\chapterimage{lapins}

\chapter{LA FONCTION EXPONENTIELLE}



\section{ET L'HOMME CR\'EA L'EXPONENTIELLE...}

\subsection{Une équation différentielle}

On considère un circuit électrique comprenant une résistance $r$
et une bobine d'inductance $L$. Soit $u(t)$ la tension aux bornes
de la bobine et soit $i(t)$ le courant qui la parcourt. Vous avez
vu ou vous allez bientôt voir en cours d'électricité que tout ce
beau monde est lié par la relation $$u(t)=L\fr{{\rm d}i(t)}{{\rm
d}t}+r\,i(t)$$ qui peut vous sembler un peu obscure en ce début de
mois d'octobre.

Tentons malgré tout une expérience, comme dans tout bon tépéheu.
On suppose qu'au temps $t=0$, on coupe la tension.
Expérimentalement, on peut vérifier à l'aide d'un ampèremètre que
$$\Delta i(t)\simeq-\fr{r}{L}\,i(t)\,\Delta t$$
en considérant des intervalles de temps $\Delta t$ assez petits.

Cela s'écrit encore

$$\fr{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}=-\fr{r}{L}\,i(t)$$
On reconnaît dans le membre de gauche le taux d'accroissement de
la fonction $i$ entre les temps $t$ et $t+\Delta t$. En supposant
que la fonction $i$ est dérivable sur $\bbr^+$, on obtient donc,
en faisant tendre $\Delta t$ vers 0

$$ i'(t)=-\fr{r}{L} \, i(t)$$

Vous apprendrez bientôt qu'il s'agit d'un cas particulier de la
première loi de Kirchhoff.

Il s'agit maintenant de déterminer $i(t)$ pour tout $t\in\bbr^+$.

\bigskip


\textit{L'équation différentielle} $f'=k\,f$ se retrouve dans de
nombreux problèmes : désintégration des noyaux des atomes d'un
corps radioactif, datation au carbone 14, évolution d'une
population où la croissance est proportionnelle au nombre
d'habitants, etc. Le problème est de trouver une fonction la
satisfaisant.

Par exemple, certains phénomènes en mécanique conduisent à étudier
l'équation différentielle $f''=-f$. Nous connaissons au moins deux
fonctions la satisfaisant : cosinus et sinus.

Le problème avec $f'=kf$, c'est que nous ne connaissons aucune
fonction solution.



\subsection{Construction approchée du graphe d'une solution par la
méthode d'Euler}




Soit $f$ une fonction dérivable sur $\bbr$ vérifiant $f(0)=1$ et,
pour tout $x$, $f'(x)=f(x)$.

\begin{enumerate}

\item Soit $h$ un réel voisin de zéro. Montrez que, pour tout réel
$a$, l'approximation affine donnée par le calcul des dérivées
s'écrit
$$f(a+h)\simeq (1+h)\times f(a)$$
\item On prend $h=0,001$. On note $(a_n)$ la suite définie par
$a_0=0$ et $a_{n+1}=a_n+h$. Donnez une approximation de
$f(a_{n+1})$ en fonction de $f(a_n)$.

Déduisez-en que la suite des approximations de $f(a_n)$ est une
suite géométrique que vous caractériserez.

\item Faîtes de même avec $h=-0,001$.

% \item Imaginez alors, à l'aide d'un tableur, une construction
% point par point de la représentation graphique d'une approximation
% de $f$ sur l'intervalle $[-2,2]$.

\item Montrez que $f(1)\simeq \pa{1+\fr{1}{n}}^n$ et calculez la
valeur approchée correspondante de $f(1)$ pour $n=10\,000$.

\end{enumerate}


\sm


Utiliser un tableur n'est pas très constructif. Mieux vaut faire appel à un vrai logiciel
de mathématiques~!...

Voici un petit  programme XCAS qui construit la  courbe approchée par la
méthode d'Euler, c'est-à-dire que l'on va tracer la courbe correspondant
à la fonction vérifiant~: 

\begin{itemize}
\item $f'= f$ ;
\item $f(xo)=yo$ ;
\item $f$ est définie sur $[xo\pv xfinal]$ ;
\item On va faire des pas de h.
\end{itemize}


Sur XCAS,  les coordonnées d'un point  se notent entre  crochets et pour
tracer la ligne polygonale passant par des points dont on a la liste des
coordonnées, on utilise la commande \texttt{polygone\_ouvert([liste des coordonnées])}



\begin{lstlisting}
EulerExpo(xo,yo,xfinal,h):={
X:=xo;  // au depart X vaut a
Y:=yo;  // au depart Y vaut yo
ListePoints:=[[X,Y]] // il y a un point au depart dans notre liste

 tantque abs(X) < abs(xfinal) faire // pour tester meme si h est negatif
    X:=X+h; // on avance de h 
    Y:=(1+h)*Y; // f(X+h)=(1+h).f(X) 
    ListePoints:=append(ListePoints,[X,Y]); // on rajoute a notre liste [X,Y]
 ftantque // fin de la boucle

polygone_ouvert(ListePoints); // on relie les points de la liste "a la regle"
}:;
\end{lstlisting}


Par exemple, pour avoir le tracé  entre $-2$ et $2$ sachant que $f(0)=1$
et en prenant un pas de $0,01$ on entre~:

\begin{lstlisting}
EulerExpo(0,1,-2,-0.01),EulerExpo(0,1,2,0.01)
\end{lstlisting}


et on obtient~:

\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{Euler}
\end{center}

Analysez ce programme plus rapide à écrire~:

\begin{lstlisting}
Euler(x,y,xfinal,h,ListePoints):={
 si abs(x)>=abs(xfinal)
 alors polygone_ouvert(ListePoints)
 sinon Euler(x+h,(1+h)*y,xfinal,h,append(ListePoints,[x,y])) 
 fsi
}:;
\end{lstlisting}

que vous pouvez tester en tapant~:

\begin{lstlisting}
Euler(0,-2,1,-0.01,[]),Euler(0,2,1,0.01,[])
\end{lstlisting}




\subsection{Analyse~: étude des propriétés mathématiques d'une
solution}


Soit $f$ une fonction dérivable sur $\bbr$ vérifiant $f(0)=1$
et, pour tout $x$, $f'(x)=k\,f(x)$, avec $k\neq 0$.

\begin{enumerate}

\item Montrez que $f'(0)=k$.

\item Soit $y$ un réel fixé et $g$ la fonction définie par
$$g_y(x)=f(x+y)f(-x)$$

\begin{enumerate}

\item Montrez que $g_y$ est dérivable sur $\bbr$ et calculez
$g'_y(x)$.

\item Calculez $g_y(0)$ et déduisez-en que pour tous $x$ et $y$
réels,

$$f(x+y)\,f(-x)=f(y)\qquad \mg{(1)}$$

\end{enumerate}

\item Montrez alors successivement que:

\begin{enumerate}

\item pour tout réel $x$, $f(x)f(-x)=1$

\item $f$ ne s'annule pas sur $\bbr$

\item pour tous réels $x$ et $y$


$$f(x+y)=f(x)\,f(y)$$

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{mistake}
\end{center}

\subsection{Unicité de la fonction solution}

Peut-on trouver une autre  fonction, $\f$,  distincte de $f$,
et vérifiant les mêmes propriétés que $f$, à savoir~: $\f$  est
une fonction dérivable sur $\bbr$,  vérifiant $\f(0)=1$ et, pour
tout $x$, $\f'(x)=k\,\f(x)$, avec $k\neq 0$~?

\medskip

Comme $f$ ne s'annule pas sur $\bbr$, on peut définir la
fonction $\psi=\f/f$.

Vérifiez que $\psi$ est dérivable sur $\bbr$, calculez sa dérivée.
Que peut-on en déduire pour $\psi$~? Montrez alors que $f=\f$.


\subsection{Synthèse}

Nous avons cherché des solutions au problème

\begin{center}

$f$ une fonction dérivable sur $\bbr$ vérifiant $f(0)=1$ et,
pour tout $x$, $f'(x)=k\,f(x)$, avec $k\neq 0$.


\end{center}


Nous avons montré que, \textit{si une telle fonction existe} (ce
que nous prouverons dans un prochain chapitre), alors elle est
unique et elle  vérifie nécessairement la relation


$$f(x+y)=f(x)\,f(y) \qquad (2)$$

Il reste à vérifier que, réciproquement, une fonction dérivable,
non nulle, vérifiant la relation (2)  est nécessairement telle que
$f(0)=1$ et vérifie pour tout réel $x$ $f'(x)=kf(x)$, avec $k$ un
réel non nul.

\bigskip

Cette vérification n'est pas anodine et conclut notre raisonnement
d'\textit{analyse-synthèse}.
%Par exemple, on cherche un plombier
%pouvant se glisser dans les canalisations d'une maison pour la
%réparer.
%
%Analyse : nécessairement, cet homme devra mesurer 1 cm de haut,
%avoir des branchies pour respirer sous l'eau, être nyctalope.
%Synthèse :


\begin{enumerate}

\item Montrez que $f$ ne s'annule pas et que $f$ est à valeurs
strictement positives.

\item Montrez que, comme $f$ n'est pas la fonction nulle, alors
$f(0)=1$ en utilisant la relation (2).

\item Soit $a$ un réel fixé. On définit la fonction $\f~:~x\mapsto
f(x+a)$ et la fonction $\psi~:~x\mapsto f(x)\times f(a)$.

Montrez que $f'(x+a)=f(a)\times f'(x)$, puis que, pour tout réel
$a$, $f'(a)=k\,f(a)$, où $k$ est un réel que vous déterminerez.

\end{enumerate}




\subsection{Le bébé est prêt}

  \begin{theoreme}[existence et unicité de la fonction exponentielle]
     Il existe une unique fonction $f$,
dérivable sur $\bbr$, telle que $f'=f$ et $f(0)=1$. \\
On la nomme
\textbf{fonction exponentielle} et on la note \textbf{exp}.\\
L'exponentielle est à valeurs strictement positives et vérifie la
relation
\[\exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y)\]
    \end{theoreme}
  








\subsection{Conséquences immédiates}

Vous pouvez démontrer aisément que~:


  \begin{proprietes}[]

\begin{itemize}

\item $\exp(0)=1$

\item $\exp$ est dérivable sur $\bbr$ et $\exp'(x)=\exp(x)$

\item $\exp(u)=u'\cdot \exp(u)$

\item Pour tout réel $x$, $\exp(x)>0$

\item La fonction exp est strictement croissante sur $\bbr$



\item $\exp(-b)=\fr{1}{\exp(b)}$

\item $\exp(a-b)=\fr{\exp(a)}{\exp(b)}$

\item $\exp(ka)=\cro{\exp(a)}^k$, avec $k\in\bbz$

\item
$\exp\pa{\fr{a}{n}}=\sqrt[n]{\exp(a)}$=$\cro{\exp(a)}^{\frac{1}{n}}$,
avec $n\in\bbn^*$

\end{itemize}
\end{proprietes}
  
\subsection{La notation e\up{x}}

On pose $\mg{e=\exp(1)}$. Nous avons obtenu grâce à la méthode
d'Euler une approximation de $e$, car $e=\lin\pa{1+\fr{1}{n}}^n$

\[e\simeq 2,7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821...\]%78525166427$$

Nous avons obtenu précédemment que pour tout entier $k$,
\[\exp(k)=\exp(k\times 1)=\pa{\exp(1)}^k=e^k\]


  \begin{propriete}[notation]
    Nous noterons  alors, \textbf{par convention}, que

$$\exp(x)=e^x$$


    \end{propriete}
  


Vous vérifierez que les propriétés vues précédemment sont
conformes à l'usage de la notation puissance.

\subsection{Propriétés analytiques de l'exponentielle}

\begin{itemize}

\item Prouvez que 

    \begin{propriete}
      $\Lim{+\infty}e^x=+\infty$
      \end{propriete}
    

 en étudiant la
fonction $\f~:~x\mapsto e^x-x$

\item Déduisez-en que 

  \begin{propriete}
    $\Lim{-\infty}e^x=0$
  \end{propriete}


\item Comparez $e^{x/2}$ et $x/2$. Déduisez-en que


  \begin{propriete}
    $\Lim{+\infty}\fr{e^x}{x}=+\infty$
  \end{propriete}

\end{itemize}

\vfill

.

\pagebreak




\modeexercice % entre en mode exercice
\section{EXERCICES}


\begin{listeexercices}




\subsection{Connaissez-vous votre cours ?}

Voici des exemples d'exercices s'appuyant sur une bonne connaissance du cours et qui deviennent très à la mode au Bac.



\begin{exercice}

 On sait qu'une fonction $f$ est dérivable sur $\bbr$, qu'il existe $x_0\in\bbr$ tel que $f(x_0)\neq 0$ et que pour tous réels $x$
et $y$, $f(x+y)=f(x)f(y)$.
 \begin{enumerate}
\item Montrez que $f$ est à valeurs positives.
\item Montrez que $f(0)=1$.
\item Soit $a$ un réel fixé. Montrez que, pour tout réel $x$, $f'(x+a)=f(a)f'(x)$.
\item On suppose que $f'(0)>0$
\begin{enumerate}
\item Quel est le sens de variation de $f$~?
\item Déterminez $\Lim{+\infty}f(x)$.\end{enumerate}
\item Une fonction strictement croissante et à valeurs strictement positives diverge-t-elle forcément vers $+\infty$~?\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}
 Prérequis : la fonction exponentielle, notée exp, a les trois propriétés suivantes :

\begin{enumerate} \item exp est une fonction dérivable sur $\bbr$ ;

\item sa fonction dérivée, notée exp$'$, est telle que, pour tout nombre
réel $x$, exp$'(x)$ =  exp($x$) ;

\item exp($0$) = $1$.

\end{enumerate}

En n'utilisant que ces trois propriétés de la fonction exp, démontrer successivement que

\begin{itemize} \item Pour tout nombre réel $x,~ \text{exp}(x) \times
\text{exp}(- x) = 1$ ;

\item pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel $b,~ \text{exp}(a +
b) =  \text{exp}(a) \times \text{exp}(b)$.

\end{itemize}
\end{exercice}



\begin{exercice}

 La fonction $f$ est définie sur $\bbr$ par $\begin{cases} f(x)=\exp\pa{\fr{x-1}{x^2}}\quad\text{si } x\neq 0\\ f(x)=a
\quad\text{si } x=0\end{cases}$

\begin{enumerate}
\item Rappelez la définition d'une fonction continue en zéro.
\item Existe-t-il une valeur de $a$ telle que $f$ soit continue en zéro~?
\item Sachant que $\Lim{+\infty}\fr{e^x}{x}=+\infty$, montrez que $\Lim{-\infty}xe^x=0$.
\item Rappelez la définition d'une fonction dérivable en zéro.
\item La fonction $f$ est-elle dérivable en zéro~?
\item Calculez $f'(x)$ pour tout $x\in\bbr^*$. La fonction $f'$ est-elle continue en zéro~?
\item Déterminez une fonction définie sur $\bbr$ de la forme $\begin{cases} f(x)=u(x)\exp\pa{v(x)}\quad\text{si } x\neq 0\\ f(x)=a
\quad\text{si } x=0\end{cases}$ telle que $f$ soit continue en zéro mais pas dérivable en zéro. Vous expliquerez au maximum les raisons
qui vous ont conduit à chercher $u(x)$ et $v(x)$ sous une forme plutôt qu'une autre. toout raisonnement sera évalué même s'il n'aboutit
pas à une solution explicite.\end{enumerate}



\end{exercice}



\begin{exercice}




Le plan est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal.

\noindent Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\bbr$ par :

\[f(x) = \cfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - 2,1\text{e}^{x} + 1,1x + 1,6\]

\begin{enumerate} \item Faites apparaître sur l'\'ecran de votre calculatrice graphique la courbe
 repr\'esentative de cette fonction dans la fenêtre \[- 5 \leqslant x \leqslant
 4,~ -4 \leqslant y \leqslant 4\]

\noindent Reproduire l'allure de la courbe obtenue sur votre copie.

\item D'apr\`es cette repr\'esentation graphique, que
pourrait-on conjecturer :

\begin{enumerate} \item Sur les variations de la fonction $f$ ?

\item Sur le nombre de solutions de l'\'equation $f (x) = 0$ ?

\end{enumerate}

\item On se propose maintenant d'\'etudier la fonction $f$.

\begin{enumerate} \item R\'esoudre dans $\bbr$ l'in\'equation \[\text{e}^{2x}-
2,1\text{e}^{x} + 1,1 \geqslant 0\] (on pourra poser $X = \text{e}^{x}$).

\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.

\item D\'eduire de cette \'etude le nombre de  solutions de
l'\'equation $f(x) = 0$.

\end{enumerate}

\item On veut repr\'esenter, sur l'\'ecran d'une calculatrice, la courbe
repr\'esentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-0,05~;~ 0,15]$, de façon à visualiser les r\'esultats de la question \textbf{3.}

\noindent Quelles valeurs extrêmes de l'ordonn\'ee $y$ peut-on choisir pour la fenêtre de
 la calculatrice ?

\end{enumerate}
\end{exercice}


\subsection{Exercices d'application}





\begin{exercice}



Reconnaître parmi les figures ci-dessous les courbes représentatives des fonctions suivantes~:
\begin{itemize}
\item $x\mapsto \E^{-x}$
\item $x\mapsto \E^{x}$
\item $x\mapsto \E^{x+1}$
\item $x\mapsto \E^{x}+1$
\item $x\mapsto -\E^{x}$
\item $x\mapsto -\E^{x-1}$
\end{itemize}


\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{analyse20078.14}
\end{center}

\end{exercice}



\begin{exercice}




Développez et réduisez au maximum les expressions suivantes~:

\begin{multicols}{2}
\item $\E^{x}\E^{-x}$
\item $\E^{x}\E^{-x+1}$
\item $\E\E^{-x}$
\item $\left(\E^{-x}\right)^2$
\item $\dfrac{\E^{2x}}{\E^{2-x}}$
\item $\dfrac{\left(\E^x\right)^3}{\E^{2x}}$
\item $\E^x \left(\E^x+\E^{-x}\right)$
\item $\left(\E^x\right)^5 \left(\E^{-2x}\right)^2$
\item $\E^{-3x+1}\left(\E^x\right)^3$
\item $\sqrt{\E^{-2x}}$
\item $\dfrac{\E^{-4x}\E}{\left(\E^{-x}\right)^2}$
\item $\left(\E^x+\E^{-x}\right)^2-\left(\E^x-\E^{-x}\right)^2$
\item $\left(\E^x-\E^{-x}\right)^2-\E^{-x}\left(\E^{3x}-\E^{-x}\right)$
\item $\left(\E^x-\E^{-x}\right)\left(\E^{2x}+\E^x+1\right)$
\end{multicols}



\end{exercice}



\begin{exercice}



Calculez  et factorisez  les  dérivées  et les  limites  aux bornes  des
ensembles de définitions des fonctions définies 
par les expressions suivantes~:

\begin{multicols}{2}

\item $f_1(x)=\E^x+x^2+1$
\item $f_2(x)=5\E^x+5x\E^x$
\item $f_3(x)=\E^x\sin(x)$
\item $f_4(x)=\dfrac{\E^x+1}{\E^x-1}$
\item $f_5(x)=\dfrac{3x+1-\E^x}{\E^{x}}$
\item $f_6(x)=x^3\E^{-x}$
\item $f_7(x)=\dfrac{x^2\E^{x}}{x+1}$
\item $f_8(x)=\dfrac{\E^{x}}{x}$
\item $f_9(x)=\dfrac{1}{\E^x}$
\item $f_{10}(x)=\left(\E^x\right)^2+\dfrac{1}{\E^x}$
\item $f_{11}(x)=\E^{-x}$
\item $f_{12}(x)=\E^{4x+1}$
\item $f_{13}(x)=\E^{\cos(x)}$
\item $f_{14}(x)=\E^{5x^3+7x+4}$
\item $f_{15}(x)=(x+1)\E^{-x+1}$
\item $f_{16}(x)=\dfrac{\E^{2x}-1}{x}$
\end{multicols}

\end{exercice}



\begin{exercice}




\begin{enumerate}
\item Résolvez l'équation différentielle $y'=-2y$.
\item Dans le repère ci-dessous sont représentées les courbes de quelques solutions de l'équation
  différentielle précédente. Déterminez pour chacune des courbes la valeur de la constante~:

\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{analyse20078.15}
\end{center}


\item Pour chaque couple de coordonnées, déterminez la solution de l'équation différentielle passant
  par ce point~: (0,1); (0,0); (0,2); (2,-1); ($\sqrt{2}$,-1)


\end{enumerate}

\end{exercice}



\subsection{Des exercices de Bac}





\begin{exercice}



\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\bbr$ par :
\[ f(x) = \left(2x^3  - 4x^2\right) \text{e}^{-x}.\]
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
\item  Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = 2x\left(- x^2 + 5x - 4\right)\text{e}^{-x}$.
\item  Dresser le tableau de variations de $f$.
\item  Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) repr\'esentative de $f$ dans un rep\`ere orthonormal \oij (unit\'e graphique : 1 cm).
\end{enumerate}
% \item  Pour $n \in \N^{*}$, on pose
% \[ I_{n} =  \displaystyle\int_{0}^1 x^n\text{e}^{-x}\,\text{d}x.\]
% \begin{enumerate}
% \item  \`A l'aide d'une int\'egration par parties, calculer $I_{1}$.
% \item  On admet que, pour tout $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a 2,~ $I_{n} = n I_{n-1} - \dfrac{1}{\text{e}}$.\\
% D\'eterminer $I_{2}$ et $I_{3}$.
% \item  Soit $\mathcal{A}$ l'aire, exprim\'ee en cm$^2$, du domaine d\'elimit\'e par l'axe des abscisses, la courbe ($\mathcal{C}$) et les droites d'\'equation $x =  0$ et $x = 1$. Calculer $\mathcal{A}$.
% \end{enumerate}
\item  Soit $u$ une fonction d\'efinie et d\'erivable sur $\bbr$.\\
On d\'efinit la fonction $v$ sur $]0~;~ +\infty[$ par $v(x) = u\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
\begin{enumerate}
\item  On suppose que $u$ est croissante sur l'intervalle $[a~;~ b]$ (o\`u $0 < a < b$).\\
D\'eterminer le sens de variation de $v$ sur $\left[\dfrac{1}{b}~;~\dfrac{1}{a}\right]$.
\item  On d\'efinit maintenant la fonction $g$ par $g(x) = f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ sur $]0~ ;~ +\infty[$, o\`u $f$ est la fonction d\'efinie dans la question 1.\\
D\'eterminer les limites de $g$ en $0$ et en $+ \infty$,
\item  D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes le tableau de variations de la fonction $g$ sur
l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}





\end{exercice}



\begin{exercice}


Six affirmations, r\'eparties en deux th\`emes et num\'erot\'ees de 1. a \`a 2. c sont propos\'ees ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie, en regard du num\'ero de l'affirmation, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX.\\
Chaque r\'eponse convenable rapporte 0,4 point. Chaque r\'eponse erron\'ee enl\`eve 0,1 point. Il n'est pas tenu compte de l'absence de r\'eponse. Un \'eventuel total n\'egatif est ramen\'e \`a $0$.
\begin{enumerate} \item  Pour tout r\'eel $x,~\text{e}^x$  d\'esigne l'image de $x$ par la fonction exponentielle.

\medskip

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{| l | X|}\hline
Affirmation 1. a	& Pour tous les r\'eels $a$ et $b  :  \left(\text{e}^a\right)^b = \text{e}^{\left(a^b\right)}$.\\ \hline
Affirmation 1. b	 &\rule[-3mm]{0mm}{9mm} Pour tous les r\'eels $a$ et $b  : \text{e}^{a - b} = \dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^b}$.\\ \hline
Affirmation 1. c &La droite d'\'equation $y = x + 1$ est la tangente \`a la courbe repr\'esentative de la fonction exponentielle en son point d'abscisse 1.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Soit $f$ une fonction num\'erique d\'efinie sur un intervalle ouvert I et soit $a$ un \'el\'ement de I.

\medskip

\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{| l | X|}\hline
Affirmation 2. a &	Si $f$ est d\'erivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.\\ \hline
Affirmation 2. b &	Si $f$ est continue en $a$, alors $f$ est d\'erivable en $a$.\\ \hline
Affirmation 2. c	& Si $f$ est d\'erivable en $a$, alors la fonction \\
&$h \mapsto \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$ admet une limite finie en $0$.\\ \hline
\end{tabularx}

\end{enumerate}






\end{exercice}



\begin{exercice}


On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}.\]

\noindent On note ($\mathcal{C}$) sa courbe repr\'esentative dans le plan rapport\'e au rep\`ere orthogonal \oij, l'unit\'e graphique est 2 cm sur l'axe des abscisses et 5 cm sur l'axe des ordonn\'ees.

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Partie A}\\
Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x- x - 1$.

\begin{enumerate} \item \'Etudier les variations de la fonction $g$ sur 
$\R$. En d\'eduire le signe de $g$.

\item Justifier que pour tout $x,~ \left(\text{e}^x -x\right)$ est strictement positif.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Partie B}

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les limites de 
la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.

\item Interpr\'eter graphiquement les r\'esultats pr\'ec\'edents.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x),~ f'$ d\'esignant la fonction d\'eriv\'ee de $f$.

\item \'Etudier le sens de variations de $f$ puis dresser son tableau de variations.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item D\'eterminer une \'equation de la tangente (T)  \`a la courbe ($\mathcal{C}$)  au point d'abscisse $0$.

\item \`A l'aide de la \textbf{partie A}, \'etudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) 
par rapport \`a la droite (T).

\end{enumerate}

\item Tracer la droite (T), les asymptotes et la courbe ($\mathcal{C}$).

\end{enumerate}



\end{exercice}







\begin{exercice}
  
Soient $f$  et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par
\[ f(x) = x\text{e}^{-x}\quad  \text{et}\quad  g(x) = x^2\text{e}^{-x}.\] 
On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans le plan muni d'un repère  \Oij. 

\medskip
 
% La courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ dans un repère \Oij{} est donnée en annexe (à rendre avec la copie). 

\begin{enumerate}
\item  D'après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction $f$ et sa limite en $+\infty$ ? 
\item  Valider ces conjectures à l'aide d'une démonstration. 
\item  Tracer sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie) la courbe $\mathcal{C}_{g}$ représentative de la fonction $g$. 
\item  Quelle semble être la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ ?
 
Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration.
\end{enumerate}

\end{exercice}


% \begin{center}

% \psset{xunit=1.5cm,yunit=5cm}
% \begin{pspicture}(-1,-0.25)(6,1)
% \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-0.25)(6,1)
% \psaxes[linewidth=2pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
% \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
% \uput[dl](0,0){O} \uput[u](3,0.2){$\mathcal{C}_{f}$}
% \psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.4pt]{0}{6}{x 2.71828 x exp div}
% \end{pspicture}
% \end{center}











\begin{exercice}

  \textbf{A - Restitution organisée de connaissances}
 
 \medskip
 
On suppose connu le résultat suivant : 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty$.
Démontrer que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0.$

\medskip

 \textbf{B - Étude d'une fonction}
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$ f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}$.
On note $(\mathcal{C})$  sa représentation graphique dans un repère orthonormé \Oij{} du plan. On prendra $4$~cm pour unité graphique.

\begin{enumerate}
\item \emph{Cette question demande le développement d'une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d'étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation.}

\medskip

Étudier les variations de la fonction $f$ et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible.
\item  Tracer la courbe $(\mathcal{C})$. On fera apparaître les résultats obtenus précédemment.
\end{enumerate}

\medskip

%\begin{minipage}{0.5\linewidth}
 \textbf{C - Étude d'une famille de fonctions}
 
Pour tout entier relatif $k$, on note $f_{k}$ la fonction définie sur $\R$ par : 
$f_{k}(x)  = (x +1)\text{e}^{kx}$.
On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormal du plan.

On remarque que le cas $k = -1$ a été traité dans la partie B, car on a $f_{-1} =f$ et $\mathcal{C}_{-1} = \mathcal{C}$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature de la fonction $f_{0}$ ?
		\item   Déterminer les points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$.
		
Vérifier que, pour tout entier $k$, ces points appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_{k}$.
	\end{enumerate}
\item	Étudier, suivant les valeurs du réel $x$, le signe de l'expression : $(x + 1)\left(\text{e}^x - 1\right)$.

En déduire, pour $k$ entier relatif donné, les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_{k}$ et $\mathcal{C}_{k+1}$.
\item	Calculer $f_{k}'(x)$ pour tout réel $x$ et pour tout entier $k$ non nul.\\
	En déduire le sens de variation de la fonction $f_{k}$ suivant les valeurs de $k$. (On distinguera les cas : $k>0$ et $ k< 0$.)


\end{enumerate}
% \end{minipage}
% \begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}\vspace{-6.5cm}
% \hspace{6cm} \begin{flushright}
% \psset{unit=1.2cm}
% \begin{pspicture}(-3,-3)(4,4)
% \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-3)(4,3)
% \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
% \psplot[linecolor=blue]{-3}{0.6}{x 1 add 2.71828 x exp mul}
% \psplot[linecolor=grend{enumerate}]{-3}{0.28}{x 1 add 2.71828 3 x mul exp mul}
% \psplot[linecolor=red]{-1.6}{4}{x 1 add 2.71828 x exp div }
% \psplot[]{-1.25}{4}{x 1 add 2.71828 x 2 mul exp div}
% \uput[l](-1.4,-1.6){$\mathcal{E}$}\uput[u](3,0.2){$\mathcal{E}$}
% \uput[r](-1.2,-2){$\mathcal{F}$}\uput[u](2,0.1){$\mathcal{F}$}
% \uput[r](0.5,2.5){$\mathcal{H}$}\uput[d](-2,-0.15){$\mathcal{H}$}
% \uput[l](0.3,2.9){$\mathcal{K}$}\uput[u](-2,0){$\mathcal{K}$}
% \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
% \end{pspicture}
% \end{flushright} 
% \end{minipage}
% \begin{enumerate}
% \item[4]	Le graphique suivant représente quatre courbes $\mathcal{E},~ \mathcal{F},~ \mathcal{H},~$ et $\mathcal{K}$, correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre $k$, parmi les entiers $-1,~ -3,~ 1$ et $2$.\\
% Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.
% \end{enumerate}
\end{exercice}









\begin{exercice}
  
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par
$ f(x) =  \dfrac{x}{\text{e}^{x} - 1}$.

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organisée de connaissances :}

La fonction exponentielle est l'unique fonction $g$ dérivable sur $\R$ vérifiant 
$\left\{\begin{array}{l c l }
g'(x)&=& g(x)\\
g(0)& =& 1
\end{array}\right.$.

Démontrer que $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1$.

% Pour tout $h \neq 0$,
% $\dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = \dfrac{\text{e}^{h} - \text{e}^{0}}{h}$ 

% On reconnait le taux de variation de la fonction exponentielle entre 0 et h, comme cette fonction est dérivable en 0, par définition du nombre dérivé, on a :
% \[ \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1 \]

\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.

% Par inverse, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$

% Pour tout $x \neq 0$, $\dfrac{\text{e}^{x} - 1}{x} = \dfrac{\text{e}^{x}}{x} - \dfrac{1}{x} $

% Par comparaison $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x} = +\infty$, donc par somme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^{x} - 1}{x} = +\infty$

% Enfin, par inverse, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

\end{enumerate}

\end{exercice}










\begin{exercice}

  \noindent \textbf{Partie A : question de cours}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction r\'eelle d\'efinie sur $[a~;~+ \infty[$. Compl\'eter la phrase suivante :\\
\og On dit que $f$ admet une limite finie $\ell$ en $+ \infty$ si \ldots \fg
\item D\'emontrer le th\'eor\`eme \og des gendarmes \fg{}: soient $f,~g$ et $h$ trois fonctions d\'efinies sur $[a~;~+ \infty[$ et $\ell$ un nombre r\'eel. Si $g$ et $h$ ont pour limite commune $\ell$ quand $x$ tend vers $+ \infty$, et si pour tout $x$ assez grand $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$, alors la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ est \'egale \`a $\ell$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}\\
Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par 
\[f(x) = \text{e}^x - x - 1\]
et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere orthonormal du plan. La droite $(D)$ d'\'equation $y = - x - 1$ est asymptote \`a $(\mathcal{C})$. % On a repr\'esent\'e sur la feuille annexe la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(D)$.
\begin{enumerate}
\item Soit  $a$ un  nombre r\'eel.  \' Ecrire, en  fonction de  $a$, une
      \'equation de la
 tangente $(T)$ \`a $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $a$.
\item Cette tangente $(T)$ coupe la droite $(D)$ au point $N$ d'abscisse
      $b$. 
V\'erifier que $b - a = - 1$.
\item  En  d\'eduire une  construction de la 
tangente $(T)$ \`a $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $1,5$. On fera appara\^{\i}tre le point $N$ correspondant.
\end{enumerate}

% \begin{center}
  
% %\parpic[r]{
% \psset{unit=1.3cm}
% \begin{pspicture}(-4,-2)(3,3)
% \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-4,-2)(3,3)
% \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-2)(3,3)
% \psplot{-4}{1.73}{2.71828 x exp x sub 1 sub}
% \psline(-4,3)(1,-2) \uput[dr](0,0){O}
% \uput[dr](1.1,1){$(\mathcal{C})$} \uput[r](0.5,-1.5){$(D)$}
% \end{pspicture}
% %}
% \end{center}

%\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\noindent \textbf{Partie C}

\begin{enumerate}
\item D\'eterminer graphiquement le signe de $f$.
\item En d\'eduire pour tout entier naturel non nul $n$ les in\'egalit\'es suivantes :
\[(1) \quad \text{e}^{\frac{1}{n}} \geqslant 1 + \dfrac{1}{n}\qquad (2) \quad 
\text{e}^{\frac{-1}{n+1}} \geqslant 1 - \dfrac{1}{n+1}\]
\item En utilisant l'in\'egalit\'e (1), d\'emontrer que pour tout entier naturel non nul $n$
\[\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \leqslant \text{e}\]
\item En utilisant l'in\'egalit\'e (2), d\'emontrer que pour tout entier naturel non nul $n$
\[\text{e} \leqslant \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n + 1}\]
\item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes un encadrement de 
$ \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n$ 
puis sa limite en $+ \infty$.
\end{enumerate}
%\end{minipage}

% \begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
% \vspace{-8cm}
% \hspace{4cm} 
% \begin{flushright}

% \end{flushright}
% \end{minipage}
\end{exercice}




\begin{exercice}
  
Soit $n$ un entier naturel.

On note $f_{n}$, la fonction d\'efinie sur l'ensemble $\R$ des nombres r\'eels par :
\[f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}.\]
On note  $\mathcal{C}_{n}$ la courbe  représentative de $f_{n}$  dans un
repère orthogonal \Oij.

 % Les courbes $\mathcal{C}_{0},~\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$ sont représentées ci-dessous : 

% \begin{center}

% \psset{unit=6.5cm}
% \begin{pspicture}(-0.6,-0.1)(1.5,1.1333)
% \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.6,-0.1)(1.5,1.01333)
% \multido{\d=-0.5+0.0625}{33}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](\d,-0.1)(\d,1)}
% \multido{\d=-0.1+0.08333}{14}{\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-0.5,\d)(1.5,\d)}
% \uput[d](1.5,0){$x$} \uput[l](0,1.01){$y$}  \uput[r](0,1){1}
% \uput[d](-0.5,0.4){$\mathcal{C}_{0}$}\uput[d](-0.5,0.65){$\mathcal{C}_{1}$}
% \uput[d](-0.4,0.9){$\mathcal{C}_{2}$}\uput[d](-0.3,1){$\mathcal{C}_{3}$}
% \psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{-0.5}{1.5}{1 1 2.71828 x neg exp add div}
% \psplot[plotpoints=5000,linecolor=grend{enumerate}]{-0.5}{1.5}{2.71828 x neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
% \psplot[plotpoints=5000,linestyle=dashed]{-0.4}{1.5}{2.71828 x 2 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
% \psplot[plotpoints=5000,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt]{-0.25}{1.5}{2.71828 x 3 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
% \end{pspicture}
% \end{center}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ les courbes $\mathcal{C}_{n}$ ont un point A en commun. On préciser ses coordonnées. 
\item Étude de la fonction $f_{0}$
 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de $f_{0}$. 
	\item Préciser les limites de la fonction $f_{0}$ en $- \infty$ et $+ \infty$. Interpréter graphiquement ces limites.
	\item   Dresser le tableau de variation de fonction $f_{0}$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
	
\item Étude de la fonction $f_{1}$
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f_{0}(x) =  f_{1}(-x)$ pour tout nombre réel $x$. 
	\item En déduire les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et $+ \infty$, ainsi que son sens de variation. 
	\item Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$.
	\end{enumerate}
	
\item  Étude de la fonction $f_{n}$ pour $n \geqslant  2$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ et pour tout nombre réel $x$, on a : 
		\[f_{n}(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}}.\]

	\item  Étudier les limites de la fonction $f_{n}$ en $- \infty$ et en $+ \infty.$ 
	\item  Calculer la dérivée $f_{n}'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f_{n}$ sur $\R$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}




% \begin{exercice}
% \textbf{PARTIE A}\\

% Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par $f(x) =\mathrm{e}^{x}$ .\\
% On appelle $\mathscr{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.
% \begin{enumerate}
% \item  Soit $a$ un nombre réel. Démontrer que la tangente à la courbe $\mathscr{C}_{f}$ au point $M$ d'abscisse $a$ coupe l'axe des abscisses au point $P$ d' abscisse $a -1$.

% \item  Soit $N$ le projeté orthogonal du point $M$ sur l'axe des abscisses. Démontrer que $\overrightarrow{NP} = -\overrightarrow{i}$
% \end{enumerate}

% \textbf{PARTIE B}\\

% Soit $g$ une fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels telle que $g'(x)\neq 0$ pour tout nombre réel $x$.\\
% On appelle $\mathscr{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ .\\
% Soit $a$ un nombre réel. On considère le point $M$ de la courbe $\mathscr{C}_{g}$ d'abscisse $a$ et le point $N$ projeté orthogonal du point $M$ sur l'axe des abscisses.\\
% Soit $P$ le point d'intersection de la tangente $T_{a}$ à la courbe $\mathscr{C}_{g}$ au point $M$ avec l'axe des abscisses.\\
% Le graphique ci-dessous illustre la situation de la partie B.

% %Courbe
% \begin{center}
% \psset{xunit=3.0cm,yunit=2.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
% \begin{pspicture*}(-1.5,-0.5)(3,2.6)
% \psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-0.5)(3,2.5)
% \uput[dl](0,0){$O$}
% \psline{->}(0,0)(1,0)
% \psline{->}(0,0)(0,1)
% \uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
% \uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
% \psplot[plotpoints=200]{-1.0}{3.0}{2*2.718281828^(-(x+1))}
% \psplot{-1}{3}{(--0.49-0.23*x)/1}
% \psline[linestyle=dashed](1.18,0.23)(1.18,0)
% \rput[bl](-0.96,1.93){$\mathscr{C}_{g}$}
% \psdots(1.18,0.23)
% \rput[bl](1.19,0.25){$M$}
% \psdots(1.18,0)
% \rput[bl](1.19,0.03){$N$}
% \psdots(2.18,0)
% \rput[bl](2.19,0.03){$P$}
% \uput[d](3,0){$x$}
% \uput[l](0,2.5){$y$}
% \end{pspicture*}

% \end{center}


% \begin{enumerate}
% \item Démontrer que le point P a pour coordonnées $\left(a-\dfrac{g(a)}{g'(a)}\right)$.

% \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
% Existe-t-il une fonction $g$ vérifiant $g(0) = 2$ et $\overrightarrow{NP} =\overrightarrow{i}$ ? 
% \end{enumerate}

% \end{exercice}


\begin{exercice}
  

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organis\'ee de connaissances.}\\
L'objet de cette question est de d\'emontrer que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$.\\
On supposera connus les r\'esultats suivants :
\begin{itemize}
\item  la fonction exponentielle est d\'erivable sur $\mathbb{R}$ et est \'egale \`a sa fonction d\'eriv\'ee ;

\item $\mathrm{e}^{0} = 1$ ;

\item  pour tout r\'eel $x$, on a $\mathrm{e}^x > x$.

\item Soient deux fonctions $\varphi$ et $\psi$ d\'efinies sur l'intervalle $[A~;~+\infty[$ o\`u $A$ est un r\'eel positif.\\
Si pour tout x de $[A~;~+\infty[$,  $\psi(x)\leqslant \varphi(x)$ et si $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\psi(x)=+\infty$, alors $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\varphi(x)=+\infty$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item On consid\`ere la fonction $g$ d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) =\mathrm{e}^x-\dfrac{x^2}{2}$.\\
Montrer que pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$, $g(x)\geqslant 0$.


\item En d\'eduire que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}=+\infty$
\end{enumerate}

\item On appelle $f$ la fonction d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) =\dfrac{1}{4}x\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}$.\\
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe repr\'esentative dans un rep\`ere orthogonal \Oij.\\
La courbe $\mathcal{C}$ est repr\'esent\'ee en annexe.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est positive sur $[0~;~+\infty[$.

\item D\'eterminer la limite de $f$ en $+\infty$. En d\'eduire une cons\'equence graphique pour $\mathcal{C}$.

\item \'Etudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variations sur $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\item On consid\`ere la fonction $F$ d\'efinie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(x)==1-\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}-\dfrac{x}{2}\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} $.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $F$ est une fonction strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.


\item Calculer la limite de $F$ en $+\infty$ et dresser le tableau de variations de $F$ sur $[0~;~+\infty[$.


\item Justifier l'existence d'un unique r\'eel positif $\alpha$ tel que $F(\alpha) = 0,5$.\\
\`A l'aide de la calculatrice, d\'eterminer une valeur approch\'ee de $\alpha$ \`a 10$^{-2}$ pr\`es par exc\`es.
\end{enumerate}


% \item Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $A_{n}$ l'aire, en unit\'es d'aire, de la partie du plan situ\'ee entre l'axe des abscisses, la courbe de $f$ et les droites d'\'equations $x = 0$ et $x =n$.\\
% D\'eterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $A_{n}\geqslant  0,5$.
\end{enumerate}

\begin{center}

\begin{pro-courbefn}{10}
 [0.25*x*exp(-0.5*x),"bleu",[0,8,"ff"]],  // expression,couleur,optionnel(intervalle, bornes)
 -1,9,-0.2,0.5,       //xmin,xmax,ymin,ymax,
 1.3,0.25,1,1,1,.1,      //ux,uy,cx,cy,gx,gy,
 [                 // ----------------- debut des options
 ["base"], // pour avoir les vecteurs de base
 ["texte-courbe",6,"$({@cal C})$","top","bleu"],
 ]               // ----------------- fin des options
\end{pro-courbefn}

\end{center}


\end{exercice}


\begin{exercice}
  

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $2y' + y = 0 \quad (\text{E})$,
 dont l'inconnue est une fonction définie et dérivable sur $\R$.

\item On considère l'équation différentielle~:  

\[2y' + y = \text{e}^{- \frac{x}{2}}(x + 1) \quad     (\text{E}')\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer deux réels $m$ et $p$ tels que la fonction $f$ définie sur $\R$ par~:
		
\[f(x) = \text{e}^{- \frac{x}{2}}\left(mx^2 + px\right)~ \text{soit solution de (E}').\]
		\item  Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur $\R$.
		
Montrer que $g$ est solution de l'équation (E$'$) si et seulement si $g - f$ est solution de l'équation (E).

Résoudre l'équation (E$'$).
	\end{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $h$ définie sur $\R$ par~: $h(x) = \dfrac{1}{4}\text{e}^{- \frac{x}{2}}\left(x^2 + 2x\right)$.

\item Déterminer les limites en $- \infty$ et en $+ \infty$  de la fonction $h$.

\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on note $\mathcal{C}$  la courbe représentative de $h$ et $\Gamma$ celle de la fonction~: $x \longmapsto \text{e}^{- \frac{x}{2}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et $\Gamma$.
		\item Tracer ces deux courbes sur un même graphique.
	\end{enumerate}   
\end{enumerate}

\end{exercice}












\begin{exercice}

\textbf{Partie 1}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = \text{e}^x - x\text{e}^x + 1$. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. 
\item Étudier les variations de la fonction $g$. 
\item Donner le tableau de variations de $g$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet sur $[0~;~+\infty[$ une unique solution. On note $\alpha$ cette solution. 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. 
		\item Démontrer que $\text{e}^{\alpha} = \dfrac{1}{\alpha - 1}$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2}

\medskip
 
Soit $A$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ telle que $A(x) = \dfrac{4x}{\text{e}^x + 1}$. 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout réel $x$ positif ou nul, $A'(x)$ a le même signe que $g(x)$, où $g$ est la fonction définie dans la partie 1. 
\item En déduire les variations de la fonction $A$ sur $[0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 3}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{4}{\text{e}^x + 1}$.

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij.

La figure est donnée en annexe.
 
Pour tout réel $x$ positif ou nul, on note : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] $M$ le point de $(\mathcal{C})$ de coordonnées $(x~;~f(x))$,
\item[ ] $P$ le point de coordonnées $(x~;~0)$,
\item[ ] $Q$ le point de coordonnées $(0~;~f(x))$.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'aire du rectangle O$PMQ$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse $\alpha$. 

On rappelle que le réel $\alpha$ a été défini dans la partie 1. 
\item Le point $M$ a pour abscisse $\alpha$.
 
La tangente (T) en $M$ à la courbe $(\mathcal{C})$ est-elle parallèle à la droite $(PQ)$ ?
 
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 
\end{enumerate}




\begin{center}

\begin{pro-courbefn}{11}
 [4/(1+exp(x)),"bleu",[0,4,"oo"]],  // expression,couleur,optionnel(intervalle, bornes)
 -1,4,-1,3,       //xmin,xmax,ymin,ymax,
 0.7,0.7,1,1,10,10,      //ux,uy,cx,cy,gx,gy,
 [                 // ----------------- debut des options
 ["base"], // pour avoir les vecteurs de base
 ["texte-courbe",3,"$({@cal C})$","top","bleu"],
 ["grille","millimetre"]  // pour la grille millimétrée  
 ]               // ----------------- fin des options
\end{pro-courbefn}

\end{center}











\end{exercice}



















%\pagebreak



\subsection{Pour réfléchir}





\begin{exercice}




 Donnez un maximum d'informations sur les fonctions $f~:~x\mapsto e^x\sin x$, $g~:~x\mapsto e^{(1/\cos x)}$ et $h~:~x\mapsto e^{-x}\cos x$.

\end{exercice}



\begin{exercice}

 La fonction $\f~:~x\mapsto \begin{cases}\exp\pa{\fr{x-1}{x^2}}\quad \text{si}\ x\neq 0\\ a \quad \text{si}\ x=0 \end{cases}$
est-elle dérivable sur $\bbr$~?

\end{exercice}



\begin{exercice}[Récurrence]

 On pose $g_n(t)=t^ne^{-t}$. On note $g_n^{(n)}$ la dérivée $n$-ième de $g_n$. Montrer que $t\mapsto e^tg_n^{(n)}(t)$ est une
fonction polynomiale de degré $n$. 

\end{exercice}





\begin{exercice}
\label{ch}



On appelle cosinus hyperbolique la fonction définie sur $\bbr$ par
$$\ch~:\ x\mapsto \ch(x)=\fr{e^x+e^{-x}}{2}$$
sinus hyperbolique la fonction définie sur $\bbr$ par
$$\sh~:\ x\mapsto \sh(x)=\fr{e^x-e^{-x}}{2}$$
et tangente hyperbolique la fonction définie par
$$\tanh~:\ x\mapsto\fr{\sh(x)}{\ch(x)}$$
\begin{enumerate}

\item Calculez $\tanh(x)$ en fonction de $e^x$ et $e^{-x}$, puis en fonction de $e^{2x}$, enfin en fonction de $e^{-2x}$.

\item Montrez que $\ch^2(x)-\sh^2(x)=1$.

\item Déterminez les dérivées de ces fonctions en fonction de ch
et sh.
\item \'Etudiez sh puis montrez que ch est à valeurs dans $[1,+\infty]$ et que th
est définie sur $\bbr$ et à valeurs dans $[-1,1]$.


\item Montrez que $\ch(x+y)=\ch(x)\ch(y)+\sh(x)\sh(y)$ et que
$\sh(x+y)=\sh(x)\ch(y)+\ch(x)\sh(y)$.
\item Déduisez-en que
$\tanh(x+y)=\fr{\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}$
\item On pose $t=\tanh(x/2)$. Montrez que $\ch(x)=\fr{1+t^2}{1-t^2}$
puis que $\sh(x)=\fr{2t}{1-t^2}$
\item Résolvez dans $\bbr$ l'équation $5\ch(x)-4\sh(x)=3$. Vous
donnerez une valeur approchée de la solution à $10^{-3}$ près.
\item Pour le plaisir : dérivez la fonction $x\mapsto
\fr{2\sin(x)\sh(x)}{(\sh(x)+\sin(x))^2}$
\item Soit $y\in\bbr$. Comparez $\sh(y)$ et $y$.
\item Montrez que $\sh(2x)=2\sh(x)\ch(x)$ puis étudiez la fonction
$f$ définie sur $]0,+\infty[$ par $$f(x)=\fr{\tanh(x)}{x}$$.

\end{enumerate}

\end{exercice}


%\section{À L'AVENTURE}




\subsection{L'exponentielle à travers les sciences}

%\author{À rendre le vendredi 15 novembre 2002}
%


%\begin{document}
% \setlength{\parindent}{0pt}
%\thispagestyle{empty}
%
%\maketitle
%
%\bigskip
%


\begin{exercice}

 Les molécules d'un gaz enfermé dans un récipient à la
température $T$ sont animées d'une vitesse de $v$ cm.s$^{-1}$. Cet
état d'équilibre est caractérisé par la fonction de distribution
de vitesse de \textsc{Maxwell-Boltzmann}
$$F(v)=cv^2\,e^{-mv^2/(2kT)}$$


\smallskip

où $T$ est la température (en K), $m$ la masse d'une molécule et
$c$ et $k$ des constantes positives.\\
Montrez que la valeur maximale de $F$ a lieu en $v=\sqrt{2kT/m}$.


% \bfi\centering
% \includegraphics[height=6cm]{physiciens}
% \efi


\end{exercice}




\begin{exercice}



\begin{center}
  \includegraphics[width=0.7\linewidth]{pink_elephant}
\end{center}




La fonction de croissance de \textsc{von Bertanlanffy} donne
approximativement la masse $W(t)$ (en kg) à l'âge $t$ (en années)
des éléphantes africaines. Son expression est
$$W(t)=2600\left(1-0,51 e^{-0,075\,t}\right)^3$$
\begin{enumerate}
\item \'Evaluez la masse et le taux de croissance d'un
nouveau-né (le taux de croissance à l'instant $t$ est évidemment
$W'(t)$).
\item Calculez et interprétez $\ds\lim_{t\to +\infty}W(t)$.
%\item Montrez que le taux de croissance le plus fort se situe
%entre 5 et 6 ans.
 \end{enumerate}



\end{exercice}


\begin{exercice}

 Un \textit{modèle de densité urbaine} est une formule qui lie
la densité de la population (en nombre de personnes par unité de
surface) à la distance $r$ (en unité de longueur) du centre ville.
La formule
$$D=a\,e^{-br+cr^2}$$
où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes positives ($a$ est la
densité au centre, $b$ le coefficient de décroissance), convient
pour certaines villes des \'Etats-Unis

Déterminez l'allure de la courbe représentative de ce modèle.

\end{exercice}




\begin{exercice}



\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{URHere}
\end{center}




En statistiques, la \textit{distribution normale} est définie par la fonction de densité de probabilité
$$f(x)=\fr{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\quad\text{où}\quad
z=\fr{x-\mu}{\sigma}$$ $\mu$ est la moyenne de cette distribution
et $\sigma^2$ la variance. L'étude de cette fonction est utilisée
dans des domaines qui vont de la mécanique quantique à la
répartition des notes du baccalauréat.
\'Etudiez cette fonction (sens de variation, limites) et tracez la
courbe représentative de $f$.

\end{exercice}



\begin{exercice}

 On considère un circuit électrique composé d'une force
électromotrice $U$, d'une résistance $R$ et d'une inductance $L$.
L'intensité du courant $I$ varie en fonction du temps $t$ selon la
formule
$$I=\fr{U}{R}\left(1-e^{-Rt/L}\right)$$
On considère que $R$ est la seule variable indépendante, $i.e.$
$U$, $L$ et $t$ sont considérés comme des constantes et $R$ comme
une variable. Calculez $\ds\limd[R]{0}I$.




\end{exercice}



\begin{exercice}



\begin{center}
  \includegraphics[width=0.5\linewidth]{clouseau}
\end{center}


La loi de Newton sur le refroidissement dit que la vitesse de refroidissement d'un objet est
proportionnelle à l'écart de température entre l'objet et le milieu ambiant.

L'inspecteur \textsc{Clouseau} arrive sur les lieux d'un meurtre à 9h00. Il commence par prendre la
température de la victime~:~30\degre C. Une heure plus tard, la température du corps est tombée à
29\degre C. Sachant que la température normale du corps d'une personne vivante en bonne santé est de
37\degre C, que la victime était syldave, qu'elle  aimait  les films de gladiateurs et se trouvait
dans une pièce maintenue à 0\degre C, estimez l'heure du décès de la victime et la couleur de ses yeux.


\end{exercice}



\begin{exercice}


\begin{center}
  \includegraphics[width=0.7\linewidth]{paysageSyldave}
\end{center}



Dans la forêt syldave, des détritus naturels (~feuilles, branches, animaux morts, cadavres
d'espions, etc.) tombent sur le sol et s'y décomposent. La quantité $Q(t)$ exprimée en $g\cdot m^{-2}$ de
détritus jonchant le sol varie avec le temps $t$. On suppose que de nouveaux détritus tombent au sol
à un taux constant de $200\,g\cdot m^{-2}$ par année et que les détritus accumulés au sol se décomposent
au taux de $50\%$ de la quantité de détritus jonchant le sol.
\begin{enumerate}
\item On note $f(t)=Q(t)-200$. Déterminez une équation différentielle vérifiée par $f$.
\item En déduire l'expression générale de $Q(t)$.
\item Exprimer $Q(t)$ sachant qu'au temps $t=0$, on comptait $50\,g\cdot~m^{-2}$
\end{enumerate}


\end{exercice}




%\pagebreak



 \emph{Dans les exercices  qui suivent on utilisera les notations
vues dans l'exercice 5.17 \vpageref{ch}}

\bigskip


\begin{exercice}




\begin{center}
  \includegraphics[width=0.8\linewidth]{gateway}
\end{center}



  Si  vous allez  vous promener  dans la  ville de  Saint-Louis  dans le
  Missouri aux
  États-Unis, vous  pourrez y admirer  la célèbre \emph{Gateway  Arch to
  the   West}   conçue  en   1947   par   l'architecte  finlandais   Ero
  \textsc{Saarinen}   et   l'ingénieur   Hannskarl  \textsc{Bandel}   et
  dont la construction s'acheva en 1965.  Cette
  arche a la forme d'une \emph{chaînette} pondérée
  d'équation  $$y=212-21\ch(0,033x)$$  où $x$  et  $y$  sont mesurés  en
  mètres  et  rend  hommage  aux  pionniers  partis  à  la  conquête  de
  l'Ouest.\\
Pouvez-vous déterminer  la hauteur de  l'arche et la distance  entre les
deux pieds~?

\end{exercice}



\begin{exercice}


\begin{center}
  \includegraphics[width=0.8\linewidth]{cable}
\end{center}




     L'équation   de   la
 hauteur $h$ par rapport au  sol d'un fil électrique suspendu entre deux
 poteaux       s'obtient       en       résolvant       l'\emph{équation
 différentielle} \[h''(x)=k \sqrt{1+\left(h'(x)\right)^2}\]
où $k$
 est un paramètre qui dépend de la densité et de la tension du fil et $x$
est mesuré en  mètres horizontalement à partir d'une  origine située sur
le sol en-dessous du point où la hauteur du fil est la plus faible.

\begin{enumerate}
\item  Vérifiez que  $h~:~x\mapsto  \frac{1}{k}\ch(kx)$ satisfait  cette
      équation différentielle.
\item Quelle  est la hauteur  minimale du fil  si le paramètre  $k$ vaut
      $0,05$~?
\item Quelle  est la  hauteur des poteaux  (de même hauteur)  s'ils sont
      distants de 30~m et que le paramètre $k$ vaut 0,05~?
\end{enumerate}
\end{exercice}








\end{listeexercices}


\modenormal












%
%
%\section{UN PROBLÈME DE BAC}{Un problème de Bac}
%
%
%On considère la fonction $f$ définie sur $\bbr$ par
%$f(x)=(2x+1)e^{-2x}$ et sa courbe représentative $(C)$ dans le
%repère orthonormal $(O,\ve{i},\ve{j})$.
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\textbf{Partie A - \'Etude de la fonction} \mg{$f$}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
%Que peut-on en déduire pour $(C)$~? \item Déterminer la limite de
%$f$ en $-\infty$. \end{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ et étudier le signe
%de $f'$ sur $\bbr$. \item Dresser le tableau de variation de $f$.
%\item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point $A$
%d'intersection de $(C)$ avec l'axe des abscisses. \item \'Etudier
%le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \end{enumerate}
%\medskip
%
%\begin{center}
%\textbf{Partie B - \'Etude d'une tangente}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate} \item On rappelle que  $f''$ désigne la dérivée seconde de
%$f$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x$,
%$f''(x)=4(2x-1)e^{-2x}$. \item Résoudre l'équation $f''(x)=0$.
%\end{enumerate} \item Soit $B$ le point d'abscisse 1/2 de la courbe $(C)$.
%Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ en $B$. \item
%On veut étudier la position relative de $(C)$ et $(T)$~: pour cela
%on considère la fonction $g$ définie sur $\bbr$ par
%$$g(x)=f(x)-\left(-\fr{2}{e}x+\fr{3}{e}\right)$$
%\begin{enumerate} \item Déterminer $g'(x)$ et $g''(x)$. \item \'Etudier le
%signe de $g''(x)$ suivant les valeurs $x$. En déduire le sens de
%variation de $g'$ sur $\bbr$. \item Calculer $g'(1/2)$ et en
%déduire le signe de $g'(x)$ puis le sens de variation de $g$ sur
%$\bbr$. \item Calculer $g(1/2)$ et déterminer alors le signe de
%$g(x)$ suivant les valeurs de $x$. Que peut-on en conclure sur la
%position relative de $(C)$ et $(T)$~? \end{enumerate}
% \end{enumerate} (Bac
%2001)
%
%
%
%
%\lstlistoflistings


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "PolyTs.tex"
%%% End: 


