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% \entete{\large \bfseries}{\normalsize\textsf{\rightmark}}{Lycée Jean \textsc{Perrin} - }%g,d,b
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% \setlength{\parindent}{0pt}
% \pagestyle{empty}


\documentclass[10pt,landscape]{report}
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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
\fbox{%
\begin{minipage}{\linewidth}
\smallskip
{\bfseries \Large \sffamily \begin{center} Devoir Surveillé de mathématiques\hfill Samedi 7 mars 2009 \\
                                  2\up{nde}12\hfill 2 heures \end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\end{center}


\vspace{1cm}


\begin{multicols}{2}


\exot{}

$ABCD$ est un parallélogramme. $I$ est le milieu de $[DC]$.
\begin{enumerate}
	\item Construire les points $M$ et $N$ tels que $\vect{AM}=\frac32\vect{AB}$ et $\vect{AN}=3\vect{AD}$.
	\item \begin{enumerate}
				\item Exprimer $\vect{MN}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$.
				\item Exprimer $\vect{BI}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$.
				\item En déduire que $(MN)$ et $(BI)$ sont parallèles.
				\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
				\item Exprimer $\vect{CM}$ en fonction de $\vect{AC}$ et $\vect{AD}$.
				\item Exprimer $\vect{CN}$ en fonction de $\vect{AC}$ et $\vect{AD}$.
				\item En déduire que les points $C$, $M$ et $N$ sont alignés.
				\end{enumerate}
\end{enumerate}








\exot{}

Donnez les coordonnées des vecteurs suivants dans la base $\pav{\ve{AB},\ve{AC}}$~:

\begin{enumerate}
	\item $\vect{u_1}=\vect{AB}-3\vect{AC}+\vect{BC}$
	\item $\vect{u_2}=\vect{CA}-\vect{BC}+3(\vect{AC}-\vect{AB})$
	\item $\vect{u_3}=\cfrac{1}{2}\vect{BC}-2\pa{\vect{AB}+\cfrac{1}{3}\vect{CA}}$
	\item $\vect{u_4}=\cfrac{1}{2}\vect{BA}-\cfrac{2}{3}\pa{\vect{AC}-\cfrac{3}{4}\vect{BC}}-\vect{AB}$
\end{enumerate}




\exot{}

On considère la figure ci-dessous.
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item  En utilisant le quadrillage, lire les coordonnées des vecteurs $\vect{u_1}$, $\vect{u_2}$, $\vect{u_3}$, $\vect{u_4}$, $\vect{u_5}$ :
			\begin{enumerate}
			\item dans la base $(\vect{i}$, $\vect{j})$.
			\item dans la base $(\vect{u_2}$, $\vect{u_3})$.
			\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
			\item Tracer le vecteur de coordonnées $(2,1)$ dans la base $(\vect{i}$, $\vect{j})$.
			\item Tracer le vecteur de coordonnées $(2,1)$ dans la base $(\vect{u_2}$, $\vect{u_3})$.
			\item Tracer le vecteur de coordonnées $(2,1)$ dans la base $(\vect{u_1}$, $\vect{u_4})$.
			\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\vfill\columnbreak
$$\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm, arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-4,-3)(5,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.3pt, gridcolor=gray, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=0](-4,-3)(5,4)
\psline{->}(4,-3)(5,-3)\rput(5,-2.5){$\vect{i}$}
\psline{->}(4,-3)(4,-2)\rput(3.5,-2){$\vect{j}$}
\psline{->}(-2,1)(-2,-1)\rput(-2.5,0.5){$\vect{u_2}$}
\psline{->}(-3,2)(-1,3)\rput(-2.5,3){$\vect{u_5}$}
\psline{->}(1,3)(4,3)\rput(2.5,3.5){$\vect{u_3}$}
\psline{->}(1,2)(4,0)\rput(2.5,2){$\vect{u_1}$}
\psline{->}(-1,-1)(1,1)\rput(-0.5,0.5){$\vect{u_4}$}
\end{pspicture}
$$








\exot{}

On considère la figure ci-dessous. Aucune justification n'est demandée. $E$ est le milieu de $[IB]$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\pspicture(-5,-11)(5,0)
\pspolygon(0,0)(-1.5,-2.598)(1.5,-2.598)
\pspolygon(-1.5,-2.598)(-3,-5.1962)(0,-5.1962)
\pspolygon(1.5,-2.598)(0,-5.1962)(3,-5.1962)
\pspolygon(3,-5.1962)(4.5,-7.794)(1.5,-7.794)
\pspolygon(-3,-5.1962)(-1.5,-7.794)(-4.5,-7.794)
\pspolygon(0,-5.1962)(-1.5,-7.794)(1.5,-7.794)
\psline(-1.5,-7.794)(-3,-10.392)(-4.5,-7.794)
\psdot(0,-7.794)
\uput[u](0,0){$P$}%ancien nom A
\uput[ul](-1.5,-2.598){$M$}%C
\uput[ur](1.5,-2.598){$D$}%B
\uput[u](0,-5){$N$}%D
\uput[ur](4.5,-7.794){$Q$}%N
\uput[u](-1.5,-7.5){$B$}%P
\uput[ur](3,-5.1962){$F$}%M
\uput[ul](-4.5,-7.794){$A$}%E
\uput[u](1.5,-7.5){$I$}%F
\uput[u](-3,-10.1){$R$}
\uput[u](0,-7.794){$E$}
\uput[u](-3,-5){$C$}%point ajouter
\endpspicture
\end{center}

\begin{enumerate}
    \item Donner les coordonnées de chacun des points de cette figure dans le repère $(A;\vect{AB},\vect{AC})$.
    \item Donner les coordonnées de chacun des points de cette figure dans le repère $(N;\vect{NM},\vect{NF})$.
    \item Donner les coordonnées de chacun des points de cette figure dans le repère $(Q;\vect{QP},\vect{QB})$.
\end{enumerate}



\exot{}

Soit $ABC$ un triangle quelconque non aplati. $M$ et $N$ sont les points définis par :
$$\vect{AM}=\cfrac35\vect{AB} \qquad \textrm{et} \qquad \vect{AN}=\cfrac25\vect{AB}+\cfrac15\vect{AC}$$
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
			\item Justifier que $(A;\vect{AB};\vect{AC})$ est un repère du plan.
			\item Donner les coordonnées de $A$, $B$, $C$, $M$ et $N$ dans ce repère. Justifier.
			\end{enumerate}
\item Démontrer  que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
		
\item \begin{enumerate}
			\item Déterminer les coordonnées du point $P$ tel que $MNPB$ soit un parallélogramme.	
			\item Démontrer que $P$ appartient à la droite $(BC)$.
			\end{enumerate}
\end{enumerate}




\exot{}

Déterminez dans chaque cas l'équation réduite de la droite $(AB)$~:

\begin{enumerate}
\item $A(2;-1)$ et $B(3;-4)$~;
\item $A(-\sqrt{5},1)$ et $B(\pi,1)$~;
\item             $A\left(\frac{7}{4};-\frac{1}{3}\right)$            et
  $B\left(\frac{5}{6};\frac{7}{12}\right)$.
\end{enumerate}


\exot{}

Tracez les droites suivantes dans un même repère~:


 \[
(D_1)~:~y=3x-7 \qquad (D_2)~:~y=\frac{2x+5}{3}
\]

\[
(D_3)~:~y=-\frac{7}{4}x+3 \qquad (D_4)~:~x=-2
\]



\exot{}

Soit $\DR$ la  droite d'équation $y=\frac{7}{2}x-\frac{1}{4}$. Indiquer,
en  justifiant l aréponse,  si les  points suivants  sont sur  la droite
$\DR$~:

\[
A\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)\quad
B\left(\frac{1}{7};\frac{1}{4}\right)\quad C(4;14)\quad D\left(-\frac{1}{2};-2\right)
\]






















\end{multicols}

\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
