\input{/home/moi/Lycee/makalice}\setlength{\parindent}{0pt}
\entete{TD Fractions rationnelles}{\textsc{MATHS - SGM - $1^{\text{ère}}$ année}}{IUT de Nantes, dpt SGM}

\setlength{\parindent}{0pt}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\setlength{\parindent}{0pt}
\titre{TD 9\&10 :  Fractions rationnelles}{}



\section*{Vocabulaire - Forme de la décomposition}


\exot{Pôles}

On pose


\begin{maplegroup}
\mapleresult
\begin{maplelatex}
\[
{\rm F}(h)={\displaystyle \frac {5\,h^{3} - 2\,h^{2} + 4\,h - 3}{
h^{3}\,(h - 1)}} 
\]
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
Quels sont les pôles de F($h$) ? Cette fraction admet-elle une partie
entiere ? 

Sachant que : 

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\mapleresult
\begin{maplelatex}
\[
(h - 1)\,(h^{2} - h + 3) + 4\,h^{3}=5\,h^{3} - 2\,h^{2} + 4\,h - 
3
\]
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
déduire une écriture de F($h$) sous forme de somme de 4 fractions dont
trois de pôle 0

\end{maplegroup}


\exot{Pôles complexes - Partie entière}

\begin{maplegroup}
\mapleresult
\begin{maplelatex}
\[
{\rm G}(x)={\displaystyle \frac {2\,x^{3} + 3\,x^{2} + 21\,x - 5
}{x^{2} + 2\,x + 10}} 
\]
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
Quels sont les pôles complexes de G ? Déterminer la partie entière de
G .

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}



\exot{Pôles - Partie entière - \'Eléments de 1ère et 2ème spèce}
 On pose :

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\mapleresult
\begin{maplelatex}
\[
f(t) = {\displaystyle \frac {t^{3}}{(t^{2} + 2\,t + 2)^{2}
}} 
\]
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
La fraction $f$ a -t-elle des pôles réels ? Quels sont les pôles complexes de $f $,
quel est leur ordre ? 

Faire la division euclidienne de 
\mapleinline{inert}{2d}{t^3}{%
$t^{3}$%
}  par   
\mapleinline{inert}{2d}{t^2+2*t+2}{%
$t^{2} + 2\,t + 2$%
}   En déduire une écriture de $f(t)$ sous forme de somme de deux
fractions dont les dénominateurs soient des puissances (
éventuellement 1 ) de 
\mapleinline{inert}{2d}{t^2+2*t+2}{%
$t^{2} + 2\,t + 2$%
}  avec des numérateurs de degré 1 . Comment nomme-t-on de telles
fractions ? 

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}




\exot{\'Eléments de 1ère et 2ème espèce}

 On donne la décomposition suivante :

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\mapleresult
\begin{maplelatex}
\[
{\displaystyle \frac {5\,x^{4} + 5\,x^{3} + 104\,x^{2} - 70\,x + 
333}{(x - 2)\,(x^{2} + 2\,x + 19)^{2}}} ={\displaystyle \frac {1
}{x - 2}}  + {\displaystyle \frac {2\,x - 5}{(x^{2} + 2\,x + 19)
^{2}}}  + {\displaystyle \frac {4\,x + 1}{x^{2} + 2\,x + 19}} 
\]
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
Donner les éléments de première espèce de cette décomposition et ceux
de seconde espèce. 

\end{maplegroup}









\exot{Forme de la décomposition}

Pour chacune des fractions suivantes \bel

      \item      dire si sa partie entière est nulle ou pas , dans la
négative donner son degré

          \item  donner les diviseurs irréductibles du dénominateur dans $\bbr$
ainsi que leur puissance 

          \item  donner la liste des diviseurs primaires (les $A^k$ où $A$ est irreductible) du dénominateur

     \item  En déduire la forme de la décomposition dans $\bbr$ \el

       On ne fera aucun calcul et on se bornera à donner la forme.


\begin{maplegroup}
\mapleresult
\begin{maplelatex}
\[
{\rm f}(x)={\displaystyle \frac {2\,x^{4} - 3\,x + 7}{(x^{2} + 2)
\,(x - 1)}} 
\quad {\rm g}(t)={\displaystyle \frac {t^{2} - t - 5}{(t + 2)^{2}\,(t
 - 1)}} 
\quad
{\rm h}(p)={\displaystyle \frac {p^{6}}{(p^{2} + 4\,p + 13)\,(p^{
2} + 9)}}\]
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}

 \begin{maplegroup}
\mapleresult
\begin{maplelatex}
\[
{\rm q}(x)={\displaystyle \frac {3\,x^{2} - 5\,x + 11}{(x^{2} - 1
)\,(x^{2} + 4)^{2}}} \quad
{\rm r}(s)={\displaystyle \frac {4\,s^{4} - s^{2}}{(s - 1)^{3}\,(
s^{2} - 10\,s + 26)}} 
\]
\end{maplelatex}

\end{maplegroup}
\begin{maplegroup}
\mapleresult
\begin{maplettyout}
\end{maplettyout}

\end{maplegroup}







\exot{Parirté}


Soit F($x$) une fraction rationnelle de pôles
simples 2 et $-2$ : ${\rm F}(x)={\displaystyle \frac {a}{x - 2}}  + {\displaystyle 
\frac {b}{x + 2}} $



Quelle relation existe-t-il entre $a$ et $b$ si F est paire ? impaire ?






\section*{Pratique de la décomposition}


\exot{Avec des pôles simples dans $\mathbf{\bbr(X)}$}
Décomposer dans $\bbr(X)$ $F(x)=\fr{5x-9}{(x+3)(x-8)}\quad G(t)=\fr{t}{(t-1)(t+1)(t+3)}$

\exot{Avec des pôles simples dans $\mathbf{\bbc(X)}$}
\been
\item Décomposer dans $\bbc(X)$ $H(z)=\fr{z^3}{z^2+9}$
\item Soit $F(x)=\fr{1}{(x^2+1)^2-x^2}$ avec $x\in\bbr$.
\been
\item Déterminer les pôles complexes  de $F$. On posera $J=e^{2j\pi/3}$. Donner alors la forme de la décomposition de $F$ dans $\bbc$.
\item \'Etudiez la parité de $F$. Conséquences ?
\item Comme $F(x)\in\bbr$, que pensez-vous de $\overline{F(x)}$~? Conséquences ?
\item Déterminez alors la décomposition de $F$ dans $\bbc(X)$.
\item Calculer $(x-J)(x-\overline{J})$ puis $(x+J)(x+\overline{J})$.
\item En déduire la décomposition de $f$ dans $\bbr(X)$ sous la forme $$F(x)=\fr{ax+b}{x^2+x+1}+\fr{cx+d}{x^2-x+1}$$
\een\een

\exot{Avec des éléments de deuxième espèce}

Reprenons l'exemple précédent $F(x)=\fr{1}{(x^2+1)^2-x^2}$  dont la décomposition s'écrit dans $\bbr(X)$ sous la forme
$$F(x)=\fr{ax+b}{x^2+x+1}+\fr{cx+d}{x^2-x+1}$$
En étudiant la parité de $F$ et en prenant deux valeurs particulières retrouvez le résultat de l'exercice précédent.


\exot{Avec des pôles multiples}
\been
\item Décomposez $F(x)=\fr{x^2+1}{(x-1)^4(x+1)}$ en utilisant une division selon les puissances croissantes.
\item Soit $G(t)=\fr{t^2+10t-18}{(t-2)^2(t+1)}$. On peut utiliser la méthode précédente. Mais l'ordre maximum étant 2, on peut opérer différemment.
\been
\item Notons $G(t)=\fr{a	}{(t-2)^2}+\fr{b}{t-2}+\fr{c}{t+1}$. Déterminez $a$ et $c$ par les méthodes habituelles.
\item Calculez $\Lim{+\infty}xF(x)$ de deux façons et concluez.
\een\een
\bs

\textbf{\textsf{Avec Xcas}} : il suffit d'utiliser la commande \texttt{partfrac()} pour obtenir les résultats demandés.

\end{document}