\chapterimage{./small/serious}
\chaptertext{Rien de nouveau?}





\chapter{NUM3ERS}


\section{Expéditions scientifiques}


\subsection{Voyage à Babylone}


\subsubsection{Numération babylonienne}

Dans la paisible région où se trouve actuellement l'Irak, près de la Syrie, au cours du deuxième millénaire avant Astérix
et Obélix, à Babylone, apparut un autre système de numération. La
forme, d'abord, était différente car les Babyloniens utilisaient des tablettes et des poinçons au lieu
de papyrus et de pinceaux. Il  y avait principalement deux caractères: \babun et
\babdix.



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=6cm]{./small/Babylonian}
\end{center}
%\end{figure}



Pour compter jusqu'à 59, le système fonctionne comme en  Égypte et plus tard en Grèce et à Rome : on
ajoute la valeurs  des signes écrits. Ainsi \babdix\babdeux correspond  à 12, \babquarante\babhuit à
48.

Lisez les nombres suivants: \babtrente\babhuit ; \babcinquante\babtrois ; \babvingt\babneuf.

Proposez d'autres exemples à vos voisins.



\medskip

À partir  de 60, la  numération ressemble  plus à la  nôtre car elle  devient «~positionnelle~»~:~en
effet, la valeur d'un signe dépend de sa position par rapport aux autres.

Ainsi, 63 s'écrit \babun \ \babtrois, c'est-à-dire 1 fois 60 plus 3 fois 1.

De même, \babtrois \ \babvingt\babtrois correspond à $3\times60+23=203$

Enfin \babdeux\ \babdix\babneuf  \ \babtrente\babcinq correspond à 2  soixantaines de soixantaines +
19 soixantaines +35, c'est-à-dire~?

\medskip 

Proposez d'autres nombres à vos voisins. 

.
\medskip


Que pensez-vous de cette opération~: \babdix\babcinq + \babquarante\babcinq = \babun ~?

Et de celle-ci~: \babdeux $\times$ \babun\babtrente $=$ \babtrois?

Est-ce que ça ne vous rappelle pas quelque chose?


\smallskip

Les Babyloniens étaient confrontés  à une petite ambiguité~:~le nombre
\babtrois \ \babvingt\babtrois  qu'on peut noter $[3;23]$ représentait
à la fois 
\begin{itemize}
\item $3\times60+23$~;
\item $3\times60^2+23\times 60$~;
\item $3+23\times\frac{1}{60}$~;
\item etc.
\end{itemize}

En  fait,  cela fait  penser  aux  «~multiplications  à virgules~»  de
l'école primaire où vous «~décaliez~» la virgule quitte à rajouter des
zéros~:~pourquoi~?






\subsubsection{Multiplication babylonienne}
Les petits Babyloniens devaient apprendre beaucoup de tables de multiplications qui
ressemblaient à ce
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=5cm]{tablebab1.pdf}
% \end{center}
% et avaient des sortes de bouliers à leur disposition. 
% Voici un
«~cahier~» d'écolier~:~de quelle table s'agit-il~?

\begin{center}
  \includegraphics[width=.75\linewidth]{tablebab2}
\end{center}

Ils disposaient également d'une  table des carrés~; complétez la table
suivante~:

\begin{center}
             \begin{tabularx}{\linewidth}{Y{19}}
	     \whline
             $n$&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\
             \hline
             $n^2$&1&4&9&&&&&&&&&&&&&&&&&\\
             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}



Pour multiplier 14 par 22, ils avaient ce petit dessin en tête~:


\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{numbab}
\end{center}

et il ne restait plus qu'à additionner~:~$14\times22=14^2+8^2+6^2+2^2+2^2+2^2$

Multipliez de la même manière 17 par 31.




\subsection{Au Royaume-Uni}

L'unité de base britannique pour mesurer les masses est la livre «~\emph{pound}~»
dont l'abbréviation est en toute logique  \textbf{lb}...



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{./small/scot}
\end{center}
%\end{figure}


Une  livre correspond  \emph{environ} à  453,49g. Pour  des mesures  plus fines,  on  utilise l'once
«~\emph{ounce}~» (\textbf{oz}) qui vaut $\frac{1}{16}$lb et le dram (\textbf{dr})
qui vaut $\frac{1}{16}$oz.

Pour des  mesures plus importantes, on  utilise les pierres  «~\emph{stone}~» (\textbf{st}) sachant
que 1st$=14$lb.

Combien pesez-vous~? Quelle est votre masse en pierre et livre~?

Vous pesez votre panier rempli de canettes d'Irn Bru et la balance indique
\frbal{2}{3}{8}lb~:~qu'est-ce  que ça signifie~?  Quelle est  la masse
correspondant en grammes~?

Et si vous trouvez \frbal{3}{5}{16}oz de diamant dans votre jardin~?








\subsection{Vers nos racines}

Il aurait été plus correct d'intituler cette activité : \textbf{construisons des irrationnels à la règle et à l'équerre}.

Quelle est la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1~? Déduisez-en une \textit{construction} de $\sqrt{2}$.

Construisez de même $\sqrt{5}$, $\sqrt{13}$, $\sqrt{11}$.


\sm

Casse-tête en forme d'escargot adepte du cubisme : quelle est la longueur du dixième segment gris de cette spirale\footnote{Je ne vous demande pas de prouver le résultat mais juste de le deviner} ?


\begin{center}
\includegraphics[width=\linewidth]{Nombres2}
\end{center}




\subsection{Vers l'horizon}


%\begin{figure}[!h]
  \begin{recherche}[souvenir de vacances]
    Je suis au bord d'une falaise près de Douvres et je contemple
l'horizon, là-bas, au loin, cherchant la côte française. La Terre semble être un disque plat dont je
suis le centre. Au fait, \emph{à quelle distance se trouve l'horizon?}
    \end{recherche}
%  \end{figure}




    Un petit dessin s'impose...


    
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{./small/eratoSun}
\end{center}
%\end{figure}



Comme nous, Ératosthène, directeur de la bibliothèque d'Alexandrie vers $-240$,
    se doutant que la Terre était une sphère, voulut calculer son rayon.


Il  observa  l'ombre  de  deux   objets  situés  en  deux  lieux,  Syène
(aujourd'hui Assouan) et Alexandrie, le 21 juin (solstice d'été) au midi
solaire local. C'est à ce moment précis de l'année que dans l'hémisphère
nord   le  Soleil   détient  la   plus  haute   position   au-dessus  de
l'horizon. Or, Ératosthène remarqua qu'il n'y avait aucune ombre dans un
puits à  Syène (ville  située à peu  près sur  le tropique du  Cancer) ;
ainsi,  à ce  moment  précis, le  Soleil  était vertical  et sa  lumière
éclairait directement  le fond du puits.  Ératosthène remarqua cependant
que  le même  jour à  la  même heure,  un obélisque  situé à  Alexandrie
formait  une ombre  ; le  Soleil  n'était donc  plus à  la verticale  et
l'obélisque avait une ombre décentrée. Il mesura que l'ombre était $8$
fois plus petite que l'obélisque.

Ératosthène évalua  ensuite la distance  entre Syène et Alexandrie  : la
distance obtenue était de 
5000 stades (50 jours à dos de chameau  à raison de 100 stades par jour), mesure
très proche de la réalité, un stade 
(longueur  utilisée dans  les  stades d'Olympie  ou  de Delphes)  valant
environ 157,5 m.




%\begin{figure}[!h]
  \begin{recherche}[rayon de la Terre]
   En utilisant les mesures  d'Ératosthène, peut-on calculer le rayon
  de la Terre?
    \end{recherche}







\subsection{Vers l'infini et au-delà...}

\subsubsection{Curiosité}

Observez ce qu'affiche une calculatrice quand vous effectuez les calculs suivants :

\[ \frac{324-32}{9}\qquad   \frac{3245-32}{99}\qquad   \frac{324510-32}{9999} \]

\begin{recherche}
  
Sans preuve, essayez d'écrire 57,333333333333333333333\dots sous forme de fraction.

\end{recherche}


\subsubsection{Une histoire de \dots}

Par convention, les \dots veulent dire qu'il y a une infinité de 3 à droite de la virgule. C'est un peu vague, nous en reparlerons plus bas. 

\begin{recherche}
  
À  votre avis, que vaut 1,333\dots $-1$,333 ? 1,333$-$ 1,333 ? $1,333\dots -1,333$ ?

\end{recherche}

Tout ça reste un peu empirique.

\subsubsection{L'algèbre au secours de la numération}

Nous aimerions prouver ce que nous avons observé tout à l'heure. Essayons donc d'écrire 32,444\dots sous forme de fraction, puisque la machine nous dit que \textit{ça a l'air} possible. 

Comme c'est embêtant d'écrire 32,444\dots, nous allons lui donner un petit surnom, par exemple \textit{Joe}.

Donc $Joe=32,444\dots$.


\begin{recherche}

\textbf{LA ruse} : que vaut $10\times Joe -Joe$ ? Déduisez-en  que \textit{Joe} est un nombre rationnel puis retrouvez les résultats précédents.

  
\end{recherche}


\subsubsection{Développement décimal périodique}

Posez la division de 1 par 3, vous obtenez sans cesse le reste 1 et le développement décimal est donc 0,33333333333\dots

En fait, il existe une écriture qui évite les \dots : $0,\underline{3}$ signifie de la même manière que le 3 se répète infiniment.

Voyez ce que donne 13/7.

\begin{center}
\opdiv{13}{7}
\end{center}

Donc on écrit \opdiv[period,style=text]{13}{7}



\begin{recherche}
  En   utilisant   ce   qui   a  été   fait   précédemment,   essayez   d'écrire
  $1.\underline{857}$ sous forme de fraction.
\end{recherche}


\subsubsection{Si, et seulement si}

\textbf{Si} je nage en maillot de bain dans un lac syldave \textbf{alors} je serai mouillé, mais est-ce que \textbf{si} je suis mouillé \textbf{alors} je nage en maillot de bain dans un lac syldave~?


La première proposition\footnote{\textbf{Si} je nage en maillot de bain dans un lac syldave \textbf{alors} je serai mouillé} est une \textbf{implication} vraie : nager en maillot de bain dans un lac syldave implique d'être mouillé.

On utilise le symbole  $\Longrightarrow$ pour matérialiser cette implication :

\[ \text{Nager en maillot dans un lac syldave}\Rightarrow\text{être mouillé}\]

La deuxième proposition\footnote{\textbf{Si} je suis mouillé \textbf{alors} je nage en maillot de bain dans un lac syldave} est l'\textbf{implication réciproque}. Dans le cas qui nous occupe, cette implication réciproque  est fausse

\[\text{être mouillé}\nRightarrow\text{nager en maillot dans un lac syldave}\]


On dit que ces deux propositions ne sont pas \textbf{équivalentes} :

\[ \text{Nager en maillot dans un lac syldave}\nLeftrightarrow\text{être mouillé}\]




\begin{recherche}

Que pensez-vous de  l'affirmation~:~\emph{Un quadrilatère est un carré
si, et seulement si, c'est un rectangle}~?





Et  celle-ci~:~\emph{Un  quadrilatère est  un  carré si,  et
seulement si, c'est un rectangle et un losange}

  
\end{recherche}








Revenons à nos nombres.

\begin{recherche}
  En pensant à la division posée, expliquer pourquoi un nombre rationnel admet forcément un développement décimal périodique.

Inversement, expliquez pourquoi un nombre admettant un développement rationnel périodique est forcément rationnel.

Comment exprimer ces résultats en termes d'équivalence?

\end{recherche}



\subsubsection{Les limites du développement décimal}


\begin{recherche}
  
\'Ecrivez sous forme de fraction le nombre 1,\underline{9}.

\end{recherche}

Des remarques~?







\section{Les Bases}




\subsection{La numération shadock}



Le calcul a toujours donné beaucoup de fil à retordre aux Shadoks...
En effet n'ayant que quatres cases il ne pouvait pas compter plus que quatre... 1, 2, 3, 4...
Mais le professeur Shadoko avait réformé tout ca...
\begin{itemize}
\item Quand il n'y a pas de Shadoks, on dit GA~;
\item Quand il y a un shadok de plus, on dit BU~;
\item Quand il y a encore un shadok de plus, on dit ZO~;
\item Et quand il y a encore un autre, on dit MEU.
\end{itemize}

Si je mets un shadok en plus, évidement, je n'ai plus assez de mots pour les compter...


\begin{center}
  \includegraphics[width=0.8\linewidth]{./small/shaga.jpg}
\end{center}


alors c'est très simple: on les jette dans une poubelle, et je dis que j'ai BU poubelle.
Et pour ne pas confondre avec le BU du début, je dis qu'il n'y a pas de Shadok à coté de la poubelle et j'écris BU GA.

\begin{center}
  \includegraphics[width=0.8\linewidth]{./small/shabu.jpg}
\end{center}


Bu Shadok à coté de la poubelle: BU BU.

Un autre : BU ZO.

Encore un autre : BU MEU.

...

MEU poubelles et MEU Shadoks à coté : MEU MEU.
Arrivé là si je mets un Shadok en plus, il me faut une autre poubelle.

Mais comme  je n'ai plus de  mots pour compter les  poubelles, je m'en
débarrasse en les  jetant dans une grande poubelle.  J'écris BU grande
poubelle avec pas de  petite poubelle et pas de Shadok à  coté : BU GA
GA.

Et on continue... BU GA BU, BU GA ZO....


\begin{center}
  \includegraphics[width=0.8\linewidth]{./small/shazo.jpg}
\end{center}


MEU MEU ZO, MEU MEU MEU.

Quand on arrive là et qu'on a trop de grandes poubelles pour pouvoir les compter, eh bien, on les met dans une super poubelle, on écrit BU GA GA GA, et on continue...









Vous trouverez une machine à calculer shadock ici : 


\href{http://www.lesshadoks.com/telechargement/Install.exe}{http://www.lesshadoks.com/telechargement/Install.exe}



Pour voir en image ce que nous venons de découvrir, c'est là:

\href{https://youtu.be/lP9PaDs2xgQ}{https://youtu.be/lP9PaDs2xgQ}









\section{Le code bibinaire}



\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
\begin{figure}
  \includegraphics[width=3cm]{./small/bobybouf}
\caption{Bobby Lapointe\\(1922 - 1972)}
\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-5.2cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
\end{minipage}

Boby \textsc{Lapointe},  célèbre chanteur  français, était aussi  mathématicien à ses  heures. Ayant
trouvé le code binaire trop compliqué à utiliser, il  inventa le code... bibinaire (il y a un jeu de
mot caché). Il  suffit de remplacer les chiffres  par des lettres. On commence par  couper le nombre
écrit en  binaire en  paquets de 2.  S'il y a  un nombre impair  de chiffres,  on rajoute un  zéro à
gauche, ce qui ne  modifie pas la valeur de nombre (expliquez pourquoi).  On commence par le premier
groupe de deux chiffres le plus à droite. On remplace 00 par O, 01 par A, 10 par E, 11 par I.\\
Puis on prend le paquet de deux chiffres suivants en se déplaçant de droite à gauche. On remplace 00
par H, 01 par B, 10 par K, 11 par D.\\
Pour le paquet suivant, on recommence avec les  voyelles. S'il y a encore un groupe, on remplace par
une consonne, etc.


\begin{recherche}

\begin{enumerate}

\item Écrivez les nombres de 0 à 31 en bibinaire.\\
\item Récitez la table de multiplication par HI en bibinaire.
\item Quelle est la base du bibinaire~?
\item Pour les curieux : écrivez 1177 en bibinaire.
\item Écrivez KEKIDIBIBI en numération décimale et également KEBOKADO.
\item Pour les très curieux : quel est le plus grand nombre qu'on peut écrire avec six lettres en bibinaire~?

\end{enumerate}


  
\end{recherche}



\section{Différents ensembles de nombres}

\begin{recherche}
  Nous  avons  passé en  revue  différents  types  de  nombres que  l'on  pourrait
regrouper par catégories: lesquelles?
\end{recherche}


\subsection{Où classer la racine carrée de 2?}

\begin{defi}
  Supposons que $\sqrt{2}$ soit rationnel: qu'est-ce que cela implique?
\end{defi}





\subsection{Héron d'Alexandrie}

Contemporain de l'empereur Auguste,  Héron d'Alexandrie est célèbre pour
avoir déterminé un moyen  d'obtenir une approximation de $\sqrt{2}$ mais
les Babyloniens connaissait cette technique bien avant lui.

 Le secret de  la méthode part de la  constatation suivante~:~si $x$ est
 un nombre plus grand que  $\sqrt{2}$ alors $\frac{2}{x}$ est plus petit
 que $\sqrt{2}$. Pouvez-vous le prouver~?

\smallskip

Si  on  part de  $x=2$,  qu'est-ce  que  cela prouve~?  Mmmmmmmm...  pas
terrible.

Prenons le milieu entre $x$ et $\frac{2}{x}$~:~est-il plus grand ou plus
petit que $\sqrt{2}$~? Comment en être toujours sûr~?

Comment utiliser ces remarques pour trouver une approximation en base 10 de $\sqrt{2}$?













%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


    %%%%%%%%% E X E R C I C E S

    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




    \modeexercice

    \section{Exercices}






    \subsection*{Légende}
\begin{multicols}{3}
    \begin{itemize}
    \item   \includegraphics[height=18pt]{picalogo}\textbf{    Objectif:   Survivre}
      
    \item \includegraphics[height=18pt]{peterlogo}\textbf{ Objectif: Le DS}
      
    \item  \includegraphics[height=18pt]{darthlogo}\textbf{Objectif: Défi}
     
    \end{itemize}
  \end{multicols}
  
    \subsection*{Exercices techniques}


    \begin{exercicea}[Carrés remarquables]
      Dans chacun des cas suivants, exprimer de deux façons différentes l'aire du carré $ABCD$ et écrire l'égalité ainsi obtenue.
\par
\begin{multicols}{3}
\[\includegraphics{calclit305exo05.1}\]
\[\ldots\ldots=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\]
\par
\[\includegraphics{calclit305exo05.2}\]
\[\ldots\ldots=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\]
\par
\[\includegraphics{calclit305exo05.3}\]
\[\ldots\ldots=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\]
\end{multicols}
    \end{exercicea}

    

\begin{exercicea}[De tête]
  Calculer \og\textsl{Deux cent milliards neuf au carré moins deux cent
  milliards huit au carré}\fg{}, c'est-à-dire le nombre
:\[200\,000\,000\,009^2-200\,000\,000\,008^2\]
  
\end{exercicea}


\begin{exercicea}[Somme ou produit?]\label{ex::somprod}

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=1.17]{3litteralexo90.1}
\end{center}
%\end{figure}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
  
Pour chaque question de ce QCM, il y a
  une ou plusieurs bonnes réponses.
 Si, à la première question, la réponse est \texttt{a}
par exemple, tracer dans le cadre ci-dessus le segment
[\texttt{f}\texttt{l}], et ainsi de suite.
%cc\par\vspace{1.5cm}
Ce dessin est constitué de quatre lettres qui forment le mot :\par
\dotfill
\begin{enumerate}
  \item L'expression $A=(4x+5)+x(2x-1)$ écrite ainsi est
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item une somme\hfill [\texttt{fl}]
      \item un produit\hfill [\texttt{bf}]
      \item une somme de carrés\hfill [\texttt{bh}]
      \item une différence de carrés\hfill [\texttt{bc}]
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
  \item L'expression $B=4-(3x+1)^2$ écrite ainsi est
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item une somme\hfill [\texttt{cg}]
      \item un produit\hfill [\texttt{ci}]
      \item une somme de carrés\hfill [\texttt{ei}]
      \item une différence de carrés\hfill [\texttt{lq}]
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
  \item En développant l'expression $(3x-5)^2$, on obtient :
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item $9x^2+25$\hfill [\texttt{kp}]
      \item $9x^2-30x+25$\hfill [\texttt{cm}]
      \item $9x^2-15x+25$\hfill [\texttt{ot}]
      \item $9x^2-25$\hfill [\texttt{ej}]
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
  \item En développant l'expression $(2x-1)(2x+1)$, on obtient :
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item $2x^2-1$\hfill [\texttt{mr}]
      \item $4x^2+1$\hfill [\texttt{nr}]
      \item $4x^2-4x-1$\hfill [\texttt{io}]
      \item $4x^2-1$\hfill [\texttt{no}]
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
  \item En développant l'expression $(x-1)(x+2)$, on obtient :
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item $x^2+x+2$\hfill [\texttt{mq}]
      \item $x^2+3x+2$\hfill [\texttt{pu}]
      \item $x^2+x-2$\hfill [\texttt{vw}]
      \item $3x-2$\hfill [\texttt{wy}]
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
  \item En développant puis en réduisant l'expression
    $(2x-1)^2-(x+3)^2$, on obtient :
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item $(x-4)(3x+2)$\hfill [\texttt{uv}]
      \item $3x^2-10x-8$\hfill [\texttt{yz}]
      \item $x^2-8$\hfill [\texttt{rv}]
      \item $(x-4)^2$\hfill [\texttt{lp}]
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
  \item L'expression $(3x-2)(3x+4)$ est une factorisation de :
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item $(3x+1)^2-9$\hfill [\texttt{bg}]
      \item $(3x+10)(3x-8)$\hfill [\texttt{ms}]
      \item $(3x-4)(3x+4)$\hfill [\texttt{tz}]
      \item $(3x-2)^2$\hfill [\texttt{pv}]
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
  \item En factorisant l'expression $(x-2)(2x+3)-(x-2)(3x-12)$, on
    obtient :
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item $(x-2)(-x+15)$\hfill [\texttt{dy}]
      \item $(x-2)(-x-9)$\hfill [\texttt{sz}]
      \item $(x-2)(x-15)$\hfill [\texttt{hi}]
      \item $-x+15$\hfill [\texttt{de}]
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
  \item Une factorisation de l'expression $4x^2-(x+3)^2$, on obtient :
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item $(x+3)(3x+3)$\hfill [\texttt{gh}]
      \item $(x+1)(3x-9)$\hfill [\texttt{ak}]
      \item $(x-3)(3x+3)$\hfill [\texttt{lm}]
      \item $(3x-3)(5x+3)$\hfill [\texttt{lr}]
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
  \item En factorisant l'expression $3x(x-2)-(x-4)(x-2)$, on obtient :
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item $(x-2)(2x+4)$\hfill [\texttt{ab}]
      \item $(4x-4)(x-2)$\hfill [\texttt{os}]
      \item $(4+2x)(x-2)$\hfill [\texttt{mn}]
      \item $(x-2)(2x-4)$\hfill [\texttt{dh}]
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
  \item Soit l'expression $E=9(x+1)^2-36$. $E$ s'écrit aussi :
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item $9x^2+18x-27$\hfill [\texttt{qr}]
      \item $9(x-5)(x+7)$\hfill [\texttt{kq}]
      \item $(3x-3)(3x+9)$\hfill [\texttt{cd}]
      \item $9(x-1)(x+3)$\hfill [\texttt{rw}]
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
  \item Soit l'expression $E=x^2-2x-3$. $E$ s'écrit aussi :
    \begin{multicols}{2}
      \begin{enumerate}
      \item $x(x-2)$\hfill [\texttt{qv}]
      \item $x(x-2)+3$\hfill [\texttt{ry}]
      \item $(x-1)^2-4$\hfill [\texttt{st}]
      \item $(x+1)(x-3)$\hfill [\texttt{fg}]
      \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{enumerate}
  
\end{exercicea}





\begin{exercicea}[Trous remarquables]
  Complète à l'aide des égalités remarquables :
\begin{align*}
x^2+\ldots+100&=(\ldots+\ldots)^2&1-4x^2&=(\ldots+\ldots)(\ldots-\ldots)\\
9x^2+\ldots+\ldots&=(\ldots+5)^2&64+48x+9x^2&=(\ldots+\ldots)^2\\
x^2-\ldots&=(x+3)(\ldots-\ldots)&121-4x^2&=(\ldots+\ldots)(\ldots-\ldots)\\
\ldots-16&=(5x+\ldots)(\ldots-\ldots)&16x^2-8x+1&=(\ldots-\ldots)^2\\
\ldots-\ldots+25&=(3x-\ldots)^2&\ldots+14x+\ldots&=(x+\ldots)^2\\
\end{align*}
\end{exercicea}



\begin{exercicea}[a$^2$-b$^2$]
  \begin{enumerate}
  \item Rappeller  une égalité  remarquable qui pourrait  servir à  répondre aux
    questions qui suivent.
  \item Factoriser les expressions suivantes à l'aide de cette égalité
    remarquable.
    \end{enumerate}
\begin{align*}
  4-t^2&=\hbox to5cm{\dotfill}&4x^2-25&=\hbox to5cm{\dotfill}\\
16-9t^2&=\hbox to5cm{\dotfill}&81x^2-16&=\hbox to5cm{\dotfill}\\
  25z^2-1&=\hbox to5cm{\dotfill}&-49+36x^2&=\hbox to5cm{\dotfill}\\
\end{align*}




\end{exercicea}




\begin{exercicea}[La base]
  Dans chaque ligne du tableau suivant, 4 réponses sont proposées, mais une seule est exacte.
\\Entoure la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.
\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
\begin{center}
\begin{tabular}{|p{4cm}|c|c|c|c|}
  \hline \centering{Expression} & Réponse A & Réponse B & Réponse C & Réponse D \\
  \hline $(x-3)^2=$ & $x^2-6x+9$ & $x^2-9$ & $x^2-12x+9$ & $x^2+6x+9$ \\ 
  \hline $(2x-5)^2 =$ & $2x^2-25$ & $2x^2-20x+25$ & $4x^2-20x+25$ & $4x^2-25$ \\
  \hline $(x-5)(x+5)=$ & $x^2-5$ & $x^2-10x-25$ & $x^2+10x-25$ & $x^2-25$ \\
  \hline $(x-1)(x+2)=$ & $x^2+x-2$ & $x^2-1$ & $x-2$ & $x^2-2$ \\
  \hline $(5x-3)^2=$ & $25x^2-9$ & $5x^2-30x+9$ & $25x^2-30x+9$ & $5x^2-9$ \\   
  \hline
\end{tabular} 
\end{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
  
\end{exercicea}





\begin{exercicea}[Dominos]
  Après avoir découpés les dominos ci-dessous, place les pour former un parcours rectangulaire
en respectant la règle suivante : {\em deux côtés qui sont adjacents
  doivent être égaux}.
\hspace{0.5cm}
 
\renewcommand\arraystretch{2.5}
 
\begin{table}[h!]
\begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
 \begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|}
  \hline \centering{$x^2-10x+25$ \\ \hspace{1cm}} & \centering{$x(x+5)-4x$ \\ \hspace{1cm}} \tabularnewline  \hline
 \end{tabular} 
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
  \begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|}
  \hline \centering{$(1-2x)(2x+3)$ \\ \hspace{1cm}} & \centering{$15x-9$ \\ \hspace{1cm}} \tabularnewline \hline
 \end{tabular}  
\end{minipage}
\end{table}
 
%\begin{table}[h!]
\begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
 \begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|}
  \hline \centering{$(x+3)(x+5)$ \\ \hspace{1cm}} & \centering{$x^2+3x$ \\ \hspace{1cm}} \tabularnewline  \hline
 \end{tabular}  
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
 \begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|}
  \hline \centering{$x(x+3)$} & \centering{$(1-2x)(5x-2)-(1-2x)(3x-5)$} \tabularnewline  \hline
 \end{tabular} 
\end{minipage}
%\end{table}
 
\begin{table}[h!]
\begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
 \begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|c}
  \hline \centering{ $x(x-1)$\\ \hspace{1cm}} & \centering{$x(x+1)$ \\ \hspace{1cm}} \tabularnewline  \hline
 \end{tabular}  
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
 \begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|}
  \hline \centering{$(1-2x)(8x-3)$ \\ \hspace{1cm}} & \centering{$x^2-x$ \\ \hspace{1cm}} \tabularnewline  \hline
 \end{tabular}  
\end{minipage}
\end{table}
 
%\begin{table}[h!]
\begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
  \begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|}
  \hline \centering{$3(5x-3)$ \\ \hspace{1cm}} & \centering{$(x-5)^2$ \\ \hspace{1cm}} \tabularnewline  \hline
 \end{tabular}  
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
\begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|}
  \hline \centering{$4x(2x+7)$ \\ \hspace{1cm}} & \centering{$x^2+8x+15$ \\ \hspace{1cm}} \tabularnewline  \hline
 \end{tabular}  
\end{minipage}
%\end{table}
 
\begin{table}[h!]
\begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
  \begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|}
  \hline \centering{$(5-3x)(6-2x)$ \\ \hspace{1cm}} & \centering{$8x^2+14x$ \\ \hspace{1cm}} \tabularnewline  \hline
 \end{tabular}  
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
 \begin{tabular}{|p{3.5cm}|p{3.5cm}|}
  \hline \centering{$6x^2-28x+30$} & \centering{$(1-2x)(5x+2)+(1-2x)(3x-5)$} \tabularnewline  \hline
 \end{tabular} 
\end{minipage}
\end{table}
  
\end{exercicea}


\begin{exerciceb}[Ensembles de nombres]

 

Répondre par vrai ou faux en justifiant vos réponses~:
\begin{enumerate}
\item  Un entier est positif.
\item  Un entier n'est pas un décimal.
\item  Un décimal est un rationnel.
\item  Un quotient de deux nombres est un rationnel.
\item  Un nombre peut être à la fois un entier naturel et un entier relatif.
\item  3 est un nombre rationnel.
\end{enumerate}


\end{exerciceb}

 

\begin{exerciceb}[Ensembles de nombres]

 
 On considère tous les nombres compris entre -4 et 3 inclus.
\begin{enumerate}
\item Combien cet intervalle contient-il d'éléments de $\bbn$ ~?
\item Combien cet intervalle contient-il d'éléments de $\bbz$ ~?
\item Combien cet intervalle contient-il d'éléments de $\bbq$ ~?
\item Citer un élément de cet intervalle qui soit entier non naturel.
\item Citer un élément de cet intervalle qui soit un rationnel non décimal.
\item Citer un élément de cet intervalle qui soit un réel mais pas un rationnel.
\end{enumerate}

\end{exerciceb}


 

\begin{exerciceb}[Avec des racines]

 

				On donne un rectangle STUV dont les dimensions exactes en centimètres sont : 	
				$$ST = L = 16 + 4\sqrt2 ~\textrm{ et } ~TU = l = 16 - 4\sqrt2.$$
				Calculer, en détaillant et en donnant les valeurs exactes des résultats :
				\begin{enumerate}
				\item Le périmètre $\PR$ du rectangle $STUV$ en centimètres.
				\item L'aire $\AR$ ~du rectangle $STUV$ en centimètres carrés.
				\item La longueur $d$ de la diagonale du rectangle $STUV$ en centimètres.
				\end{enumerate}

                              \end{exerciceb}
                              



                              \begin{exerciceb}[Ensembles de nombres]


 

 Compléter toutes les cases du tableau suivant par le symbole $\in$ ou $\notin$\\



	\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
  &\rotatebox{90}{$\cfrac{35}{7}$} &
  \rotatebox{90}{$\cfrac{27}{100}$} &
  \rotatebox{90}{$\cfrac{\sqrt{5} + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$}& 
  \rotatebox{90}{$1+ 2\sqrt{3}$} &
  \rotatebox{90}{$-\cfrac{1+ 2}{3}$} &
	\rotatebox{90}{$\cfrac{12}{7+ 5}$} &
	\rotatebox{90}{$\sqrt{5^2-4^2}$} &
	\rotatebox{90}{$(1 + \sqrt{5})(1 - \sqrt{5})$} &
	\rotatebox{90}{$\cfrac{3 + 2\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$} &
  \rotatebox{90}{$\cfrac{341}{19}$} 
  \\\hline
	$\bbn$ & & & & & & & & & & \\ \hline
	$\bbz$ & & & & & & & & & & \\ \hline
	$\bbd$ & & & & & & & & & & \\ \hline
	$\bbq$ & & & & & & & & & & \\ \hline
        $\bbr$ & & & & & & & & & & \\ \hline
	\end{tabular} 
	\end{center}

      \end{exerciceb}
      
 

\begin{exerciceb}[Avec des fractions]

 

	\begin{enumerate}
	\item Montrer que $\sqrt{1+\frac{3}{5}}\times\sqrt{1-\frac{3}{5}}$ est rationnel.
	\item Montrer que $\left(3\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(3\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)$ et $\left(\sqrt{2}+\sqrt{8}\right)^2$ sont des entiers.
	\item Montrer que $\left(\sqrt{\frac{2}{5}}-\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^2$  est un rationnel.


\item  Plus généralement,montrer que les nombres  $\left(\sqrt{\frac{a}{c}}-\sqrt{\frac{c}{a}}\right)^2$ et $\left(\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\right)^2$ le sont aussi.
	\end{enumerate}

      \end{exerciceb}
      

\begin{exerciceb}[Puissances de 10]
	
 

Un fil de section $S$ comporte $n$ électrons par unité de volume se déplaçant à la vitesse $v$.\\
L'intensité $I$ du courant circulant dans ce fil est donnée en ampère par la formule :
$$ I=nSqv $$
où $q$ désigne une charge électrique.\\

On donne :

\begin{multicols}{2}


$n=6  \times 10^{26}~m^{-3}$\\
$q=1,5  \times 10^{-19}~C$\\
$v=2 \times 10^{-3}~m.s^{-1}$\\
$S=1,2  \times 10^{-6}~m^2$.

\end{multicols}


\begin{enumerate}
\item Faire le calcul de $I$, en ampère, à l'aide de la calculatrice, et donner le résultat.
\item Faire le calcul à la main en détaillant les étapes.
\end{enumerate}


 
\end{exerciceb}


\begin{exerciceb}[Fractions et racines]

 


Écrire le nombre suivant sans radical au dénominateur : $A=\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$.

\end{exerciceb}


\begin{exerciceb}[Fractions]

 


Écrire sous forme de fraction irréductible : $B=\dfrac{1+\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3}}}$.


\end{exerciceb}



\begin{exerciceb}[Racines et machine]
 


Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=\sqrt{8}+\sqrt{2}$, \quad
$AC=\sqrt{3}+2\sqrt{27}$ \quad et \quad $BC=\frac{\nombre{184148}}{\nombre{63217}}$.\\

\begin{enumerate}
\item Donner à l'aide de la calculatrice un encadrement à $10^{-2}$ près
  de chacun des côtés.
\item Donner les valeurs exactes de $AB^2$, $AC^2$ et $BC^2$.
\item Le triangle $ABC$ est-il rectangle ?
\end{enumerate}

\end{exerciceb}


 


\begin{exerciceb}[Machine]
 

Soit $x$ un nombre réel. On pose
$$
   A = \sqrt {x^2 + x + 1} - \sqrt {x^2 - x + 1}
      \qquad {\rm et} \qquad
   B = \frac{2x}{\sqrt {x^2 + x + 1} + \sqrt {x^2 - x + 1}}
$$ 

\begin{enumerate}

\item Avec une calculatrice, déterminer des valeurs approchées à
      $10^{-10}$ près de $A$ et $B$ pour~:
$$
   x = 10^4
     \qquad \qquad
    x = 10^{18}
     \qquad \qquad
    x = -3
$$

\item Démontrer par le calcul que $A=B$.

\item Comment peut-on expliquer les résultats de la question {\bf
     1.}~?
\end{enumerate}

\end{exerciceb}





\begin{exerciceb}[Ensemble de nombres]

 

Pour trouver la nature d'un nombre, on le simplifie au maximum pour trouver le plus petit ensemble auquel il appartient.

  Déterminer la nature des nombres suivants :
\[
A=\frac{-\sqrt{144}}{3}; \qquad
B=\frac{\pi}{314}; \qquad
C=\frac{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}{45}; \qquad
D=\left(5\sqrt{3}+2\right)^2-20\sqrt{3} 
\]


\[
E=\frac{\pi}{3} \div \frac{\pi}{11}; \qquad
F=5,3939\overline{39}\textrm{\dots}; \qquad
G=5,37-11,6
\]

\end{exerciceb}

%\textcyr{YA lyublyu moi utchelnik a on durak ?        }





 

\begin{exercicea}[Écritures scientifiques]

 



%  Compléter le tableau suivant :

%   \begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|c|}
% \hline
%     valeur exacte & 
% \makebox[2.5cm]{$\dfrac{2000}{7}$} & 
% \makebox[2.5cm]{$\dfrac{\pi}{60}$} & 
% \makebox[2.5cm]{$\cos{80^\circ}$} & 
% \makebox[2.5cm]{$\dfrac{3\sqrt{7}-9}{2}$} \\
% \hline
% Valeur approchée à $10^{-3}$ près & & & & \\
% par défaut & & & & \\
% par excès & & & & \\
% \hline
% valeur arrondie à  $10^{-3}$  & & & & \\ 
% \hline
%   \end{tabular}

\begin{enumerate}
\item  Donner l'écriture scientifique des nombres suivants :
\begin{enumerate}

\item $H = 4,5 \times 10^5 \times 6,4 \times 10^4;$
\item $I = -2,45 \times 10^{-4} +54,7 \times 10^{-4};$
\item $J = \frac{4,8 \times 10^{-11} \times 27 \times 10^5}{1,2 \times 10^{-3}}$
\end{enumerate}

\item La vitesse de la lumière est  d'environ $3\times 10^8$~m/s. La distance moyenne entre la Terre
  et le Soleil est d'environ $149 \times 10^6{\textrm km}$. Calculer le temps mis par un rayon lumineux du Soleil pour atteindre la Terre.

\end{enumerate}


\end{exercicea}


\begin{exerciceb}[Calcul littéral]

 

\begin{enumerate}
    
    \item Développer et réduire l'expression $(n+1)^2 - n^2$.
    \item En déduire que tout nombre entier impair est la différence de deux carrés.
    
  \item Trouver une différence de deux carrés égale à 13, puis une autre égale à 45.
  \end{enumerate}

  

\end{exerciceb}

















\begin{exerciceb}[Racines et fractions]

 

 Montrer les égalités suivantes :

\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
  \item $\frac{\nombre{1000}+\nombre{0,00003}^2-10^3}{6\times 10^{-9}} =
    0,15$
\item   $16   -   \left(\sqrt{3}-5\right)^2  =   \left(9-\sqrt{3}\right)
  \left(\sqrt{3}-1\right)$
\item $\frac{5-\sqrt{2}}{23} = \frac{1}{5+\sqrt{2}}$
\item $\frac{\sqrt{5}+1}{5+\sqrt{5}} + 7\sqrt{5} = \frac{36\sqrt{5}}{5}$
  \end{enumerate}

\end{multicols}

\end{exerciceb}







\begin{exercicea}[Identités à remarquer]

Développer et réduire :\\
$A=(4-\sqrt{5})^2 \qquad B=(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2$
$C=(7-\sqrt{5})(7+\sqrt{5}) \qquad D=(4\sqrt{3}-2)(3+\sqrt{3})$



Factoriser les expressions suivantes :

\begin{multicols}{2}

$A(x)=64x^2-49$

$B(x)=21x^2-14x$

$C(x)=4x^2-4x+1$

$D(x)=(4x-3)^2-25$


$E(x)=4(x-1)^2-2(x-1)(x+3)$

$F(x)=4(x-2)^2-16$

$G(x)=(5x+3)^2-(6x-2)^2$

\end{multicols}

\end{exercicea}





\begin{exerciceb}[Fractions]


Déterminer les constantes $a$, $b$ et $c$ tels que : 
$\dfrac{6x^2-x+4}{2x-3}=ax+b+\dfrac{c}{2x-3}$.

\end{exerciceb}



\begin{exerciceb}[Fractions irréductibles]
Exprimer chacun des nombres $a$, $b$, $c$ et $d$ sous forme d'une
fraction irréductible en faisant apparaître les étapes du calcul :

\begin{multicols}{2}

$a=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\div\frac{5}{2}$\\


$b=\frac{13\times10^{14}\times10^6}{2\times\left(10^3\right)^7}$\\

$c=\sqrt{\dfrac{49}{100}}+\frac{\left(\sqrt3\right)^2}{10}$\\

$d=\frac{1}{20}\left(\sqrt{14}-1\right)\left(\sqrt{14}+1\right)$
\end{multicols}

\end{exerciceb}








\begin{exercicea}[Somme ou produit?]


Parmi les expressions suivantes, indiquer les sommes, les produits et les quotients.\\

\begin{tabular}[l]{lll}
$A(x)=\dfrac{2x-3}{x^2+1}$ & $ B(x)=\dfrac{x+1}{x}+\dfrac{1}{4}$
&
$C(x)=\dfrac{4x}{3}(x-2)$ \\
 $ D(x)=(5x-1)^2$
&
$E(x)=(x-3)2x+7$ & $ F(x)=3x(x+1)$\\ 
\end{tabular}

\vspace {5mm}

NB : on fera des phrases du type : \og{}$G(x)$ est le produit de $(x+7)$ par $(x-3)$.\fg{}


\end{exercicea}





\begin{exerciceb}[Identités remarquables]


Retrouver parmi les expressions suivantes celles qui correspondent à des développements de carrés :\\

\begin{tabular}[l]{ll}
$A(x)=x^2+2x+1\qquad$ & $\qquad B(x)=4x^2-4x+1$\\
&\\
$C(x)=x^2+3x+9\qquad$ & $\qquad D(x)=4x^2+12x+9$\\
\end{tabular}



\end{exerciceb}




\begin{exercicea}[Calculs]


Soit l'expression $f(x)=-x^2+\dfrac{6}{x}$.\\

Calculer l'expression pour les valeurs suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $x=3$ ;
\item[$\bullet$] $x=-2$ ;

\item[$\bullet$] $x=\sqrt{3}$ ;
\item[$\bullet$] $x=\dfrac{3}{2}$.

 \end{itemize}
\end{multicols}


\end{exercicea}








\begin{exercicea}[Expressions déguisées]

Vérifier que  les trois expressions  suivantes correspondent à  une même
expression~:
$$x(2x-1)-3\ ;\qquad (2x-3)(x+1)\ ;\qquad2 \left( x-\dfrac{1}{4} \right)^2-\dfrac{25}{8}$$

\end{exercicea}





\begin{exerciceb}[Calculs avec des racines]


\begin{enumerate}
\item Vérifier les égalités suivantes : \quad $\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^2}=\sqrt{5}-2$ et \quad $\sqrt{11-6\sqrt{6}}=3-\sqrt{2}$.
\item Calculer : \quad $A=3 \sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^2}+2 \sqrt{\left(2\sqrt{2}-3\right)^2}-\sqrt{11-6\sqrt{6}}=3-\sqrt{2}$.
\end{enumerate}

\end{exerciceb}






\begin{exerciceb}[Formats de papiers]
  L'Organisation Internationale de Normalisation (ISO) constitua en 1947
un Comité Technique, le ISO/TC 6 \og papier\fg, qui chargea un de ses
sous-comités d'étudier les dimensions internationales des papiers et
des cartons. La recommandation fut demandée d'envisager la
normalisation des formats.
\par Afin d'obtenir des formats pratiques, il fût décidé que, lors de
pliages en deux de la feuille, {\em le rapport longueur sur largeur de
  la feuille} devait rester constant.
\begin{center}
  \begin{tabular}{ccc}
    format \no1&&format \no2\\
    \includegraphics{3racinesexo61.1}&&\includegraphics{3racinesexo61.2}\\
    \\
    $\dfrac L\ell$&$=$&$\dfrac\ell{\dfrac L2}$\\
  \end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quelle est alors le lien entre $L$ et $\ell$ ?
\item Comment passer d'un format \no2 au format \no1 ?
\item\hfill\newline
{Le format de
  départ est le format A$_0$ d'aire {\em exactement} 1~m$^2$ et qui
  mesure environ 118,9 cm sur 84,1 cm. Trouve les dimensions des
  feuilles de format A$_1$, A$_2$, A$_3$ et A$_4$.}
\end{enumerate}

 
\end{exerciceb}



\modenormal


\vfill

\eject


\section{Et les 2\up{nde}5 créèrent les nombres}

\subsection{Arbre de calcul}

Le rôle  des parenthèses  est le plus  souvent primordial dans  un calcul  et ne
facilite pas sa compréhension.

Par exemple, il ne faudra pas confondre:

$$9/2 +(-3) × 4 - (-5)$$

et
$$9/ ((2+(-3)) × (4-(-5)))$$


Par exemple sur Python:


\begin{pythoncode}
In [1]: 9 / 2 + (-3) * 4 - (-5)
Out[1]: -2.5

In [2]: 9 / ((2 + (-3)) * (4 - (-5)))
Out[2]: -1.0
\end{pythoncode}

Interressons-nous par exemple à $9/ ((2+(-3)) × (4-(-5)))$. Il n'est pas évident
de voir qu'il s'agit de la division de 9  par le produit de la somme de 2 et de
l'opposé de 3 par la différence de 4 et de l'opposé de 5...

Il n'est pas évident de comprendre cette longue phrase non plus!

On peut faire une  mixture de ces deux modes en  utilisant des noms d'opérateurs
et des parenthèses. Par exemple, on importe  ces noms dans Python et on effectue
le calcul ainsi:


\begin{pythoncode}
In [3]: from operator import add, mul, inv, neg, pow, sub, truediv, floordiv

In [4]: truediv(9, mul(add(2, neg(3)), sub(4, neg(5))))
Out[4]: -1.0
\end{pythoncode}





Il est sûrement plus clair de visualiser le calcul à l'aide d'un arbre:


{\small 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[edge from parent fork down,
every node/.style={fill=blue!30,rounded corners},
edge from parent/.style={blue,thick,draw},level 1/.style={sibling distance=4.5cm},
level 2/.style={sibling distance=2.5cm},
level 3/.style={sibling distance=1.4cm}]
\node{$/$}
    child{node[fill=white]{$9$}}
    child{node{$\times$}
       child{node{$+$}
       child{node[fill=white]{$2$}}
       child{node{$-$}
            child{node[fill=white]{$3$}}}
       }
       child{node{$-$}
       child{node[fill=white]{$4$}}
       child{node{$-$}
            child{node[fill=white]{$5$}}}
       }
};
\end{tikzpicture}
\end{center}

}

L'usage du $-$ est ici ambigu: cet opérateur est parfois binaire pour la soustraction, parfois
unaire pour prendre l'opposé.  Pour éviter ce problème, on peut par exemple utiliser des symboles
différents. On prendra $-$ pour la soustraction et $\lnot$ pour l'opposé:


{\small 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[edge from parent fork down,
every node/.style={fill=blue!30,rounded corners},
edge from parent/.style={blue,thick,draw},level 1/.style={sibling distance=4.5cm},
level 2/.style={sibling distance=2.5cm},
level 3/.style={sibling distance=1.4cm}]
\node{$/$}
    child{node[fill=white]{$9$}}
    child{node{$\times$}
       child{node{$+$}
       child{node[fill=white]{$2$}}
       child{node{$\lnot$}
            child{node[fill=white]{$3$}}}
       }
       child{node{$-$}
       child{node[fill=white]{$4$}}
       child{node{$\lnot$}
            child{node[fill=white]{$5$}}}
       }
};
\end{tikzpicture}
\end{center}

}

On réduit alors l'arbre en remontant des feuilles vers la racine:




{\small 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[edge from parent fork down,
every node/.style={fill=blue!30,rounded corners},
edge from parent/.style={blue,thick,draw},level 1/.style={sibling distance=4.5cm},
level 2/.style={sibling distance=2.5cm},
level 3/.style={sibling distance=1.4cm}]
\node{$/$}
    child{node[fill=white]{$9$}}
    child{node{$\times$}
      child{node{$\lnot$}
        child{node[fill=white]{$1$}}
      }
      child{node[fill=white]{$9$}
      }
    };
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

puis


{\small 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[edge from parent fork down,
every node/.style={fill=blue!30,rounded corners},
edge from parent/.style={blue,thick,draw},level 1/.style={sibling distance=4.5cm},
level 2/.style={sibling distance=2.5cm},
level 3/.style={sibling distance=1.4cm}]
\node{$/$}
    child{node[fill=white]{$9$}}
    child{node{$\lnot$}
      child{node[fill=white]{$9$}}
    };
\end{tikzpicture}
\end{center}
}


et on trouve bien finalement $\lnot 1$.

%$

\begin{recherche}
Construisez les arbres des expressions des questions 1, 2, 6a, 6b, 6c, 6d de la \vref{ex::somprod}. Pour la puissance on fera (par exemple pour $x^2$):


{\small 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[edge from parent fork down,
every node/.style={fill=blue!30,rounded corners},
edge from parent/.style={blue,thick,draw},level 1/.style={sibling distance=4.5cm},
level 2/.style={sibling distance=2.5cm},
level 3/.style={sibling distance=1.4cm}]
\node{$\wedge$}
    child{node[fill=white]{$x$}}
    child{node[fill=white]{$2$}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

\end{recherche}



\vfill

\eject


\subsection{Identités remarquables}

Tout est dans le dessin:



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{calclit305exo05.4}
\end{center}
%\end{figure}


Ce qui signifie que:



\begin{theoreme}[Identité remarquable neumebeurre oine]
  $$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$$
\end{theoreme}



En prenant $b=¬c$, on obtient $a²  + 2a(¬ c) + (¬ c)² = (a+(¬c))²$.

Or $2×a×(¬  c)= ¬2ac$  et $(¬c)²=c²$ donc  cela revient  à $a² +  (¬2ac) +  c² =
(a+(¬c))²$.

Enfin ajouter l'opposé d'un nombre c'est le soustraire donc $a+(¬c)=a-c$.

Finalement:


\begin{theoreme}[Identité remarquable neumebeurre tou (en fait la première suffit)]
  $$a^2 - 2ac + c^2 = (a-c)^2$$
\end{theoreme}


La troisième  est trop facile:  $(x+y)(x-y)=(x+y)×(x+(¬y))=x×x + x×(¬y) +  y×x +
y×(¬ y)= x²+xy -xy -y²=x²-y²$ 




\begin{theoreme}[Identité remarquable neumebeurre tri]
  $$x² - y² = (x+y)(x-y)$$
\end{theoreme}


À chaque  fois, de  droite à  gauche on  effectue un  \textbf{développement} (on
enlève les enveloppes: les parenthèses) et de gauche à droite on effectue une \textbf{factorisation}.


\begin{itemize}
\item \textbf{développement}: produit devient somme
  \item \textbf{factorisation}: somme devient produit
\end{itemize}



{\small 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[edge from parent fork down,
every node/.style={fill=blue!30,rounded corners},
edge from parent/.style={blue,thick,draw},level 1/.style={sibling distance=4.5cm},
level 2/.style={sibling distance=2.5cm},
level 3/.style={sibling distance=1.4cm}]
\node{$×$}
    child{node[fill=white]{}}
    child{node[fill=white]{}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

devient



{\small 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[edge from parent fork down,
every node/.style={fill=blue!30,rounded corners},
edge from parent/.style={blue,thick,draw},level 1/.style={sibling distance=4.5cm},
level 2/.style={sibling distance=2.5cm},
level 3/.style={sibling distance=1.4cm}]
\node{$+$}
    child{node[fill=white]{}}
    child{node[fill=white]{}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}


et vice-versa.



\vfill

\eject

\subsection{Opposé - Inverse: la recherche du neutre}


\subsubsection{Déplacement neutre}

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=.9\linewidth]{neutral}
\end{center}
%\end{figure}

La nature  recherche souvent  l´équilibre. Imaginez par  exemple un  lac abrité,
sans vent. L'eau est calme, horizontale, lisse, équilibrée.

Imaginez maintenant que vous  y lanciez un objet. Cela va  créer des remous mais
le lac va tout faire pour retrouver sa position neutre.

\sm

Considérez maintenant l'\textbf{addition}  comme un \textbf{déplacement}. Ajouter 4 c'est
déplacer un nombre de 4 unités. Ajouter 57 c'est déplacer un nombre de 57 unités.

Y a-t-il un déplacement qui ne déplace rien...un déplacement neutre?

\sm


Oui, bien  sûr, le  déplacement de  \textbf{zéro}. Ajouter zéro  à un  nombre ne
change rien.


Quelque soit votre nombre:

$$\text{nombre}+0=\text{nombre}$$

\begin{definition}[Élément neutre de l'addition]
  L'élément neutre de l'addition est ZÉRO:
  $$\text{nombre}+0=0+\text{nombre}=\text{nombre}$$
\end{definition}

\begin{recherche}
  On  dit \textbf{L}'élément  neutre  mais  peut-il y  en  avoir plusieurs  pour
  l'addition?  Supposez par  exemple qu'il  en existe  un deuxième.  Appelons-le
  $\heartsuit$. Que se passe-t-il? Y a-t-il un problème? Menez l'enquête.
\end{recherche}



\subsubsection{Retour à l'équilibre}




La nature cherche à revenir à l´équilibre.



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{yinyang}
\end{center}
% \end{figure}

Si l'on s'est déplacé  de 4 unités, il existe un chemin qui  permet de revenir à
la position de départ: le chemin \textbf{opposé}.


\begin{definition}[Opposé d'un nombre]

  L'opposé  d'un nombre  $n$ est  le nombre  qu'il faut  additionner à  $n$ pour
  revenir à 0 (l´équilibre).

  On le note $¬n$ ou $-n$. Sur les calculatrices on utilise la touche \key[scale=1.5]{opposite}
  
\end{definition}


\subsubsection{Agrandissement-Réduction}

On peut penser à la multiplication comme  une mise à l´échelle. Multiplier par 3
c'est agrandir un nombre d'un facteur 3.

Le déplacement neutre, c'est donc l´échelle 1 cette fois.


\begin{definition}[Élément neutre de la multiplication]
  L'élément neutre de la multiplication est UN:
  $$\text{nombre}×1=1×\text{nombre}=\text{nombre}$$
\end{definition}


Ça ressemble à la définition du neutre de l'addition...


De même on cherchera à revenir à la  taille initiale. Si on a mis à l'échelle 3,
il  existe   une  échelle   pour  revenir  à   la  taille   initiale:  l'échelle
\textbf{inverse}.




%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{drinkme}
\end{center}
%\end{figure}


\begin{definition}[Inverse d'un nombre]

  L'inverse  d'un nombre  $n$ est  le nombre  qu'il faut  multiplier à  $n$ pour
  revenir à 1 (l´équilibre).

  On le  note $\frac{1}{n}$  ou $n^{-1}$.  Sur les  calculatrices on  utilise les
  touches \key[scale=1.5]{SHIFT} \key[shift,scale=2.5]{closeparen}
  
\end{definition}





\subsection{Équations: la recherche de l'équilibre}

Au début, l'homme s'amusait avec les os:



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{2001}
\end{center}
%\end{figure}


puis il a eu l'idée que ça pouvait l'aider à compter ses mammouths:


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=3cm]{countbone}
\end{center}
% \end{figure}



C'est une  idée assez naturelle:  on appelle les  nombres servant à  compter les
mammouths les \textbf{nombres entiers naturels}.


\begin{definition}[Entiers naturels ]
  Les entiers naturels sont les nombres qui permettent de compter les mammouths\includegraphics[height=1cm]{mammouth}.

  On note souvent \textbf{N} ou $\bbn$ l'ensemble de tous les nombres entiers Naturels.

  $$\bbn=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,...\}$$
\end{definition}


Dans $\bbn$ je peux résoudre des problèmes de mammouths:


\begin{quote}
  {\itshape
Je viens  d'attraper 4 mammouths. J'en  ai maintenant 9. Combien  en avais-je au
départ?
  }
\end{quote}


Pour cela l'homme préhistorique mit au point la résolution d'équations dans $\bbn$.  Il se
dit:



\begin{quote}
  {\itshape
Soit $m$ le  nombre de mammouths au  départ. Alors je cherche  un entier naturel
$m$ tel que $m+4=9$.

En fait je cherche à résoudre dans $\bbn$ l'équation $m+4=9$ d'inconnue $m$.
  }
\end{quote}

Quel entier naturel faut-il  ajouter à 4 pour trouver 9: ben  5. J'ai résolu mon
\textbf{équation} dans $\bbn$. La \textbf{solution} est 5.



\bigskip

Puis l'être humain s'est mis à s'endetter en empruntant des mammouths à ses voisins. Pour ne pas confondre le fait
d'attraper ou d'emprunter un mammouth, il nota le fait d'en emprunter douze:$¬12$.
Ces nouveaux nombres sont définis \textit{relativement} à leur propriétaire.


\begin{definition}[Entiers relatifs ]
  Les entiers relatifs sont les nombres qui permettent d'emprunter des mammouths
  \includegraphics[height=1.5cm]{tradeprehistoric}.

  On note  souvent \textbf{Z} ou $\bbz$  l'ensemble de tous les  nombres entiers
  relatifs: les Zentiers.

  $$\bbz=\{...,¬12,¬11,¬10,¬9,¬8,¬7,¬6,¬5,¬4,¬3,¬2,¬1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,...\}$$
\end{definition}

Quel grand pas pour l'humanité.  L'être humain peut maintenant s'endetter et résoudre de
nouveaux problèmes:

\begin{quote}
  {\itshape
  J'ai attrapé 12 mammouths ce matin. Il ne m'en reste plus. Combien en avais-je
  emprunté au départ? Je
  cherche le nombre $m$ de mammouths qui vérifie $m+12 = 0$.
  }
\end{quote}


Je  ne savais  pas résoudre  l´équation dans  $\bbn$: si  j'attrape 12  nouveaux
mammouths, je ne peux pas en avoir aucun.  Mais je peux le faire dans $\bbz$: je
peux avoir emprunté des mammouths: $$m+12=0 ⟺ m=¬12$$


\bigskip

Puis l'être humain s'est mis à partager ses mammouths.


\begin{definition}[Nombres rationnels]
  Les rationnels sont les nombres qui permettent de partager des mammouths
  \includegraphics[height=1.5cm]{flinstonemeat}.

  On note souvent \textbf{Q} ou $\bbq$ l'ensemble de tous les nombres rationnels
  qui sont en fait le Quotient de deux nombres zentiers.

  $$\bbq=\left\{\frac{z}{n} \  \text{ avec } \  z \in \bbz \text{  et } n \in  \bbn, \
  n\neq 0\right\}$$
\end{definition}

On peut partager les mammouths mais aussi  les dettes entre un certain nombre de
personnes mais il faut qu'il y ait au moins quelqu'un.



Je  ne savais  pas résoudre  l´équation dans  $\bbz$: si  j'ai 3
mammouths, comment les partager équitablement avec mes quatre copains.  Mais je peux le faire dans $\bbq$: je
peux avoir des fractions de mammouths: $$3pm= 5⟺ pm=\frac{5}{3}$$

Chaque copain aura la même part de mammouth: trois cinquièmes de mammouths.



\bigskip

Puis l'être humain s'est mis à mettre ses mammouths dans des enclos.


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=3cm]{flinstonefarm}
\end{center}
%\end{figure}


\begin{quote}
  {\itshape
Je veux enfermer mon mammouth dans un enclos en forme de triangle rectangle dont
les  deux côtés  orthogonaux ont  pour  longueur 1.  Quelle est  la longueur  du
troisième côté?
}
\end{quote}


On est donc amené à résoudre  l'équation $c²=1²+1²=2$: on cherche un nombre dont
le carré vaut 2...Notons $√2$ un tel nombre.

Alors mon équation devient:


\begin{eqnarray*}
  x^2&=&(√2)²\\
  x^2-(√2)²&=&0\\
  (x-√2)(x+√2)&=&0\\
\end{eqnarray*}

et donc  $x=√2$ ou $x=¬√2$. Si  un tel nombre  existe, son opposé aussi  est une
solution du problème. Or ce nombre existe puisque j'ai construit mon enclos.

Pour ne pas confondre les deux solutions, on dira que:

\begin{definition}[Racine carrée]
  L'unique solution  POSITIVE de l'équation $x²=a$  (qui n'a de sens  que si $a$
  est positif  car c'est  la longueur  d'un côté  de mon  enclos) est  le nombre
  appelé \textit{racine carrée de a} et noté $√a$.

  Sur les  calculatrices on  utilise les
  touches \key[scale=1.5]{SHIFT} \key[shift,scale=2.5]{square}
\end{definition}

\sm


Garder ses mammouths laissa à l'être humain  le temps de penser et d'inventer la
poésie. En  son honneur, le grand  poète Jean \textsc{Racine} écrivit  ces vers
inoubliables:



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{racine}
\end{center}
%\end{figure}



\begin{quote}
  {\itshape

ALEXANDRINS

Proposition. La racine carrée de deux,\\
est un nombre irrationnel. Pour vous, c’est un jeu\\
de démontrer habilement cette assertion.\\
Si ce nombre mystérieux est une fraction,\\
p/q, p, q deux entiers premiers entre eux,\\
vous prenez le carré. En restant scrupuleux,\\
vous constatez après quelques cogitations\\
que p est pair, entrevoyez la solution :\\
q est pair aussi. Contradiction… Vous aimez\\
ces mathématiques antiques et vous rêvassez\\
lorsqu’Euclide d’Alexandrie fait irruption,\\
le regard pétillant, le sourire radieux.\\
Il relit votre texte avec application\\
et approuve l’argument d’un clignement d’yeux.\\
    }
  \end{quote}

  \begin{recherche}
    Comment utiliser ce poème pour vous aider  à démontrer que $√2$ n'est pas un
    nombre rationnel?
  \end{recherche}

Il y  a d'autres nombres  qui ne sont  pas dans $\bbq$.  Un très célèbre  est le
rapport entre  le périmètre d'un cercle  et son diamètre. On  l'appelle $π$ pour
penser au périmètre et aux Grecs. Tiens, il y a quelque chose de bizarre dans la
phrase précédente: quoi donc?
  
  \begin{definition}[Nombres réels]

    On dispose déjà de tous les nombres  de l'ensemble $\bbq$. Quand on ajoute à
    ces nombres tous ceux que l'on peut construire dans des figures géométriques
    on forme l'ensemble $\bbr$ ou \textbf{R} des nombres R\'eels.
  \end{definition}
  

  \section{Puissances}

\subsection{Et l'être humain créa la multiplication}

L'être humain savait depuis longtemps ajouter des mammouths:



\begin{quote}
  {\itshape
  2 mammouths plus 2 mammouths plus 2 mammouths ça fait 3 fois 2 mammouths
}
\end{quote}

Tout naturellement il venait d'inventer la \textit{multiplication}.

\begin{definition}[Multiplication]
  Multiplier un nombre $x$ par l'entier naturel $n$ c'est ajouter $x$ $n$ fois.

  $$x\times n=\underbrace{x+x+\cdots+x}_{n \ \text{termes}}$$
\end{definition}


Ainsi $$(x×n) + (x×p)= \underbrace{x+x+\cdots+x}_{n \ \text{termes}}+\underbrace{x+x+\cdots+x}_{p \ \text{termes}}=\underbrace{x+x+\cdots+x}_{n+p \ \text{termes}} $$

...on vient de créer la FACTORISATION par un nombre :)
 $$(x×n) + (x×p)=x×(n+p)$$

\vfill
\eject

      
\subsection{Et l'être humain créa la puissance}



\begin{quote}
  {\itshape
  2 fermes fois 2 enclos fois 2 mammouths ça fait  $2³$ mammouths
}
\end{quote}


Tout naturellement il venait d'inventer la \textit{puissance}.

\begin{definition}[Puissance]
  Élever  un nombre  $x$ à  la puissance  entière positive  non nulle  $n$ c'est
  multiplier $x$ $n$ fois.

  $$xⁿ=\underbrace{x×x×\cdots×x}_{n \ \text{facteurs}}$$
\end{definition}




Ainsi $$(xⁿ) × (x^p)= \underbrace{x×x×\cdots×x}_{n \ \text{facteurs}}×\underbrace{x×x×\cdots×x}_{p \ \text{facteurs}}=\underbrace{x×x×\cdots×x}_{n+p \ \text{facteurs}}$$

On vient d'inventer la règle de multiplication des puissances de $x$:

%$


\begin{theoreme}[Produit de puissances]
  $$x^n×x^p=x^{n+p}$$
\end{theoreme}




Toujours plus fort:

 $$(xⁿ)^p= \underbrace{\underbrace{x×x×\cdots×x}_{n \ \text{facteurs}}×\underbrace{x×x×\cdots×x}_{n \ \text{facteurs}}×\cdots×\underbrace{x×x×\cdots×x}_{n \ \text{facteurs}}}_{p \ \text{facteurs}}=\underbrace{x×x×\cdots×x}_{n×p \ \text{facteurs}}$$


On vient d'inventer la règle des puissances de puissances de $x$:

\begin{theoreme}[Puissance de puissances]
  

$$(x^n)^p=x^{n×p}$$

\end{theoreme}


Rappelez-vous! On avait noté l'inverse d'un nombre $x$: $x^{-1}$. 



\begin{definition}[Puissance $¬1$]
  $$x^{¬1}=\frac{1}{x}$$
\end{definition}





 Allez, on
regarde si ça peut nous permettre d'inventer de nouvelles règles...



$$1=x×\frac{1}{x}=x^1×x^{¬1}=x^{1-1}=x⁰$$


Donc on vient d'inventer la puissance nulle:


\begin{theoreme}[Puissance nulle]
  $$x^0=1$$
\end{theoreme}


Ne nous arrêtons pas là! 

$$1=x×\frac{1}{x}×
x×\frac{1}{x}×\cdots=(x×x×\cdots)×(\frac{1}{x}×\frac{1}{x}×\cdots)=x^p×\left(\frac{1}{x}\right)^p=x^p×(x^{¬1})^p=x^p×x^{¬p}=x^{p-p}=x^0$$

donc c'est bien compatible!



\begin{theoreme}[Puissance négative]
  $$x^{¬p}=\frac{1}{x^p}$$
\end{theoreme}

Toujours plus fort: peut-on imaginer une puissance telle que $x^p=√x$?


Cela signifie que $x=(x^p)²=x^{2p}$ donc $1=\frac{x^{2p}}{x}=x^{2p-1}=x^0$ 

$2p-1=0$...On pose donc $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$! 


\begin{theoreme}[Puissance rationnelle]
  $$x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$$
\end{theoreme}



%%%Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "Poly2nde2018_19"
%%% End:
