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\graphicspath{{/home/moi/Alice/figures3/}{/home/moi/Alice/figures3/newcourbes/}{/home/moi/Alice/figures/}{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Lycee/TS/figures/newcourbes/}{/home/moi/Lycee/TS/figures/}{/home/moi/Lycee/TS/figures/newfig/}}

\entete{Ad�quation � une loi �quir�partie }{Ad�quation � une loi �quir�partie }{Lyc�e Jean Perrin - TS5}
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}




\LECOND{XIX}{Dix-neuvi�me}{Ad�quation � une}{loi �quir�partie}{Ad�quation � une loi �quir�partie}{URHere.ps}


\SECTION{De quoi s'agit-il~?}


Ce chapitre vous introduit dans le monde des \textsl{Statistiques inf�rentielles} (\textbf{Inf�rer} : tirer une cons�quence de quelque proposition, de quelque fait, etc.) auquel vous �tes en fait constamment confront�(e) en tant que citoyen(ne) d'une soci�t� hautement m�diatis�e. 

La statistique inf�rentielle  est en effet la science qui permet  de <<~\textit{mod�liser une partie
  observable du r�el  comme r�sultant d'un ph�nom�ne  al�atoire pour lequel on envisage  non pas une
  mais toute une famille de lois de probabilit�s possibles}~>> (J.P. Raoult - dossier APMEP statistique inf�rentielle - D�c 2005)

C'est un sujet tr�s int�ressant, exigeant une r�flexion approfondie en classe sur les notions abord�es, les conclusions � �mettre, entra�nant un d�bat int�ressant, permettant d'avoir une d�marche scientifique partant d'une exp�rimentation.

Malheureusement, nous sommes loin de disposer du temps n�cessaire. Nous nous contenterons donc d'une pr�paration pure et simple aux exercices d'examen qui sont tous identiques, mis � part le contexte exp�rimental propos�.


\SECTION{Au programme de terminale}

On effectue une s�rie d'exp�riences ayant un nombre fini  $k$ d'issues possibles ($k$ modalit�s).

Par exemple on lance $1\,000$ fois un d� cubique. Les modalit�s sont au nombre de six et appartiennent � $\big\{1\pv 2\pv 3\pv 4\pv 5\pv 6\big\}$. On veut tester l'\textbf{�quir�partition} des r�sultats, c'est � dire qu'on voudrait savoir si on peut ou non rejeter le mod�le selon lequel aucune face n'est privil�gi�e.

En d'autres termes, il sera d'autant plus raisonnable de rejeter l'hypoth�se d'�quir�partition que la suite des fr�quences \textit{observ�es}  $\big(f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6 \big)$  est plus �loign�e de la suite constante $\pa{\fr{1}{6},\fr{1}{6},\fr{1}{6},\fr{1}{6},\fr{1}{6},\fr{1}{6}}$.

\sm

En effet, nous avons abord� cette ann�e la Loi faible des grands nombres et vous avez observ� en seconde que plus le nombre d'exp�rience est grand, plus les fr�quences observ�es se rapprochent des probabilit�s. Donc si les fr�quences observ�es pour un nombre important d'exp�rience s'�loignent d'un mod�le \og �quir�parti\fg c'est que les probabilit�s d'obtention de chaque face ne sont s�rement pas �gales, et que le mod�le �quiprobable est � rejeter.


\sm

Il est � noter que nous n'obtiendrons ici que des indications nous permettant de rejeter ou non le mod�le, mais aucune certitude. Il restera toujours une marge d'erreur que l'on peut quantifier.

Il reste donc � choisir un indicateur d'erreur. On a choisi assez naturellement le carr� de la distance euclidienne entre l'exp�rience et le mod�le, c'est � dire qu'on va  comparer d d�fini par 

\[ {\rm d}^2=\sum_{i=1}^k\pa{f_i-\fr{1}{k}}^2 \]

� un param�tre de pr�cision arbitrairement choisi (et fourni par les �nonc�s de Bac).


\begin{figure}
              \begin{DANGER}
              Attention � la conclusion~! Si d est inf�rieur (\textcolor{gray} sup�rieur) au param�tre e, cela veut dire qu'on ne peut pas (\textcolor{gray} peut), avec un risque inf�rieur � e, rejeter l'hypoth�se d'�quir�partition.  Cela \textbf{NE} veut \textbf{PAS} dire que l'on peut accepter le mod�le.  
               \end{DANGER}
               \end{figure}








\SECTION{Un exemple comment�}

Reprenons notre d� cubique. On a lanc� un d� 200 fois et on a obtenu les r�sultats suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\textwidth}{Y{5}}
\whline
Face & 1 &2&3&4&5&6\\
\hline
Nombre de sorties de chaque face & 28&33&34&29&26&50\\
\whline
\end{tabularx}
\end{center}


On calcule alors le carr� de la distance associ�e, qu'on notera ${\rm d}_{\rm obs}$

\[ {\rm d}_{\rm obs}^2=\pa{\fr{28}{200}-\fr{1}{6}}^2+\pa{\fr{33}{200}-\fr{1}{6}}^2+\pa{\fr{34}{200}-\fr{1}{6}}^2+\pa{\fr{29}{200}-\fr{1}{6}}^2+\pa{\fr{26}{200}-\fr{1}{6}}^2+\pa{\fr{50}{200}-\fr{1}{6}}^2\simeq 0,00948\]


Que faire alors de ce r�sultat~? 

Il nous faudrait alors une table de distances sur un plus grand nombre d'exp�riences pour avoir une �chelle de comparaison. On effectue donc $1\,000$ simulations de 200 lancers de d� (sur XCAS on entre \texttt{rand(7)} pour avoir un nombre entier entre 1 et 6).


On obtient alors $1\,000$ valeurs de d$^2$.Ces simulations ne peuvent �videmment pas �tre faites le jour du Bac. On vous fournit donc les r�sultats, enfin une partie.

Par exemple, on peut vous dire que le 99\eme centile vaut 0,01258 : qu'est ce que �a veut dire~?

Eh bien cela signifie que 99\% des valeurs obtenues pour d$^2$ sont inf�rieures � 0,01258.

Notons ${\rm d}_{99}^2$ cette valeur. On a donc 

\[ {\rm d}_{\rm obs}^2<{\rm d}_{99}^2\]

On en d�duit qu'on ne peut pas, au seuil de 1\%, rejeter l'hypoth�se d'�quir�partition.

\sm

Maintenant, il est pr�cis� que le 95\eme centile vaut 0,00888. Cette fois

\[ {\rm d}_{\rm obs}^2>{\rm d}_{95}^2\]

Cette fois-ci on  peut, au risque d'erreur de 1\%, rejeter l'hypoth�se de r�gularit� du d�.

\sm

Les valeurs des d�ciles pourront �tre donn�es directement ou lues sur un histogramme ou une bo�te � moustache (�a s'est vu...).


\SECTION{Exercices}



\exot{Bac : $\pi$}

Les 1\:000 premi�res d�cimales de $\pi$ sont donn�es ici par un ordinateur :
 
1415926535  8979323846  2643383279	5028841971  6939937510
5820974944  5923078164  0628620899	8628034825  3421170679\\
8214808651  3233066470  9384460959        0582235725  3594085234
8111745028  4102701930  5211055596        4462294895  4930301964\\
4288109756  6593344612  8475648233	7867831652   7120190914 
5648566923  4603486534  5432664825	3393607260   2491412737\\
2450700660  6315580574  8815209209	6282925409   1715364367
8925903600  1133053054  8820466525	3841469519	4151160943\\
3057270365  7595919530  9218611738	1932611793   1051185480 
7446297996  2749567355  8857527240	9122793318	3011949129\\
8336733624  4065664308  6025394946	3952247371	9070217986 
0943702770  5392171762  9317675238	4674818467	6691051320\\
0056812714  5263560827  7857753427	9778900917	3637178721 
4684409012  2495343054  6549585371	0507922796	8925892354\\
2019956112  1290219608  6403441815	9813629774    7713099605 
1870721134  9999998372  9780499510	5973173281	6096318599\\
0244594553  4690830264  2522300253	3446850352    6193110017 
1010003137  8387528865  8753320830	1420617177	6691473035\\
9825349042  8755460731  1595620633	8235378759    3751957781 
8577805321  7122600661  3001927876	6111959092	1642019894\\
En groupant par valeurs entre 0 et 9 ces d�cimales, on obtient le tableau
suivant :

\[\begin{array}{|*{11}{c|}}\hline
	\text{Valeurs}&	0&	1&	2&	3&	4&	5&	6&	7&	8 &	9\\ \hline
	\text{Occurrences}&	93&	116&	102&	102&	94& 	97 &	94& 	95&	101& 	106\\ \hline
\end{array}\]

Avec un tableur, on a simul� 1 000 exp�riences de 1 000 tirages al�atoires d'un chiffre compris entre 0 et 9.


Pour chaque exp�rience, on a calcul� $d^2 = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=9} \left(f_{k} - 0,1\right)^2$ o� $f_{k}$ repr�sente, pour l'exp�rience, la fr�quence observ�e du chiffre $k$.\\
On a alors obtenu une s�rie statistique pour laquelle on a calcul� le premier et neuvi�me d�cile ($d_{1}$ et $d_{9}$), le premier et troisi�me quartile ($Q_{1}$ et $Q_{3}$) et la m�diane (Me) :\\
$d_{1} = 0,000\:422~ ; Q_{1} = 0,000\:582~ ;~ \text{Me} = 0,000\:822~;~ Q_{3} =0,001\:136~ ;~ d_{9} =0,001\:45.$\\

En effectuant le calcul de $d_{2}$ sur la s�rie des 1 000 premi�res d�cimales de $\pi$, on obtient :

\[{\huge \Box}\quad 0,000\:456 \quad {\huge \Box}\quad 0,004\:56 \quad {\huge \Box}\quad  0,000\:314 \]
Un statisticien d�couvrant le tableau et ignorant qu'il s'agit des d�cimales de $\pi$, fait l'hypoth�se que la s�rie est issue de tirages al�atoires ind�pendants suivant une loi �quir�partie. Il prend un risque de 10\:\% de rejeter cette hypoth�se quand elle est vraie. Accepte-t-il cette hypoth�se ?

\[{\huge \Box}\quad \text{Oui} \quad {\huge \Box}\quad \text{Non} \quad {\huge \Box}\quad \text{Il ne peut pas conclure.}\]









\sol{Bac : $\pi$}
On calcule : \\
$d^2 = (0,093 - 0,1)^2 + (0,116 - 0,1)^2 + (0,102 - 0,1)^2 + (0,102 - 0,1)^2 + (0,094 - 0,1)^2 + (0,094 - 0,1)^2 + 0,097 - 0,1)^2 + (0,095 - 0,1)^2
 + 0,101 - 0,1)^2 + (0,106 - 0,1)^2 = \nombre{0,000456}$.\\
 On a $\nombre{0,000456} < \nombre{0,00145}$ soit $d^2 < d_{9}$, donc il accepte cette hypoth\`ede avec un risque de 10\:\% de la rejeter.




\exot{Bac : D� t�tra�drique}


\noindent \textbf{Partie A}

On dispose d'un d\'e en forme de t\'etra\`edre r\'egulier, poss\'edant une face bleue, deux faces rouges et une face verte ; on suppose le d\'e parfaitement \'equilibr\'e.\\
 Une partie consiste \`a effectuer deux lancers sucessifs et ind\'ependants de ce d\'e. � chaque lancer  on note la couleur de la face cach\'ee.\\
  On consid\`ere les \'ev\`enements suivants :
  
E est l'\'ev\`enement \og \`a l'issue d'une partie, les deux faces not\'ees sont vertes \fg{},
  
F est l'\'ev\`enement \og \`a l'issue d une partie, les deux faces not\'ees sont de la m\^eme couleur \fg{}.

\begin{enumerate} \item Calculer les probabilit\'es des \'ev\`enements E et F ainsi que la probabilit\'e de E sachant F.

\item On effectue dix parties identiques et ind\'ependantes.\\
Calculer la probabilit\'e d'obtenir au moins deux fois l'\'ev\`enement F au cours de ces dix parties (on en donnera une valeur approch\'ee d\'ecimale \`a $10^{-3}$  pr\`es).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\noindent \textbf{Partie B}

On souhaite savoir	si le d\'e utilis\'e peut \^etre consid\'er\'e comme  parfaitement \'equilibr\'e.\\
Pour cela on num\'erote de 1 \`a 4  	les quatre faces de  ce d\'e, puis on lance, ce d\'e 160 fois en notant le nombre $n_{i}$ de fois  o\`u chaque face est cach\'ee ;  on obtient les  r\'esultats suivants :

\[\begin{array}{|l|*{4}{c|}}\hline
\text{face}~ i	&~~~1~~~&	~~~2~~~&	~~~3~~~&	~~~4~~~\\ \hline
\text{effectif}~ n_{i}	&34 & 48 &46 & 32\\ \hline
\end{array}\]
\noindent On note $f_{i}$ la fr\'equence relative \`a la face $n_{i}$ et $d_{\text{obs}}^2$ le r\'eel $\displaystyle\sum_{i = 1}^4 \left(f_{i} - \dfrac{1}{4}\right) ^2$.\\
 On simule ensuite 1\:000 fois l'exp\'erience consistant \`a tirer un chiffre au hasard 160 fois parmi l'ensemble (1 ; 2 ; 3 ; 4)	puis, pour chaque simulation, on calcule \\$d^2 = \displaystyle\sum_{i = 1}^4 \left(F_{i} - \dfrac{1}{4}\right) ^2$, o� $F_{i}$ est la
fr\'equence d'apparition	du nombre $i$. Le $9\textsuperscript{e}$ d\'ecile de la s\'erie statistique	 des 1\:000 valeurs de $d^2$ est \'egal \`a \nombre{0,0098}.\\
Au vu de l'exp\'erience r\'ealis\'ee et au risque de 10\:\%, peut-on consid\'erer le d\'e comme parfaitement \'equilibr\'e ?



\exot{Bac : bo�te � moustache}


Les guichets d'une agence bancaire d'une petite ville sont ouverts au public cinq jours par
 semaine : les mardi, mercredi, jeudi, vendredi et samedi.

\noindent Le tableau ci-dessous donne la r\'epartition journali\`ere des 250 retraits d'argent
 liquide effectu\'es aux guichets une certaine semaine.

\begin{center} \begin{tabular}{|l |*{5}{c|}}\hline
Jour de la semaine&	~mardi~&	mercredi&	~jeudi~&	vendredi& 	~samedi~\\ \hline
Rang $i$ du jour&	1&	2&	3&	4&	5\\ \hline
Nombre de retraits&	37&	55&	45&	53&	60\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\noindent On veut tester l'hypoth\`ese � le nombre de retraits est ind\'ependant du jour de la semaine �. On
 suppose donc que le nombre des retraits journaliers est \'egal \`a 
 $\cfrac{1}{5}$ du nombre des retraits de la semaine.

\noindent On pose	$d^2_{\text{obs}} = \displaystyle\sum_{i = 1}^5 
\left(f_i - \cfrac{1}{5}\right)^2$ o\`u $f_i$ est la fr\'equence des retraits du $i$-\`eme jour.


\begin{enumerate} \item Calculer les fr\'equences des retraits pour chacun des 
cinq jours de la semaine.

\item Calculer alors la valeur de $1\:000d^2_{\text{obs}}$ 
(la multiplication par $1\:000$ permet d'obtenir un r\'esultat plus lisible).

\item En supposant qu'il y a \'equiprobabilit\'e des retraits journaliers,
 on a simul\'e $2\:000$ s\'eries de 250 retraits hebdomadaires.

\noindent  Pour chaque s\'erie, on a calcul\'e la
 valeur du $1\:000d^2_{\text{obs}}$ correspondant. On a obtenu ainsi $2\:000$
valeurs de $1\:000d^2_{\text{obs}}$.

\noindent Ces valeurs ont permis de construire le diagramme en bo\^ite ci-dessous o\`u les extr\'emit\'es des � pattes � correspondent respectivement au premier d\'ecile et au neuvi\`eme d\'ecile.

\begin{center}\begin{pspicture}(10,1.2)
\psline(10,0) \psframe(1.9,0)(4.2,1) \psline(2.9,0)(2.9,1)
\psline(1,0.4)(1,0.6) \psline(6,0.4)(6,0.6)
\psline(1,0.5)(1.9,0.5) \psline(4.2,0.5)(6,0.5)
\uput[d](0,0){0} \uput[d](1,0){1} \uput[d](2,0){2} \uput[d](3,0){3} 
\uput[d](4,0){4} \uput[d](5,0){5} \uput[d](6,0){6} \uput[d](7,0){7} 
\uput[d](8,0){8} \uput[d](9,0){9} \uput[d](10,0){10}
\psline(0,0)(0,-0.1) \psline(1,0)(1,-0.1) \psline(2,0)(2,-0.1) 
\psline(3,0)(3,-0.1) \psline(4,0)(4,-0.1) \psline(5,0)(5,-0.1) 
\psline(6,0)(6,-0.1) \psline(7,0)(7,-0.1) \psline(8,0)(8,-0.1) 
\psline(9,0)(9,-0.1) \psline(10,0)(10,-0.1) 
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,2cm}

\noindent Lire sur le diagramme une valeur approch\'ee du neuvi\`eme d\'ecile.

\item En argumentant soigneusement la r\'eponse, dire si pour la s\'erie observ\'ee
 au d\'ebut, on peut affirmer, avec un risque d'erreur inf\'erieur \`a 10\:\%, 
 que � le nombre de retraits est ind\'ependant du jour de la semaine � ?
 
\end{enumerate} 



\exot{Bac : histograme}


Un pisciculteur poss\`ede un bassin qui contient trois vari\'et\'es de truites : 
communes, saumon\'ees et arc-en-ciel. Il voudrait savoir s'il peut consid\'erer que son
 bassin contient autant de truites de chaque vari\'et\'e. Pour cela il effectue, au hasard, 400
 pr\'el\`evements d'une truite avec remise et obtient les r\'esultats suivants :
 
\[ \begin{array}{|l *{3}{| c}|}\hline
\text{Vari\'et\'e} &  \text{Commune} &  	\text{Saumon\'ee} &  	
\text{Arc-en-ciel}\\ \hline
\text{Effectifs}&	146&	118& 	136\\ \hline
\end{array}\] 

\begin{enumerate} \item  \begin{enumerate} \item  Calculer les fr\'equences de
 pr\'el\`evement $f_c$ d'une truite commune, $f_s$ d'une truite saumon\'ee et $f_a$
 d'une truite arc-en-ciel. On donnera les valeurs d\'ecimales exactes.

\item On pose $d^2 = \left(f_c - \cfrac{1}{3}\right)^2 + \left(f_s - \cfrac{1}{3}\right)^2 +
\left(f_a - \cfrac{1}{3}\right)^2.$

Calculer $400d^2$ arrondi \`a $10^{-2}$ ; on note $400d^2_{\text{obs}}$ cette
valeur.

\noindent \`A l'aide d'un ordinateur, le pisciculteur simule le pr\'el\`evement au hasard de 400 truites suivant
 la loi \'equir\'epartie. Il r\'ep\`ete 1\:000 fois cette op\'eration et calcule \`a chaque fois la valeur de
 $400d^2$.

\noindent Le diagramme \`a bandes ci-dessous repr\'esente la s\'erie des 1\:000 valeurs de $400d^2$, obtenues par
 simulation.

\psset{xunit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(5,6)
\psline(0,0)(5,0) \psline(0,0)(0,6)
\psline[linecolor=lightgray](0,1)(5,1) \psline[linecolor=lightgray](0,2)(5,2) \psline[linecolor=lightgray](0,3)(5,3) 
\psline[linecolor=lightgray](0,4)(5,4) \psline[linecolor=lightgray](0,5)(5,5) 
\rput[d](0,-0.5){$0$} \rput[d](0.5,-0.5){$0,5$} \rput[d](1,-0.5){$1$} 
\rput[d](1.5,-0.5){$1,5$} 
\rput[d](2,-0.5){$2$} \rput[d](2.5,-0.5){$2,5$} \rput[d](3,-0.5){$3$} 
\rput[d](3.5,-0.5){$3,5$} 
\rput[d](4,-0.5){$4$} \rput[d](4.5,-0.5){$4,5$}
\rput[l](-0.5,0){$0$} \rput[l](-0.5,1){$100$} \rput[l](-0.5,2){$200$} 
\rput[l](-0.5,3){$300$} \rput[l](-0.5,4){$400$} \rput[l](-0.5,5){$500$}
\rput[u](0.25,5.79){539} \rput[u](0.75,2.85){235} 
\rput[u](1.25,1.72){122} \rput[u](1.75,1.01){51} 
\rput[u](2.25,0.91){41} \rput[u](2.75,0.62){12} 
\rput[d](5.25,0){$400d^2$} \rput[l](-.75,6){Effectifs}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(0.5,5.39)
 \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0)(1,2.35)
 \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,0)(1.5,1.22) 
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.5,0)(2,0.51)
 \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0)(2.5,0.41)
 \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2.5,0)(3,0.12)  
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,4cm}

\item D\'eterminer une valeur approch\'ee \`a 0,5 pr\`es par d\'efaut, du neuvi\`eme d\'ecile
 D9 de cette s\'erie.

\item En argumentant soigneusement la r\'eponse dire si on peut 
affirmer avec un risque d'erreur inf\'erieur \`a 10 \% que � le bassin contient autant de truites de
 chaque vari\'et\'e �.

\item On consid\`ere d\'esormais que le bassin contient autant de truites de chaque
 vari\'et\'e. Quand un client se pr\'esente, il pr\'el\`eve au hasard une truite du bassin.

\noindent Trois clients pr\'el\`event chacun une truite. Le grand nombre de 
truites du bassin permet d'assimiler ces pr\'el\`evements \`a des tirages 
successifs avec remise.

\noindent Calculer la probabilit\'e qu'un seul des trois clients pr\'el\`eve une
truite commune.

\end{enumerate}



\end{document}
