%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 
\begin{filecontents*}{TriangleIso.mp}

input geometriesyr16;
%input TEX;

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
%\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex

figure(-8cm,-9cm,9cm,8cm);
pair A,B,C,D,E,O,Z;
path cc,dd;
O:=(0,0);
A:=(-2cm,-5cm); B:=(2cm,-5cm);Z:=2*B;
trace codesegments(O,A,O,B,2);
cc:= cercles(A,O); dd:= B--Z;
E:= cc intersectionpoint dd;

trace arccercle(E,O,A) withcolor orange dashed evenly;
trace A--O--B--cycle withcolor red;
trace B--E withcolor blue;

label.lft(btex A  etex,A );
label.rt(btex B etex,B );
label.top(btex O etex,O );
label.rt(btex E etex, E);
fin;

end

\end{filecontents*}



\documentclass[10pt,a4paper]{report}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage{preambule,filecontents}
\usepackage[upright]{fourier}
\graphicspath{{/home/moi/Figures/FigSeconde/}}
\entete{Applications        du       Plan}{Triangles        isométriques        -       Triangles
  semblables}{2\textsuperscript{nde} 8}%g,d,b
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


\setcounter{NumLecon}{8}
         \TITREL{Chapitre }{Triangles isométriques  et semblables}{0.9white}{0.55}{1.75}
         


\section{Une étrange application}




Soit $\CR$ un cercle de centre O et  de rayon $r$. On définit une application, que l'on appellera
\emph{machination} et qu'on notera $\mu$, de la manière suivante : à tout point M différent de O, on
assocoe le point $M'$ tel que $M'$ soit le symétrique de M par rapport à $I_M$, $I_M$ étant le point
d'intersection de $\CR$ et de la demi-droite $[OM)$. 

On dit que {\bfseries  M a pour image $\Mathbold{M'}$ par la  application $\Mathbold{\mu}$} et on
note 


\[M\stackrel{\mu}{\longmapsto}M'\]


\begin{enumerate}
\item Placez un point au hasard sur votre feuille et construisez son image par $\mu$. 
\item  Pensez-vous que  la  application  $\mu$ admette  des  points invariants\footnote{Un  point
    invariant est un point qui a pour image lui-même}. Si oui, où sont-ils~? Essayez de le prouver. 
\item Existe-t-il des points qui ont pour image  O~? Si oui, où sont-ils~? Essayez de le prouver. Ce
  résultat n'est-il pas curieux~? Pourquoi~? 
\item Soit $\CR'$ un cercle de centre O, mais de rayon R différent de $r$. Essayez de deviner quelle
  peut être l'image de $\CR'$ par $\mu$. Prouvez-le. Est-ce bizarre~? 
\item  Soit  $d$ une  droite  ne passant  pas  par  O. Construisez  l'image  de  quelques points  de
  $d$. Est-ce que l'image de $d$ semble être une droite~? 

pour le prouver, nous allons  appeler A et B les points d'intersection entre $d$  et $\CR$ et $P$ un
autre point de $d$. Démontrez que les \emph{images} de A, B et P ne sont pas alignées. 
\item Soit  $O''$ un point  tel que $OO''=1,75r$ et  $\CR''$ le cercle  de centre $O''$ et  de rayon
  $1,25r$. 

On désigne par A et B les points d'intersection des cercles $\CR$ et $\CR''$; C et D sont les points
d'intersection de $\CR''$ et $(OO'')$; E est le point d'intersection de $[OO'']$ et $\CR$. 

Faites une belle  figure. Démontrez que les  images de A, B, C  et D ne sont  ni \emph{alignées}, ni
\emph{cocycliques}\footnote{Sur un même cercle}. 

\end{enumerate}

Qu'est-ce qui  est bizarre à propos de  cette application~? Quelles propriétés  vérifiées par les
applications vues  au collège  ne sont plus  vraies pour  cette application~? Vous  qui parlez
couramment le grec ancien,  expliquez pourquoi on appelle les applications que  vous avez vues au
collège des {\bfseries isométries}. 


\subsection*{Avec XCAS}

Pour  visualiser les  effets  de la  machination,  on pourra  utiliser XCAS  et  en particulier  les
fonctions
\begin{itemize}
\item \Coms{inter}{ensemble1,ensemble2} qui trace l'intersection de deux ensembles;
\item \Coms{symetrie}{point(a,b)} qui définit la symétrie par rapport au point de coordonnées $(a\pv
  b)$. Par exemple
  \begin{lstlisting}
    s:=symetrie(point(1,2))
    m:=point(-1,-3)
    M:=s(m)
  \end{lstlisting}
définit \sf{s}  comme étant la symétrie  par rapport au point  de coordonnées $(1\pv 2)$  et M comme
étant le symétrique du point \sf{m} de coordonnées $(-1\pv 3)$. 
\item On fera bien sûr bon usage  de la commande \Coms{element}{intervalle} qui définit un nombre au
  hasard dans l'intervalle \sf{intervalle} et qui permet de faire varier sa valeur à l'aide de la souris.

\end{itemize}


\section{Figures \og superposables \fg}

Convenons de dire que deux figures sont superposables lorsqu'on peut les ... superposer~! 

\subsection{Des figures ayant des segments de même longueur sont-elles superposables~?} 

\begin{itemize}
\item  Construisez  plusieurs  triangles  dont  les  côtés mesurent  respectivement  4,5cm,  3cm  et
  2,5cm. Quels instruments utilisez-vous~? Les triangles obtenus sont-ils véritablement différents~? 

Connaissez-vous des applications mettant en correspondance ces triangles deux à deux~? 

Si  vous deviez  décalquer l'un  de ces  triangles, pouvez-vous  le mettre  en coïncidence  avec les
autres~? Quelle manipulation faut-il faire en plus dans certains cas~? 

\item Construisez  plusieurs parallèlogrammes\footnote{On notera \# pour  parallélogramme.} dont les
  côtés mesurent  respec tivement 2cm et 3cm.  Les \# obtenus sont-ils  superposables~? Pourquoi une
  étagère rectangulaire, formée de barres rigides est-elle \og pliable\fg~? Que faire pour la \og rigidifier\fg~?
\end{itemize}






\subsection{Peut-on  construire deux triangles superposables avec d'autres renseignements que la
  longueur des côtés~?} 

Soit ABC un triangle,  $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$,
$\alpha=\Mes{BAC}$, $\beta=\Mes{ABC}$ et $\gamma=\Mes{ACB}$. 

\begin{enumerate}
\item Peut-on toujours construire un triangle dont les longueurs des côtés sont $a$, $b$ et $c$, ces
  trois nombres étant quelconques~? 
\item Peut-on toujours construire un triangle dont les mesures des angles sont $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$, ces
  trois nombres étant quelconques~? 
\item Dans chacun  des cas proposés dans le  tableau suivant, on connaît les  valeurs marquées d'une
  croix.  Conjecturez si  les triangles  obtenus semblent  tous isométriques.  Vous  illustrerez vos
  réponses par des figures. 

%\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}}

\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.75\textwidth}{IZ*{5}{|Z}|cI}
	     \whline
             $a$&$b$&$c$&$\alpha$&$\beta$&$\gamma$&Les      triangles      obtenus      semblent-ils
             isométriques~?\\
             \whline
              X&X&X& & & & \\
              \hline
               & & &X&X&X& \\
              \hline
               &X&X&X& & & \\
              \hline
              X& & &X& &X& \\
              \hline
              X& & &X& & & \\
              \hline
               & & &X&X& & \\
               \hline
               & &X&X&X& & \\
                \hline
              X&X& & & & & \\

             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}
\end{enumerate}



\subsection{Triangles isométriques et applications}

\begin{enumerate}
\item Construisez un triangle,  une droite $\Delta$, un vecteur $\ve{u}$ et  un point O. Construisez
  l'image du triangle par
  \begin{itemize}
  \item la translation de $\ve{u}$
    \item  la  translation  de vecteur  $\ve{u}$  suivie  d'une  rotation  de  centre O  et  d'angle
      $\ofr{\pi}{4}$. 
      \item la translation de vecteur $\ve{u}$ suivie d'une symétrie d'axe $\Delta$
        \item la translation  de vecteur $\ve{u}$ suivie d'une symétrie  d'axe $\Delta$ suivie d'une
          rotation de centre O et d'angle $\ofr{\pi}{4}$.
\end{itemize}
\item Inversement,  construisez plusieurs paires de  triangles isométriques et  conjecturez que l'on
  peut passer de l'un à l'autre à l'aide de transformations usuelles. 

\end{enumerate}


\section{Résumons la situation}

\begin{Defi}
  Deux triangles  sont isométriques lorsque  toutes les mesures  de l'un (angles et  longueurs) sont
  égales aux mesures correspondantes de l'autre, c'est-à-dire lorsque ces triangles sont superposables.
\end{Defi}

\begin{Pro}
  SI deux triangles ont leurs côtés isométriques deux à deux, ALORS ils sont isométriques.
\end{Pro}

\begin{Pro}
  SI  deux triangles  ont un  angle isométrique  et  les côtés  adjacents à  cet angle  deux à  deux
  isométriques, ALORS ils sont isométriques.
\end{Pro}

\vspace{4cm}

\begin{Pro}
  SI deux triangles ont un côté isométrique, et que  les angles adjacents à ce côté sont deux à deux
  isométriques, ALORS ces triangles sont isométriques.
\end{Pro}


\vspace{4cm}

\begin{Pro}
  SI  le  triangle  $A'B'C'$ est  l'image  du  triangle  $ABC$  par  une translation,  une  symétrie
  orthogonale, une symétrie centrale ou une rotation, ALORS ces deux triangles sont isométriques.
\end{Pro}

\section{Passons à l'acte}

\subsection{Sachons reconnaître des triangles isométriques dans des configurations-clés}

Reconnaissez  des  triangles   isométriques  dans  les  configurations  suivantes   et  prouvez  vos
affirmations à l'aide des quatre propriétés du cours :

\begin{enumerate}
\item ABCD est un parallélogramme de centre O;
\item ABC est un triangle isocèle de sommet principal A et I est le milieu de $[BC]$;
\item ABC est  un triangle équilatéral, I,J  et K sont les milieux  des côtés et G est  le centre de
  gravité de ABC;
\item ABC est un triangle quelconque et I, J et K sont les milieux des côtés.
\end{enumerate}

\subsection{Un critère spécial triangle rectangle}

Construisez   un  triangle   rectangle   ABC  dont   l'hypoténuse   BC  mesure   4cm   et  tel   que
$\Mes{ABC}=\ofr{\pi}{5}$.  Tous les  triangles  rectangles  ayant ces  deux  mêmes caractéristiques  sont-ils
isométriques~? Prouvez-le~! 

\subsection{Deux triangles  isométriques ont-ils la  même aire~? Deux  triangles ayant la  même aire
  sont-ils isométriques~?} 

Répondez à la première question. 

Pour la deuxième, considérez un triagne ABC quelconque et le milieu M de $[BC]$. 

\begin{enumerate}
\item AMB et AMC sont-ils isométriques~? 
\item Soit H le pied de la hauteur issue de A. Comparez les aires de AMB et AMC. 
\item Répondes à la deuxième question posée au début du paragraphe.
\end{enumerate}



\subsection{Avec des rotations}

Soit ABC un triangle quelconque. On construit 3 triangles équilatéraux à l'extérieur de ABC de côtés
respectifs [AB], [BC] et [AC]. 
\begin{enumerate}
\item Montrez que BCD et FCA sont deux triangles isométriques (relisez le titre de l'exercice...) 
\item Montrez de même que EBC et ABF sont isométriques. 
\item Déduisez-en que $AF=BD=CE$. 
\end{enumerate}


\subsection{Des triangles isométriques pour calculer des mesures d'angles}

Sur la figure suivante

\begin{center}
  \includegraphics{TriangleIso.1}
\end{center}

tracez deux points D et C appartenant respectivement à [OA] et [BE] tels que $OD=EC$. 

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle AOE~? 
\item Comparer AEC et BOD. 
\item Comparer les distances AC et BD. 
\item Comparer $\Mes{ACB}$ et $\Mes{ADB}$.
\end{enumerate}



\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
