
\chapterimage{gericault}


\chaptertext{C'est la notion de dérivée qui a lancé le calcul
différentiel   de  manière   intuitive  bien   avant   la  formalisation
rigoureuse de  limite. Nous allons donc suivre  l'évolution naturelle de
l'esprit humain...}

\chapter{À la conquête du calcul infinitésimal}

\section{Recherche du maximum et du minimum}

\ill{Pierre  de  \textsc{Fermat}  (1601?-1665),  conseiller  au  Parlement  de
Toulouse,   s'adonnait  pour   son  plaisir   aux  mathématiques   et  y
excellait. Il est célèbre aujourd'hui  auprès du grand public car un des
théorèmes qu'il a énoncé a était démontré trois siècles plus tard par un
mathématicien anglais, Andrew \textsc{Wiles}, en 1996.}{fermat}


Voici un  extrait des \OE  uvres de \textsc{Fermat}, traduites  par Paul
\textsc{Tannery} en 1896:

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{Fermax_1}
\end{center}
%\end{figure}



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{Fermax_2}
\end{center}
%\end{figure}




%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=0.8]{Fermat_91}
\end{center}
%\end{figure}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{Fermax_3}
\end{center}
%\end{figure}

\begin{recherche}
  Discuter du rôle joué par $e$ dans le premier problème lié à la figure
  91.  Qu'est-ce que représente
  l'\textit{adégalité} pour \textsc{Fermat}?

\end{recherche}

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{Fermax_3bis}
\end{center}
%\end{figure

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{Fermat_92}
\end{center}
%\end{figure}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{Fermax_4}
\end{center}
%\end{figure}


\begin{recherche}
Reprenons maintenant  le deuxième problème (celui des  \og tangentes des
lignes courbes\fg{}) en le reformulant de manière plus moderne.

Dans un repère  \oij[D], on considère la courbe  $\PR$ représentative de
la fonction 
$f:x\mapsto x^2$.

Soit  B  un  point de  $\PR$  d'abscisse  positive  et C  la  projection
orthogonale de B sur $\oj[D]$.



On appelle  $\Delta$ la tangente  en B à  $\PR$. Elle coupe  $\oj[D]$ en
E. On se propose de déterminer analytiquement $\Delta$ et, pour cela, de
   calculer la distance CE.

   \begin{enumerate}
   \item Faire une figure. La comparer  avec la figure 92 du texte. Soit
         O  un point  de [BE]  d'ordonnée  positive et  I la  projection
         orthogonale de O sur $\oj[D]$. La droite (OI) coupe P en $O'$.

Comme  CD  est  connu  (c'est  l'abscisse  de  B),  on  pose  $CD=d$  et
$DI=d-e$. On cherche $CE=a$. Pour trouver $a$, on fera varier $e$.

Que représente $e$ sur la figure? 

Si $O\in[BE]$ est tel que $B\in[OE]$,  quel doit être le signe de $e$ si
$DE=d-e$? Que représente alors $e$?

\item    Comparer   $\frac{CD}{DI}$    et    $\frac{BC^2}{OI^2}$,   puis
      $\frac{CD}{DI}$ et $\frac{CE^2}{IE^2}$.

\item Exprimer IE  en fonction de $a$ et $e$. Déduire  de ce qui précède
      une inégalité où interviennent $a$, $d$ et $e$.

\item Après  simplification, mettre  l'inégalité sous la  forme $\lambda
      e^2>\mu e$.  Donner une relation  entre $a$ et $d$  impliquant que
      l'inégalité est vraie pour tout $e$, quel que soit son signe.

\item Écrire une équation de $\Delta$ en fonction de $d$.

\item  Sur  une  autre  feuille,  dans  un  nouveau  repère  orthonormé,
      construisez une dizaine de  droites à l'aide de l'équation trouvée
      à  la  question  précédente,  en  prenant  diverses  valeurs  pour
      $d$. Qu'observe-t-on? 
   \end{enumerate}
\end{recherche}


\section{\textsc{Newton}, \textsc{Leibniz} et \textsc{Bernoulli}}

\ill{Isaac  \textsc{Newton}(1642-1727)   tente  de  régler   le  problème  de
l'adégalité  par le  théorème suivant,  paru dans  \textit{Les principes
mathématiques de la philosophie naturelle}:}{Isaac}

\begin{quote}
  {\itshape
LEMME PREMIER:

Les quantités et les raisons des quantités qui tendent continuellement à
devenir égales  pendant un temps fini, et  qui avant la fin  de ce temps
approchent tellement  de l'égalité, que leur différence  est plus petite
qu'aucune différence donnée, deviennent à la fin égales.
}


\medskip

Si on le nie, qu'on suppose qu'elles soient à la fin égales, et que leur
dernière différence  soit D, puisqu'elles ne peuvent  pas approcher plus
près de l'égalité  que de cette différence donnée  D, leur différence ne
sera donc pas plus petite que toute différence donnée, ce qui est contre
l'hypothèse.

\end{quote}


Cette idée  n'est pas  très rigoureuse mais  a été bien  suffisante pour
permettre à  \textsc{Newton}, \textsc{Leibniz}, Jean \textsc{Bernoulli},
le     Marquis    de    \textsc{L'Hospital},     \textsc{Mac    Laurin},
\textsc{d'Alembert},         \textsc{Lagrange},         \textsc{Cauchy},
de développer  le calcul  infinitésimal bien au-delà  de ce que  nous en
verrons cette année, avant que \textsc{Bolzano} et \textsc{Weierstra\ss}
ne perfectionnent la notion de limite deux siècles plus tard.


C'est  celle que  nous  adopterons provisoirement  avant d'étudier  plus
formellement les limites.


\begin{remarque}[Analyse non standard et hyperréels]
\ill{Il  est à noter  que dans  les années  1960, un  logicien américain
d'origine allemande (encore un!...), Abraham
\textsc{Robinson},  mit  au  point  l'\textit{analyse non  standard}  en
utilisant les \textit{nombres hyperréels}.  }{robinson}

\smallskip

Il s'agit  de  nos  réels
auxquels  on  adjoint   des  nombres  \textit{infinitésimaux}  qui  sont
strictement inférieurs en valeur absolue  à tout nombre réel non nul, et
les   nombres  \textit{infiniment   grands}  dont   les   inverses  sont
infinitésimaux.  Ceci  est fait de  manière très rigoureuse et  permet de
justifier  l'incroyable  intuition  de l'adégalité  que  \textsc{Fermat}
avait présenté trois siècles plus tôt.
\end{remarque}


En   1684,  \textsc{Leibniz}   présente  presque   en  même   temps  que
\textsc{Newton} (1671) et
que  le   Suisse  Jean   \textsc{Bernoulli}(1691),  un  travail   similaire  en
introduisant les notations d$x$ et  d$y$ qui seront adoptées plus tard en
1755 par
\textsc{Euler} puis par tous. 


Pour Jean  \textsc{Bernoulli}, \textbf{les infiniment petits  sont des quantités
qui  peuvent être  ajoutées à  des quantités  finies sans  changer leurs
valeurs. Les courbes sont des polygones à côtés infiniment courts.} Pour
celui qui  initia les grands mathématiciens  que furent ses  fils et ses
neveux,  le  Marquis   de  L'\textsc{Hospital}  et  \textsc{Euler},  les
explications trop  abondantes au sujet de  l'infiniment petit pourraient
troubler l'entendement de  ceux qui ne sont pas  accoutumés à de longues
explications!... 


Voyons  ce que  cela donne  pour les  tangentes à  la  courbe d'équation
$y=x^2$:



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{newlimfonc.22}
\end{center}
%\end{figure}


Si $x$ augmente de $\Delta x$, alors $y$ devient $y+\Delta y=(x+\Delta x)^2
=x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2$. Or $y=x^2$.

Pour des valeurs de $\Delta x$ non nulles, cela donne donc:

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}= 2x+\Delta x\]


C'est ici qu'on a besoin de la notion intuitive d'infiniment petits...


\begin{remarque}
\ill{C'est  Joseph-Louis \textsc{Lagrange}(1736-1813)  ou plutôt  Giuseppe Lodovico
\textsc{Lagrangia},  un  mathématicien  Piémontais d'origine  française,
qui  introduisit  les  termes   et  les  notations  que  nous  utilisons
actuellement:}{lagrange}

\begin{quote}
Nous  appellerons  la fonction  $f_x$,  \textit{fonction primitive},  par
rapport aux  fonctions $f'_x$,  $f''_x$, \&c. qui  en dérivent,  et nous
appellerons celles-ci, \textit{fonctions dérivées}, par rapport à celle-là.
\end{quote}


\end{remarque}


\section{Règles de dérivation}


\subsection{Dérivée d'une combinaison linéaire}

Soit  $y(x)=a\cdot u(x)+b\cdot  v(x)$  avec $a$  et  $b$ des  constantes
réelles.

En   posant   comme   précédemment  $y+\Delta(y)=y(x+\Delta   x)$   puis
$u+\Delta(u)=u(x+\Delta   x)$  et   $v+\Delta(v)=v(x+\Delta   x)$,  nous
obtenons $\Delta y=a\cdot \Delta u+b\cdot \Delta v$.

Nous obtenons donc:

\begin{propriete}[Dérivation d'une combinaison linéaire]
$$y=au+bv     \Longrightarrow     \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=a\cdot
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+b\cdot    \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}
\text{ ou bien } y'=a\cdot u'+b\cdot v'$$
\end{propriete}


\subsection{Dérivée d'un produit}

\begin{recherche}
  Essayez  de prouver  de  même  une règle  de  dérivation d'un  produit
  $y=u\cdot v$.
\end{recherche}



\begin{propriete}[Dérivation d'un produit]
$$y=u\cdot v \Longrightarrow \hspace{20em}$$
\end{propriete}


\subsection{Dérivée d'un quotient}


Nous  allons d'abord  établir  un résultat  préliminaire.  Pour $x$  \og
petit\fg{} on \og sent\fg{} que $\frac{1}{1-x}\approx 1$.

Par exemple $\frac{1}{1-10^{-5}}\approx 1,0000100001=1+10^{-5}+10^{-10}$.


Essayons d'être plus précis sur l'approximation. Posons
$$\frac{1}{1-x}=1+\delta$$

et essayons  de déterminer  ce $\delta$ sachant  qu'on peut  le négliger
devant $x$.

Multiplions chaque membre de l'équation par $1-x$. On obtient:


$$1-1-x+\delta(1-x)$$

c'est-à-dire, après simplifications:

$$\delta=x+\delta x$$


Ainsi, comme $\delta$ est négligeable devant $x$, on peut considérer que
$\delta\approx x$ donc:

$$\frac{1}{1-x}\approx 1+x$$

\begin{remarque}[Série géométrique]
\ill{En 1593, François \textsc{Viète} établit avec une méthode similaire
que, pour tout réel $x$ tel que
$|x|<1$, on a:
$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\cdots$$}{Viete}
\end{remarque}



\begin{recherche}
  Vous  pouvez  maintenant  essayer  d'établir une  formule  donnant  la
  dérivée d'un quotient $y=\frac{u}{v}$.

\end{recherche}


\begin{propriete}[Dérivation d'un quotient]
$$y=\frac{u}{v} \Longrightarrow \hspace{20em}$$
\end{propriete}



\subsection{Fonctions composées}


Soit trois fonctions $f$, $g$ et $h$ telles que $h=f\circ g$.
Ainsi, $h(x)=f \bigl( g(x) \bigr)$.

Posons $g(x+\Delta x)=z+\Delta z$ et $h(x+\Delta x)=y+\Delta y$. 

Alors $y+\Delta y=f \bigl( g(x+\Delta x) \bigr)=f(z+\delta z)$.
Or    $\frac{\Delta   y}{\Delta   x}=\frac{\Delta    y}{\Delta   z}\cdot
\frac{\Delta z}{\Delta x}$. On obtient donc:


\begin{propriete}[Dérivation de fonctions composées]
$$\frac{{\rm d}   y}{{\rm d}   x}=\frac{{\rm d}    y}{{\rm d}   z}\cdot
\frac{{\rm  d}  z}{{\rm   d}  x}  \text{  ou  }   h'(x)=f'  \bigl(  g(x)
\bigr)\cdot g'(x)$$
\end{propriete}


Par  exemple, si $h(x)=\left(3x-5\right)^2$,  alors $y=h(x)=f  \bigl( g(x)
\bigr)$ avec $z=g(x)=3x-5$ et  $f(z)=z^2$. On en déduit que
$h'(x)=\frac{{\rm d}    y}{{\rm d}   z}\cdot
\frac{{\rm d} z}{{\rm d} x}=2z\cdot 3=6(3x-5)$.


\vfill

\eject


\thispagestyle{empty}
\section{Tableau r\'ecapitulatif des d\'eriv\'ees}


\begin{center}
\begin{tabular}{|c|b{3cm}|c|}
\hline
&&\\
\textbf{$f(x)=$}& \textbf{$f'(x)=      $\hspace{5cm}}& \textbf{intervalle de validit\'e}\\

\hline  $a\in \R$&&\\
\hline &&\\ $x^n$ pour $n\in \bbn$&&\\
\hline &&\\ $\frac{1}{x^n}$ pour $n\in \bbn$&&\\
\hline &&\\ $\sqrt{x}$&&\\ 
\hline &&\\ $x^\alpha $, $\alpha \in \bbq$&&\\ 
\hline &&\\ $\cos x$&&\\
\hline &&\\ $\sin x$&&\\
\hline &&\\ $\tan x$&&\\ 
\hline &&\\$u+v$&&\\
\hline &&\\$\lambda u, \ \ \lambda \in\bbr$&&\\ 
\hline &&\\$uv$&&\\
\hline &&\\$\fr{u}{v}$&&\\
\hline &&\\$u\circ v$&&\\
\hline &&\\$u^k$&&\\
\hline &&\\$\frac{1}{u}$&&\\ 
\hline &&\\$cos(u)$&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}




\modeexercice % entre en mode exercice
\section{EXERCICES}


\begin{listeexercices}


\subsection{Exercices Stakhanovistes}

\begin{exercice}[Calcul de formules]

  Déterminez,  comme cela  a été  fait dans  le cours,  les  dérivées de
  $\frac{1}{x}$, $\sin(x)$, $\cos(x)$, $\sqrt{x}$.

\end{exercice}


\begin{exercice}[Calcul de dérivées]
  Calculez les dérivées de:

  \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $(x^2+x)^3$ 
\item $(3x^2+4x-6)^4$
\item $(3x^2+4x-6)^{-4}$
\item $\frac{1}{(3x^2-5x^2+1)}$
\item $\cos(\sqrt{x})$
\item $\sqrt{\cos(x)}$
\item $\bigl( \cos(x^2+5x+1) \bigr)^2$
\item $\cos \bigl( (x^2+5x+1)^2 \bigr)$
\item $\frac{1}{\cos \bigl( (x^2+5x+1)^2 \bigr)}$
\item $\tan(x)$
\item $\tan \left(\sqrt{x}\right)$
\item $\sqrt{x+\sqrt{x^2+2x+1}}$
\item $(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)$
\item $\frac{\sin(2x)}{\cos(3x)}$
\item $\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}$
    \end{enumerate}
  \end{multicols}
\end{exercice}


\begin{exercice}[Tangentes]
  \begin{enumerate}
  \item Trouvez les points de la courbe d'équation $y=x^3-2x+2$ en lesquels
        la tangente est parallèle à la première bissectrice.
\item  Trouvez  une équation  de  la  tangente  à la  courbe  d'équation
      $y=x^2-5x+6$ parallèle à la droite d'équation $3x+y-2=0$.
\item En quel  point de la courbe d'équation  $y=-2x^2+5x-3$ la tangente
      est parallèle à  la corde qui relie les  points d'abscisses $1$ et
      $5$?
\item Trouvez l'aire  du triangle déterminé par les  axes de coordonnées
      et  la tangente à  la courbe  d'équation $y=\frac{1}{x}$  au point
      d'abscisse 1.
\item Déterminez les  valeurs du paramètre $k$ pour  que les tangentes à
      la courbe  d'équation $$y=kx^3-kx^2+7x-18$$ au  points d'abscisses
      $1$ et $2$ soient parallèles.
  \end{enumerate}
\end{exercice}


\subsection{Exercices originaux}

\begin{exercice}[Bac irlandais]

\begin{enumerate}
\item If $y=x-1+\frac{1}{x-1}$, $x\neq1$,  find the value of $\frac{{\rm
      d}y}{{\rm d}x}$ at the point $(4;2)$.

\item The  slope of the curve  $y=a \sqrt{x}-5$ at the  point $(4;b)$ is
  $2$. Find the values of $a$
 and $b$.

\item If $y=\sqrt{x}$, show that $x^2 \frac{{\rm d}^2y}{{\rm d}x^2}+x \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}-\frac{1}{4}y=0$.
\end{enumerate}


\end{exercice}




%%%


\begin{exercice}[La Baleine]
 Soit $f:[0,1]\to\bbr$. On suppose que~: \begin{itemize}

 \item $f$ est
dérivable sur $[0,1]$;

\item $f(0)=f(1)=0$;

 \item $f'(0)=0$.
\end{itemize} On veut montrer que l'une des tangentes au graphe de $f$, autre que la tangente à l'origine, passe par l'origine.



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{limfonc.28}
\end{center}
\end{figure}



Vous <<~voyez sur le dessin~>> que la pente de la droite
 $(OM_0)$ est maximale.
 Cela nous incite à introduire une fonction <<~pente~>> $g~:x\mapsto
 \fr{f(x)}{x}$ dont la dérivée est intéressante.



 \end{exercice}





%%%


 \begin{exercice}[Lois de \textsc{Snell-Descartes} unifiées]

Nous allons unifier les lois de  la réflexion et celles de la réfraction
en un simple principe: \textit{la lumière suit le chemin le rapide}.

   \begin{enumerate}
   \item Vous connaissez la loi de le  réflexion dans un milieu homogène. Notez D
le point de départ du rayon qui touche le miroir en R et est réfléchi en
A.

En considérant  le point  $D'$, symétrique de  D par rapport  au miroir,
retrouvez la célèbre relation entre l'angle d'incidence et l'angle réfléchi.
\item  Considérons  à présent  deux  milieux  homogènes  séparés par  un
      plan. Soit $v_1$  la vitesse de la lumière  dans le milieu initial
      et  $v_2$ la  vitesse de  la lumière  dans le  milieu  final. Nous
      allons utiliser notre principe unifié pour déterminer une relation
      entre angle et vitesse.


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=6cm]{refraction.2}
\end{center}
%\end{figure}

On  note   $x=OP$  l'abscisse  de   P.  On  note   $\ell=OR$,  $h_1=OA$,
$h_2=RB$. On calcule le temps de  parcours $T(x)$ entre A et B. Ce temps
vaut:

$$T(x)=\frac{AP}{v_1}+\frac{PB}{v_2}$$

En  calculant la  dérivée  de $T(x)$,  retrouvez  la fameuse  loi de  la
réfraction en utilisant le principe unifié.

   \end{enumerate}
   



 \end{exercice}














%%%


\begin{exercice}[\textsc{Taylor} et les approximations polynomiales]


\setcounter{subsection}{0}

\renewcommand\thesubsection{\Alph{subsection} - }




\textg{Conventions}

Soit $I$ un intervalle quelconque de $\bbr$.

Nous dirons qu'une fonction est deux fois dérivable sur I si sa dérivée est
elle-même dérivable sur I.

Nous noterons $f^{(1)}$ la dérivée d'une fonction $f$ dérivable sur $I$,
$f^{(2)}$  la dérivée  de $f^{(1)}$  et plus  généralement  $f^{(n)}$ la
dérivée de $f^{(n-1)}$.

Par convention, $f^{(0)}$ désignera $f$.

Nous dirons qu'une  fonction est $n$ fois dérivable sur  I si sa dérivée
$n-1$-ème est elle-même dérivable sur I.

\medskip

Soit $n$ un entier naturel. On désigne par $n!$ le nombre ~:

\[n!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\cdots\cdot(n-1)\cdot n\]

Par exemple, $5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120$.

Par convention, $0!=1$.

\medskip

Soit $f$ une fonction $n$ fois  dérivable sur I.  Soit $a$ un élément de
I. Pour tout réel $x$, on définira le
\emph{polynôme de \textsc{Taylor} en $a$ à l'ordre $n$} par la relation~:


\begin{eqnarray*}
  T_{n,a}(f)(x)&=&\frac{f^{(0)}(a)}{0!}(x-a)^0+\frac{f^{(1)}(a)}{1!}(x-a)^1\\
&&\quad+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^2+\\
&&\qquad \cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
\end{eqnarray*}




\textg{Cas de l'ordre 1}

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$.

Simplifiez l'écriture de $T_{1,a}(f)(x)$. Ça vous dit quelque chose~?

Sur un  même graphique, donnez  l'allure des courbes  représentatives de
$f$  et de $T_{1,-\frac{1}{2}}(f)$  avec $f~:~x\mapsto-\frac{1}{2}x^2+2$
en vous aidant de la calculatrice ou d'un ordinateur.

\textg{Cas des fonctions polynomiales}

Soit P la fonction définie sur $\bbr$ par $P(x)=7x^4-3x^2+5x-12$.

Calculez $P(2)$.

Donnez le  développement de \textsc{Taylor} en  2 à l'ordre 3  de P puis
à l'ordre 57.


\textg{Cas des fonctions homographiques}

Une  fonction  homographique est  une  fonction  de  la forme  $x\mapsto
\dfrac{ax+b}{cx+d}$ avec $a$, $b$, $c$ et $d$ des réels.


Notons $g$ la fonction homographique correspondant au cas $a=0$, $b=d=1$
et $c=-1$.

Quel est l'ensemble de définition de $g$~? 

Calculez $g^{(1)}(x)$,  $g^{(2)}(x)$, $g^{(3)}(x$  et plus
généralement $g^{(n)}(x)$.

Écrivez le plus simplement possible $T_{5,0}(g)(x)$.




Sur un  même graphique, donnez  l'allure des courbes  représentatives de
$g$  et  de $T_{5,0}(g)$  en  vous aidant  de  la  calculatrice ou  d'un
ordinateur.



\medskip


Soit $h(x)=\dfrac{5-3x}{1-x}$. Montrez  qu'il existe deux réels $\alpha$
et $\beta$ tels que $h(x)=\alpha+\dfrac{\beta}{1-x}$.

Déduisez-en $T_{5,0}(h)(x)$ pour $x$ appartenant à un bon intervalle.


\textg{Cas des fonctions trigonométriques}

Soit $f(x)=\sin(x)$.

Calculez $f^{(1)}(x)$, $f^{(2)}(x)$, $f^{(3)}(x$, $f^{(4)}(x$ et plus
généralement $f^{(n)}(x)$.


Écrivez le plus simplement possible $T_{5,0}(f)(x)$.




Sur un  même graphique, donnez  l'allure des courbes  représentatives de
$f$  et  de $T_{5,0}(f)$  en  vous aidant  de  la  calculatrice ou  d'un
ordinateur.


\medskip


Faites de même avec $g(x)=\cos(x)$.


\medskip

On pose $h(x)=\tan(x)$. Déterminez $T_{4,0}(h)(x)$.


\textg{Cas des fonctions irrationnelles}

On pose $\varphi(x)=\sqrt{1+x}$

Répondez aux questions habituelles.

\textg{Approximation locale ou globale~?}

En  utilisant les  termes  \og global\fg{}  et  \og local\fg{},  comment
classeriez-vous les fonctions étudiées précédemment et leurs approximations polynomiales~?





\end{exercice}




\end{listeexercices}
\modenormal % restaure les définitions de sections, sous-sections, etc;




































%\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "PolyTs.tex"
%%% End: 
