mais...

\MATA{Raaaahhhhhhhh}

\pro  les   forces  obscures  ont  voulu   que  ce  théorème  soit   admis  donc
malheureusement la démonstration est hors programme.


\tsxap{Enfin une bonne nouvelle} Oh, quelle décepton!

\pro Mais bien sûr, jeune disciple, je  ne voudrais pas freiner vos envies alors
n'hésitez pas à écrire cette démonstration à titre d'exercice.

\MATA{Compte là-dessus!}



\subsection{Suite croissante convergente}

\pro  Que pensez-vous  d'une  suite  croissante et  convergeant  vers un  nombre
$\ell$?

\tsx Et bien je pense qu'elle a bien de la chance.

\pro Ne me faites pas regretter de vous avoir choisi comme apprenti.

\tsx  C'était  pour  détendre  l'atmosphère.  Heum.  Disons  que  ce  n'est  pas
possible. Au bout d'un moment, puisque la suite est croissante, elle va dépasser
$\ell$ et continuera à s'en éloigner.

\pro Selon vous toute suite croissante diverge donc vers l'infini?

\tsx Je sens le piège.

\pro Vous n'êtes pas le seul à y avoir succomber. Depuis 2500 ans de plus grands
esprits que vous et moi ont eu du mal à appréhender ce phénomène,

Considérons un cas simple.

Vos mains sont à deux mètres de  distance et vous voulez les frapper. Disons que
votre main  gauche reste immobile  et que votre main  droite s'en rapproche  à 1
mètre par seconde. Calculons combien de temps  il vous faudra pour que vos mains
se rejoignent.

Pour  cela, additionnons  le temps  nécessaire pour  parcourir la  moitié de  la
distance restante à chaque étape.

La main droite a deux mètres à parcourir.

Il lui faudra  1 seconde pour parcourir  la moitié de ces deux  mètres, puis 1/2
seconde  pour parcourir  la  moitié  du mètre  restant,  puis  1/4 seconde  pour
parcourir le 1/4 mètre restant, puis 1/8  de seconde pour parcourir le 1/8 mètre
restant, etc.

Appelons T le temps nécessaire pour que vos mains se rejoignent. Alors

$$T=1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$$

On est donc amener à additionner une infinité de nombres positifs.

Appelons $T_n$ le temps de parcours à la $n$-ème étape.

Par  exemple $T_1=1$,  $T_2=1+1/2$, $T_3=1+1/2+1/4$.  Et plus  généralement, que
vaut $T_n$?

\tsx À chaque fois c'est des puissances de 2. Je suis observateur, n'est-ce pas? Donc

$$T_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^n}$$

\pro Mmmmm... Je  ne voudrais pas vous décourager mais  vous faire remarquer que
vous allez trop vite en besogne.


$T_1=1$ c'est-à-dire $T_1=1/2^0$, $T_2=1/2^0+1/2^1$, $T_3=1/"^0+1/2^1+1/2^2$...

\tsx Ouais bon, c'était presque ça:

$$T_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}$$

Si ça vous fait plaisir...


\pro Soit. Quel est le sens de variation?

\tsx     $T_{n+1}-T_n=    1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}     -
(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}})=\frac{1}{2^n}>0$

donc la suite est strictement croissante.

\pro On entre donc dans le cadre  qui nous intéresse donc vous ne pourrez jamais
taper dans vos mains.

\tsx ?!


\pro Heureusement les maths vont nous permettre d'applaudir.

Pensons à la ruse du petit Gau\ss. Écrivons:

\begin{align*}
  T&=1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots\\
  \frac{1}{2}T&=\hspace{1.5em}   \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots
\end{align*}


\tsx Ah oui! Il ne reste plus qu'à soustraire:

\begin{align*}
  T&=1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots\\
  -\frac{1}{2}T&=\hspace{1.em}
                 -\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{16}-\cdots\\
  \hline\\
  \frac{1}{2}T&=1
\end{align*}

Waouh! $T=2$

\pro Ce qui nous rassure car nous avons parcouru 2m en 2s à la vitesse de 2m par
seconde.

Donc notre suite croissante \emph{semble} avoir une limite finie qui est 2.

Est-ce que cela est cohérent avec notre notion de limite finie?

\tsx Euh...Ah oui! $T_n$  se rapproche aussi près que l'on veut  de 2. Il suffit
d'attendre suffisamment longtemps.

\pro C'est l'idée. Pouvez-vous le démontrer?

\begin{recherche}
  Démontrer que la limite de la suite $(T_n)$ est 2 en utilisant la définition.
\end{recherche}


\pro Il existe donc des suites  strictement croissantes qui convergent. Nous pouvons
écrire quelques théorèmes à ce sujet.


\begin{theoreme}[Suite croissante convergente (ROC)]
  Si une suite est croissante et converge  vers un nombre réel $\ell$ alors tous
  ses termes sont inférieurs à $\ell$.
\end{theoreme}

Une  démonstration de  ce  théorème  est assez  subtile  et  pourtant c'est  une
ROC. Passons au tableau pour exposer cet exemple de raisonnement par l'absurde.

\sm

[Mathémator est au tableau: c'est beau]

\sm

Deux autres théorèmes vont nous intéresser.

Le premier est admis mais est extrêmement important:

\begin{theoreme}[Théorème de la limite monotone(ADMIS)]

  Toute suite \emph{croissante} et \emph{majorée} converge.

  Toute suite \emph{décroissante} et \emph{minorée} converge.
  
\end{theoreme}


Le suivant est une ROC:

\begin{theoreme}[Majorant d'une suite convergente (ROC)]
  Si une suite convergeant vers $\ell$ est majorée par un réel $M$ alors $\ell \leqslant M$
\end{theoreme}

Il existe le pendant pour les suites convergentes minorées.

\begin{recherche}
  Démontrer ce théorème par l'absurde
\end{recherche}



\section{Opérations sur les limites}

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites, 
et $L$ et $L'$ sont deux réels. 

Le point d'interrogation correspond à une forme indéterminée,
c'est-à-dire un cas où on ne peut pas conclure directement. 

\subsection{ Limite de la somme $u_n+v_n$ }


\begin{tabular}{|l|*6{c|}}\hline
$\ds\lim_{n\to+\infty} u_n=$ 
& $L$ & $L$ & $L$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ 
\\\hline
$\ds\lim_{n\to+\infty} v_n=$ 
& $L'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$  
\\\hline
$\ds\lim_{n\to+\infty} u_n+v_n=$ 
& $L+L'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & 
\textcolor{red}{\bf ?}
\\\hline
\end{tabular}



\subsection{Limite du produit $u_n\tm v_n$ }

\begin{tabular}{|l|*6{c|}}\hline
$\ds\lim_{n\to+\infty} u_n=$ 
& $L$ & $L\not=0$ & $+\infty$ ou $-\infty$ & $0$ 
\\\hline
$\ds\lim_{n\to+\infty} v_n=$ 
& $L'$ & $+\infty$ ou $-\infty$ & $+\infty$ ou $-\infty$ 
& $+\infty$ ou $-\infty$ 
\\\hline
$\ds\lim_{n\to+\infty} u_n\tm v_n=$ 
& $L\tm L'$ 
& \begin{minipage}{3cm}$+\infty$ ou $-\infty$ \\ {(signe du produit)}\end{minipage}
& \begin{minipage}{3cm}$+\infty$ ou $-\infty$ \\ {(signe du produit)}\end{minipage}
&\textcolor{red}{\bf ?}
\\\hline
\end{tabular}



\subsection{Limite du quotient $\dfrac{u_n}{v_n}$ }

\begin{tabular}{|l|*6{c|}}\hline
$\ds\lim_{n\to+\infty} u_n=$ 
& $L$ & $L$ 
& $+\infty$ ou $-\infty$ 
& $L\not=0$ ou $+\infty$ ou $-\infty$ 
& $0$ 
& $+\infty$ ou $-\infty$ 
\\\hline
$\ds\lim_{n\to+\infty} v_n=$ 
& $L'\not=0$ & $+\infty$ ou $-\infty$ 
& $L'\not=0$ 
& $0$
& $0$ 
& $+\infty$ ou $-\infty$ 
\\\hline
$\ds\lim_{n\to+\infty} u_n\tm v_n=$ 
& $\dfrac{L}{L'}$ 
& $0$
& $+\infty$ ou $-\infty$
& \begin{minipage}{3cm}$+\infty$ ou $-\infty$ \\ (signe du quotient)\end{minipage}
& \textcolor{red}{\bf ?}
& \textcolor{red}{\bf ?}
\\\hline
\end{tabular}





\vfill\eject
\section{En résumé}

\setcounter{definition}{7}
\setcounter{theoreme}{7}




\begin{definition}[Suite divergeant vers l'infini]
Soit $\un$ une suite réelle. On  dit que $\un$ diverge vers $+\infty$ si
et  seulement si ,  pour tout  réel positif  $A$, il  existe \textbf{un}
entier $N$ tel  que \textbf{pour tout} entier $n$ supérieur  à $N$, on a
$u_n>A$.
On note $$
\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty
$$
\end{definition}





\begin{definition}[Suite convergente]
On dit qu'une  suite $\un$ converge vers le réel  $\ell$ si et seulement
si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient aussi \textbf{tous
  les termes de la suite à partir d'un certain rang}.
On note $$
\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=\ell
$$
\end{definition}



\begin{theoreme}[Théorème de comparaison (ROC)]
  Soit $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ deux suites définies sur $\bbn$ vérifiant:

  \begin{itemize}
  \item $
    \displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty$
  \item Il existe un entier $N_0$ tel  que pour tout entier $n \geqslant N_0$ on
    a $v_n \geqslant u_n$
   
  \end{itemize}

  alors $
    \displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=+\infty$
\end{theoreme}







\begin{theoreme}[Théorème des gendarmes]
  Soit $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ et $\mathbf{w}$ trois suites définies sur $\bbn$ vérifiant:

  \begin{itemize}
  \item $
    \displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=\lim_{n\to +\infty}w_n=\ell$
  \item Il existe un entier $N$ tel  que pour tout entier $n \geqslant N$ on
    a $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$
   
  \end{itemize}

  alors $
    \displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=\ell$
\end{theoreme}




\begin{theoreme}[Suite croissante convergente (ROC)]
  Si une suite est croissante et converge  vers un nombre réel $\ell$ alors tous
  ses termes sont inférieurs à $\ell$.
\end{theoreme}



\begin{theoreme}[Théorème de la limite monotone(ADMIS)]

  Toute suite \emph{croissante} et \emph{majorée} converge.

  Toute suite \emph{décroissante} et \emph{minorée} converge.
  
\end{theoreme}



\begin{theoreme}[Majorant d'une suite convergente (ROC)]
  Si une suite convergeant vers $\ell$ est majorée par un réel $M$ alors $\ell \leqslant M$
\end{theoreme}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


    %%%%%%%%% E X E R C I C E S

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




    \modeexercice

    \section{Exercices}



    \subsection*{Légende}

    \begin{itemize}
    \item   \includegraphics[height=18pt]{picalogo}\textbf{    Objectif:   Survivre}
      
    \item \includegraphics[height=18pt]{peterlogo}\textbf{ Objectif: Bac}
      
    \item \includegraphics[height=18pt]{darthlogo}\textbf{Objectif: Post Bac}
     
    \end{itemize}


    \subsection{Première}

     \begin{exercicea}[]
      Que dire du sens de variation d'une suite arithmétique? D'une suite géométrique?
    \end{exercicea}

    \begin{exercicea}[]

      Étudier  le  sens  de  variation   de  la  suite  \textbf{u}  définie  par
      $u_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$  pour $n \geqslant 1$.
      
    \end{exercicea}

    \begin{exercicea}[]

      Étudier  le  sens  de  variation   de  la  suite  \textbf{u}  définie  par
      $u_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$  pour $n \geqslant 1$.
    \end{exercicea}


    \begin{exercicea}[]

      Étudier  le  sens  de  variation   de  la  suite  \textbf{u}  définie  par
      $u_n=n^3-n^2$  pour $n \geqslant 0$.
    \end{exercicea}

    \begin{exercicea}[]

      Étudier  le  sens  de  variation   de  la  suite  \textbf{u}  définie  par
      $u_n=\frac{n^2+1}{n+1}$  pour $n \geqslant 1$.
      
      
    \end{exercicea}

    \begin{exercicea}[]

      Étudier  le  sens  de  variation   de  la  suite  \textbf{u}  définie  par
      $u_n=2^{n^2}$  pour $n \geqslant 1$.
    \end{exercicea}

    \begin{exercicea}[]


      Étudier le sens de variation de la suite \textbf{u} définie par
      $u_n=n+\frac{1}{n}$  pour $n \geqslant 1$.
    \end{exercicea}


    


\begin{exercicea}
  
 Trouvez un moyen simple d'écrire les suites proposées sans ... 
  \begin{multicols}{4}
  \begin{enumerate}
  \item 1, 5, 9, 13,...
  \item 1,-2,4,-8,16,...
  \item 16000,4000,1000,250,...
    \item 1,8,27,64,...
    \end{enumerate}
  \end{multicols}
\end{exercicea}


\begin{exercicea}

Écrivez les expression suivantes sans le symbole $\displaystyle\sum$:
\begin{multicols}{4}
  \begin{enumerate}
  \item $\ds\sum_{k=1}^5k^2$
  \item $\ds\sum_{k=0}^4(k+1)^2$
  \item  $\ds\sum_{k=3}^7(k-2)^2$
  \item  $\ds\sum_{k=0}^4(5k+2)$
  \end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercicea}





\begin{exercicea}

  Utilisez le symbole $\Sigma$ pour ré-écrire les formules suivantes:
  \begin{enumerate}
  \item $1+4+9+16+\cdots+625$
  \item $(1\times 2)+(2\times 3)+(3\times 4)+\cdots+(15\times 16)$
  \item $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{100}$
  \end{enumerate}
\end{exercicea}





\begin{exerciceb}[D'après Bac S]
  
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[ u_{n+1} = \sqrt{2u_{n}}.\]

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables :&$n$ est un entier naturel\\ 
&$u$ est un réel positif\\
Initialisation :& Demander la valeur de $n$\\
 	&Affecter à $u$ la valeur 1\\
Traitement :&Pour $i$ variant de 1 à $n$ :\\
	&\hspace{0.3cm}| Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2u}$\\
	&Fin de Pour\\ 
Sortie :& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$.
		\item Que permet de calculer cet algorithme? 
		\item Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$				& 1 		&5 			&10 		&15 		&20\\ \hline 
Valeur affichée	&\num{1,4142} &\num{1,9571} &\num{1,9986} &\num{1,9999} &\num{1,9999}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate} 
\item
		On admettra que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < u_{n} \leqslant 2$. 
		   Déterminer   le   sens   de  variation   de   la   suite
                  $\left(u_{n}\right)$.
                

              \end{enumerate}

            \end{exerciceb}
          




\begin{exerciceb}[D'après Bac S]

On considère la suite numérique $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 

$\left\{\begin{array}{l c l}
v_{0} &=& 1\\ 	 
v_{n + 1}&=& \dfrac{9}{6 - v_{n}}
\end{array}\right.$ 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$.
 
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

\medskip

\hspace{-1cm} 
\begin{small}
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|X|c|X|c|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 1}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 2}}&&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme \No 3}}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\
$v$ est un réel&&$v$ est un réel&&$v$ est un réel\\ 
$i$ et $n$ sont des entiers naturels&&$i$ et $n$ sont des entiers naturels&&$i$ et $n$ sont des entiers naturels\\
~&&&&\\ 
\textbf{Début de l'algorithme :}&&\textbf{Début de l'algorithme :}&& \textbf{Début de l'algorithme :}\\ 
Lire $n$&&Lire $n$&&Lire $n$\\ 
$v$ prend la valeur $1$&&Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire&&$v$ prend la valeur $1$\\ 
Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire&&$v$ prend la valeur $1$&& Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire\\ 
\hspace{0.2cm}$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$&&\hspace{0.2cm}Afficher $v$&& \hspace{0.2cm}Afficher $v$\\  
Fin pour&&$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$&&$v$ prend la valeur $\dfrac{9}{6 - v}$\\
Afficher $v$&&Fin pour&&Fin pour\\
&&&&Afficher $v$\\
\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}&&\textbf{Fin algorithme}\\  \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{small}

 
\item Pour $n = 10$ on obtient l'affichage suivant :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
1&1,800&2,143&2,333&2,455&2,538&2,600&2,647&2,684&2,714\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

Pour $n = 100$, les derniers termes affichés sont :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
2,967&2,968&2,968&2,968&2,969&2,969&2,969&2,970&2,970&2,970\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
\item 
	
		On admettra que, pour tout entier naturel $n,\: 0 < v_{n} < 3$.  

                Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{\left(3 - v_{n} \right)^2}{6 - v_{n}}$. 
 
La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle monotone ? 
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B Conjecture sur l'évolution de la suite } \boldmath $\left(v_{n}\right)$ \unboldmath

\medskip

On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par 

\[w_{n} = \dfrac{1}{v_{n} - 3}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \dfrac{1}{3}$ 
\item En déduire l'expression de $\left(w_{n}\right)$, puis celle de $\left(v_{n}\right)$ en fonction de $n$. 
\item À votre avis, comment va évoluer la suite $\left(v_{n}\right)$?
\end{enumerate}
\end{exerciceb}



\begin{exerciceb}[Bac S]
  
L'objet de cet exercice est l'étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme $u_{1} = \dfrac{3}{2}$ et la relation  de récurrence : $u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}$.\\

\textbf{Partie A - Algorithmique et conjectures }

\medskip

\parbox{6cm}{Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l'algorithme ci-contre.

Il a oublié de compléter deux lignes.}\hfill
\parbox{8cm}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\arraybackslash}X|}} \hline
Variables&$n$ est un entier naturel \\
&$u$ est un réel \\
\hline
Initialisation &Affecter à $n$ la valeur 1\\
&Affecter à $u$ la valeur 1,5 \\
\hline
Traitement &Tant que $n<9 $\\
&\hspace*{1cm} Affecter à $u$ la valeur \dots\\ 
&\hspace*{1cm} Affecter à $n$ la valeur \dots\\
%\hline
&Fin Tant que \\
\hline
Sortie& Afficher la variable $u$ \\
\hline
\end{tabularx}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension. 
\item Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu'à $u_{9}$ ? 
\item  Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\dots&99 &100 \\
\hline
$u_{n}$ &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &\num{0,2063} &\num{0,1693}&\dots&\num{0,0102} &\num{0,0101} \\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude mathématique }

\medskip

On définit une suite auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : pour tout entier $n\geqslant 1$, $v _{n} = nu_{n} -1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. 

\item En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1+(0,5)^{n}}{n}$.

\item À votre avis, comment va évoluer la suite $\left(u_{n}\right)$?

\item Justifier que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a : $u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}$.

En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Retour à l'algorithmique }

\medskip

En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0,001$.
\end{exerciceb}



\begin{exercicec}[Flocon de Von Koch]

  On part d'un  triangle équilatéral $T_0$ de  côté $a$. Chacun des  côtés de ce
  triangle est également partagé en trois segments de mêmes longueurs.

  Pour chacun des côtés,  le tiers central est remplacé par  les deux côtés d'un
  triangle équilatéral  extérieur à $T_0$  et dont  le troisiéme côté  serait le
  tiers manquant. On obtient un polygone $T_1$.

  On construit de la même manière $T_2$, $T_3$, etc.

  \begin{enumerate}
  \item  Calculez les  périmètres $p_0$,  $p_1$, etc.  de ces  polygones. Quelle
    relation existe-t-il entre $p_{n+1}$ et $p_n$?
    \item Prenons $a=1$. Donner le plus  petit entier $n$ tel que $p-n \geqslant
      3000000$.
      \item Que pensez-vous de l'aire de ces polygones?
  \end{enumerate}
  
\end{exercicec}



\subsection*{Étude asymptotique de suites}

\subsubsection*{Avec les définitions}



\begin{exerciceb}[]

On considère la suite définie par $u_n=2+1/n$ pour $n \geqslant  1$

\begin{itemize} \item Calculer les dix premiers termes de la suite et en
  donner des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.

\item Observer la représentation graphique de la suite $\un$
donnée par une calculatrice  ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on
faire sur la limite de la suite $\un$ ?

\item On considère l'intervalle ouvert de centre 2 et de rayon
0,01 , c'est-à-dire $] 1,99 ;  2,01[$ . Montrer qu'à partir d'un certain
rang  $n_0$  à   déterminer,  tous  les  termes  de   la  suite  ($u_n$)
appartiennent à cet intervalle.

\item On considère l'intervalle ouvert de centre 2 et de rayon $r$
, c'est-à-dire $]2-r, 2+r[$.

Montrer qu'à partir d'un certain  rang $n_0$ à déterminer en fonction de
$r$  ,  tous  les  termes  de  la  suite  ($u_n$)  appartiennent  à  cet
intervalle.

\item Démontrer que ($u_n$) converge vers 2.


\end{itemize}

\end{exerciceb}




\begin{exerciceb}[]

On  considère la  suite ($u_n$  ) définie  par  $u_n=\frac{n^2+2}{n}$ pour
$n \geqslant 1$.

\begin{itemize}


\item Calculer les dix premiers termes de la suite et en donner
des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.

\item Observer la représentation graphique de la suite ($u_n$ )
donnée par une calculatrice  ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on
faire sur la limite de la suite ?

\item On considère l'intervalle $]a,+\infty[$ avec $a \geqslant 10$.

Montrez qu'à partir d'un certain  rang $n_0$ à déterminer en fonction de
$a$, tous les termes de la suite appartiennent à cet intervalle.

\item Montrez que$
  \displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty$. \end{itemize}


\end{exerciceb}







%%%%%%%%%%%%%%%%%






\begin{exerciceb}[]

  Démontrez que si  une suite est convergente, alors elle
  est bornée.


\end{exerciceb}


\begin{exerciceb}[Limites des suites usuelles]
  Quelles pourraient être un catalogue de suites usuelles? Quelles sont leurs limites?
  
\end{exerciceb}


\subsubsection*{Avec les théorèmes}

\begin{exercicea}[]
  Soit $u_n=n^2+n$.

  \begin{enumerate}
  \item La suite est-elle géométrique? Arithmétique?
  \item Quel est son sens de variation?
  \item Démontrer que pour tout entier $n$, on a $u_n \geqslant n^2$
  \item En déduire la limite de $u_n$.
    \item Par quel autre moyen aurait-on pu obtenir la limite de la suite?
  \end{enumerate}
\end{exercicea}

\begin{exercicea}[]
  Soit $v_n=n^2-n$
  \begin{enumerate}
  \item La suite est-elle géométrique? Arithmétique?
  \item Quel est son sens de variation?
    \item Préciser les limites des suites de terme général $n^2$ et $n$. Peut-on
      en déduire la limite de $(v_n)$?
      \item
        \begin{enumerate}
        \item Justifier que, pour tout entier  naturel non nul $n$ on a $v_n=n^2
          \left(1-frac{1}{n}\right)$
        \item Que peut-on en déduire pour la limite de $(v_n)$?
          
        \end{enumerate}
\item Il existe une relation simple  entre $v_n$ et $u_n$ défini dans l'exercice
  précédent. L'utiliser pour retrouver le résultat précédent.
  \end{enumerate}
\end{exercicea}


\begin{exercicea}[Même combat]
  Étudier les limites éventuelles des suites de terme général:

  \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $u_n=-3n+1$
    \item $v_n=n^2-2n-1$
    \item $x_n=\frac{n^2}{n+1}$
    \item $y_n=\frac{n}{n+1}$
    \item $z_n=\frac{n}{n^2+1}$
    \item $a_n=\frac{1-n^2}{2+n}$
    \item $b_n=3-\frac{n^2-1}{n^2}$
    \end{enumerate}
    
  \end{multicols}
\end{exercicea}

\subsection*{BAC}

\begin{exerciceb}[Bac 2017]
  
Le but de cet exercice est d'étudier les suites de termes positifs dont le premier terme $u_0$ est strictement supérieur à 1 et possédant la propriété suivante : pour tout entier naturel $n > 0$, la somme des $n$ premiers termes consécutifs est égale au produit des $n$ premiers termes consécutifs.

On admet qu'une telle suite existe et on la note $\left(u_n\right)$. Elle vérifie donc trois propriétés :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$u_0 > 1$,
\item[$\bullet~~$]pour tout $n \geqslant 0$,\: $u_n \geqslant 0$,
\item[$\bullet~~$]pour tout $n > 0$, \:$u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_{n-1}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit $u_0 = 3$. Déterminer $u_1$ et $u_2$.
\item Pour tout entier $n > 0$, on note $s_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0 \times u_1 \times \cdots \times u_{n-1}$.

On a en particulier $s_1 = u_0$·
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout entier $n > 0$, \:$s_{n+1} = s_n + u_n$ et $s_n > 1$.
		\item En déduire que pour tout entier $n > 0$,

\[u_n = \dfrac{s_n}{s_n -1}.\]
		
		\item Montrer que pour tout $n \geqslant 0$,\: $u_n > 1$.
	\end{enumerate}
\item À l'aide de l'algorithme ci-contre, on veut calculer
le terme $u_n$ pour une valeur de $n$ donnée.
	
\parbox{0.48\linewidth}{
\textbf{a.} Recopier et compléter la partie traitement
de l'algorithme ci-contre.
	
\textbf{b.} Le tableau ci-dessous donne des valeurs arrondies
au millième de $u_n$ pour différentes valeurs de l'entier $n$ :
	
\begin{center}
%\begin{\small}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$ &0& 5& 10 &20 &30 &40\\ \hline
$u_n$& 3 &\small 1,140 &\small 1,079 &\small 1,043 &\small 1,030 &\small 1,023\\ \hline
\end{tabularx}
%\end{\small}
\end{center}

Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?	} \hfill
\parbox{0.48\linewidth}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|r X|}\hline
\textbf{Entrée }: 		&Saisir $n$\\
						&Saisir $u$\\
\textbf{Traitement }: 	&$s$ prend la valeur $u$\\
						&Pour $i$ allant de $1$ à $n$ :\\
						&\begin{tabular}{m{0.1cm}|l}
						&$u$ prend la valeur \ldots\\
						&$s$ prend la valeur \ldots\\
										\end{tabular}\\
						&Fin Pour\\
\textbf{Sortie} : 		&Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier $n > 0$,\: $s_n > n$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(s_n\right)$ puis celle de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exerciceb}



\begin{exerciceb}[Bac 2017]

  
Un biologiste souhaite étudier l'évolution de la population d'une espèce animale dans une réserve.

Cette population est estimée à \np{12000} individus en 2016. Les contraintes du milieu naturel font que la population ne peut pas dépasser les \np{60000}~individus.

\bigskip

\textbf{Partie A : un premier modèle}

\medskip

Dans une première approche, le biologiste estime que la population croît de 5\,\% par an.

L'évolution annuelle de la population est ainsi modélisée par une suite $\left(v_n\right)$ où $v_n$ représente le nombre d'individus, exprimé en milliers, en $2016 + n$. On a donc 

$v_0 = 12$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
\item Ce modèle répond-il aux contraintes du milieu naturel ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : un second modèle}

\medskip

Le biologiste modélise ensuite l'évolution annuelle de la population par une suite  $\left(u_n\right)$ définie par $u_0  = 12$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = - \dfrac{1,1}{605} u_n^2 + 1,1 u_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par 

\[g(x) = - \dfrac{1,1}{605}x^2 + 1,1 x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $g$ est croissante sur [0~;~60].
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $g(x) = x$.
 	\end{enumerate}
\item  On remarquera que $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur arrondie à $10^{-3}$ de $u_1$. Interpréter.
		\item ON ADMETTRA que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 55$.

                  Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
		\item En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
		\item On admet que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ vérifie $g(\ell) = \ell$. En déduire sa valeur et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item  Le biologiste souhaite déterminer le nombre d'années au bout duquel la population
dépassera les \np{50000} individus avec ce second modèle.
	
Il utilise l'algorithme suivant.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline
Variables 	&$n$ un entier naturel\\\cline{2-2}
			&$u$ un nombre réel\\ \hline
Traitement	&$n$ prend la valeur $0$\\
			&$u$ prend la valeur 12\\
			&\textbf{Tant Que} \dotfill\\
			&\hspace{1.5cm}$u$ prend la valeur \dotfill\\
			&\hspace{1.5cm}$n$ prend la valeur \dotfill\\
			&\textbf{Fin Tant Que}\\ \hline
Sortie 		&Afficher \dotfill\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il affiche en sortie le plus petit entier $r$
tel que $u_r \geqslant 50$.
\end{enumerate}

  
\end{exerciceb}



\begin{exerciceb}[Bac 2018]
  
Pour chacune des affirmations proposées, indiquer si elle est VRAIE ou FAUSSE et justifier
cette réponse. 

Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par
\[\left\{\begin{array}{l c r}
u_0 &=& 14\\
u_{n+1} &=& 2u_n - 5.
\end{array}\right.\]

Soit la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par

\[t_n = u_n - 5.\]

\textbf{Affirmation A :} La suite $\left(t_n\right)$ est une suite géométrique.

\textbf{Affirmation B :} Pour tout entier naturel $n$,

\[u_n = 9 \times 2^n + 5.\]

\item  Soit une suite $\left(v_n\right)$.

\textbf{Affirmation C :} Si, pour tout entier naturel $n$ supérieur à 1,

\[- 1 - \dfrac{1}{n} \leqslant  v_n \leqslant  1 + \dfrac{1}{n}\]

alors la suite $\left(v_n\right)$ converge.
\item  \textbf{Affirmation D :} Pour tout entier naturel $n$ non nul,

\[(8 \times 1 + 3) + (8 \times 2 + 3) + \ldots + (8 \times n + 3) = n( 4n + 7).\]
\item  Soit $\left(w_n\right)$ une suite convergente.

\textbf{Affirmation E :} Si, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite $\left(w_n\right)$ sont strictement positifs, alors la limite de la suite $\left(w_n\right)$ est aussi strictement positive.
\end{enumerate}
  
\end{exerciceb}


    
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "PolyTS18_19"
%%% End:
