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% \let\parallel\undefined
% % \let\Re\undefined
% % \let\Im\undefined
% % \let\bar\undefined
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%        \let\danger\undefined
        
%  	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%
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% %\usepackage[boldsans]{ccfonts}
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% \graphicspath{{/home/moi/Biocam/robot/}{/home/moi/Biocam/CoursIni3d/}{/home/moi/Biocam/central/figures/}{/home/moi/Biocam/central/}}
% \entete{\LARGE \bfseries Étude du corps en mouvement }{\normalsize\textsf{\rightmark}}{CogitoBio -
%   1\up{ère} année}%g,d,b


% %%% matrice dans une base

% \renewcommand\mat[1][]{\ensuremath{{\rm mat}_{\BR#1}}}

% \newcommand\mn[1][3]{ \ensuremath{\mathfrak{M}_{#1}(\bbr)\ }}


% \setlength{\headheight}{22pt}
% \usepackage{tikz}
% \usetikzlibrary{calc}
% %%%%% EXERCICES JOLIS AVEC TIKZ
% \newcounter{numEXOL}
% \newsavebox{\exercicE}
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% \newenvironment{EXOL}[1][red]{% couleur par défaut ici
%  \noindent
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%  \begin{lrbox}{\exercicE}
%   \addtocounter{numEXOL}{1}
%   \begin{minipage}[b]{\columnwidth}
%    \begin{tikzpicture}[remember picture]
%     \node (debut) {};
%    \end{tikzpicture}
%    \medskip\par
%    \hspace{\total}
%    \begin{minipage}{0.99\columnwidth-\total}
% }{%
%    \end{minipage}\\
%    \begin{tikzpicture}[remember picture]
%     \node (fin) {};
%    \end{tikzpicture}
%   \end{minipage}
%  \end{lrbox}
%  \usebox{\exercicE}
%  \begin{tikzpicture}[remember picture, overlay]
%   \draw[overlay, line width = 15pt, draw=macouleur!20] 
%   let \p1 = (debut.north west), \p2 = (fin) in
%   (\x1+3cm,\y1) -- (\x1,\y1);
%   \draw[overlay, line width = \epaisseur, draw=macouleur!20] 
%   let \p1 = (debut.north west), \p2 = (fin) in
%   (\x1+0.5\epaisseur,\y1) -- (\x1+0.5\epaisseur,\y2);
%   \node[text=macouleur,right, minimum width = 3cm]
%   at (debut.north east) {\bfseries Exercice~\theNumLecon.\thenumEXOL};
%  \end{tikzpicture}
% }

% \renewcommand\emph\textit






% \begin{document}


\chapterimage{matrix}

\chaptertext{Nous  avons étudié  quelques généralités  sur les  déplacements  dans la
leçon 2.  Avant d'aller  plus loin, nous  aurons besoin d'un  outil très
important~:~le   calcul  matriciel   qui  nous   permettra   de  définir
rigoureusement les rotations de vecteurs dans l'Espace.}



\chapter{Initiation au calcul matriciel}


\section{Vecteurs et déplacement}

Supposons qu'un point obtenu à la palpation représente la vertèbre. Il est
parti d'une position initiale $P_i$ et est arrivé à une position finale $P_f$ selon
une certaine trajectoire.

% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[scale=0.5]{chemin}
% \caption{Déplacement et vecteur}\label{vect}
% \end{center}
% \end{figure}

On n'a accès qu'à $P_f$ quand le patient malade vient en consultation et
on devrait être  capable de connaître $P_i$, la  position de la vertèbre
avant le déplacement. On n'a  donc accès qu'au déplacement symbolisé par
la \og flèche\fg{} orange mais qui n'est pas le déplacement réel en pointillés.

On appellera  cette \og flèche\fg{}  \emph{vecteur}. Ce terme  cache une
notion  mathématique  beaucoup plus  générale  et  abstraite mais  cette
approche naïve suffira pour notre exploration intuitive du mouvement.

Un  vecteur, est donc  défini pour  nous par  une direction  (une droite
vectorielle), un sens et une longueur.


\section{Base et repère}


\subsection{Généralités}

Comme nous l'avons vu  \vpageref{fig1}, repérer un point dans l'espace
nécessite de choisir une origine et trois directions non-coplanaires. 

Par commodité,  nous utiliserons des  vecteurs mais ayant  une certaine
particularité~:~si  l'on  reprend la  figure  \vref{fig1}, on  pourrait
utiliser les  \og vecteurs\fg{}  Est, Nord et  Haut. Avec  ces trois-là,
tout point pourra être repéré. Cela donne~:


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.7\linewidth]{figIni3d3}\caption{\label{base}Décomposition
    d'un vecteur dans une base}
\end{center}
\end{figure}



On n'aura pas de mal à admettre le résultat suivant~:

\begin{theoreme}[base de l'Espace]
    Soit  $\ve{e_1}$ et $\ve{e_2}$  deux vecteurs  non colinéaires~:~ils
    définissent un plan vectoriel.  Soit $\ve{e_3}$ un troisième vecteur
    n'appartenant pas à ce plan  vectoriel, alors la famille de vecteurs
    $\pav{\ve{e_1},\ve{e_2},\ve{e_3}}$ 
    forme une BASE de l'Espace et pour n'importe quel vecteur $\ve{u}$
    de l'Espace, il existe trois nombres $(x,y,z)$ tels que

$$\ve{u}=x \ve{e_1}+y \ve{e_2}+z \ve{e_3}$$

Les nombres $x$, $y$ et $z$ sont appelés les COORDONNÉES de $\ve{u}$ dans
la base $\pav{\ve{e_1},\ve{e_2},\ve{e_3}}$.
   \end{theoreme}



Dans la suite  du cours, on travaillera dans  un \emph{repère orthonormé
  direct}, c'est-à-dire tel que les vecteurs de bases soient deux à deux
orthogonaux, de même norme (longueur) et orientés de telle manière qu'en \og
tournant\fg{} de  $\ve{e_1}$ vers $\ve{e_2}$, on \og  monte\fg{} le long
de $\ve{e_3}$ comme quand on visse une ampoule.




\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{repere2}
\caption{Repère orthonormé direct}\label{ron}
\end{center}
\end{figure}


\begin{remarque}[$\bbr^3$]
    On note  $\bbr^3$ l'ensemble  des triplets de  coordonnées $(x,y,z)$
    formés de trois réels.
   \end{remarque}


\subsection{Repères en anatomie}


L'axe longitudinal (Z)  (ou caudo-céphalique, caudo-rostral, bi-polaire)
est  l'axe  qui est  parallèle  à la  longueur  du  système étudié.   En
anatomie humaine, il a une  orientation bas-haut et on rencontre parfois
le terme axe vertical pour désigner l'axe longitudinal.

L'axe   transversal  (Y)  (ou   frontal,  bi-latéral,   horizontal)  est
perpendiculaire à l'axe longitudinal et a une orientation droite-gauche.

L'axe sagittal  (X) est  perpendiculaire à l'axe  longitudinal (Z)  et à
l'axe  horizontal (Y).  Il a  une orientation  dos-ventre.   En anatomie
humaine, il a une orientation postéro-antérieure.

Ces trois axes définissent un repère orthonormé direct (\vref{figxav1})



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{repere_homme}\label{figxav1}\caption{Repères
    en anatomie humaine}
\end{center}
\end{figure}



% \begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}\vspace{0cm}\begin{flushleft}\includegraphics[height=5cm]{repere_homme}\end{flushleft}\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}\vspace{-0.5cm}
% \hspace{5.5cm}
% \begin{flushright}\includegraphics[height=5cm]{repere_animal}\end{flushright}\end{minipage}


\section{Matrices}


\subsection{Matrice d'une application linéaire dans une base}


On    peut    montrer   que    pour    caractériser   une    application
linéaire\footnote{C'est-à-dire pour  nous une rotation}, il  suffit  de
déterminer les images des trois vecteurs de base.

Une  petite  explication   pour  comprendre...une  application  $f$
linéaire a les propriétés suivantes~:

$$f\pav{\ve{u}+\ve{v}}=f\pav{\ve{u}}+f\pav{\ve{v}}\quad  \text{pour tous
  vecteurs }\ve{u}\text{ et }\ve{v}$$

$$f\pav{\alpha   \ve{u}}=\alpha   f\pav{\ve{u}}\qquad\text{pour   tout
  vecteur $\ve{u}$ et tout nombre réel $\alpha$}$$


Donc si $$\ve{u}=x \ve{e_1}+y \ve{e_2}+ z \ve{e_3}$$ alors 

$$f\pav{\ve{u}}=x f\pav{\ve{e_1}}+y f\pav{\ve{e_2}}+ z f\pav{\ve{e_3}}$$




Une manière  pratique de  présenter les résultats  est de  les regrouper
dans un tableau de nombre appelé \emph{matrice}~:


$$ \begin{blockarray}{cccc}
        f\pav{\ve{e}_1}
                &  f\pav{\ve{e}_2}  &  f\pav{\ve{e}_3}  \\
        \begin{block}{(ccc)c}
        a_{11} & a_{12}  & a_{13} & \ve{e_{1}}  \\
        a_{21} & a_{22} & a_{33}& \ve{e_{2}} \\
        a_{31} & a_{32}  & a_{33} & \ve{e_{3}}  \\
        \end{block}
        \end{blockarray}
        $$

Cela traduit par exemple le fait que~:

$$
f\pav{\ve{e_1}}=a_{11} \ve{e_1}+a_{21} \ve{e_2}+ a_{31} \ve{e_3}
$$


Nous allons  voir dans  ce qui suit  comment cette  disposition facilite
grandement les calculs.



\subsection{Produit de matrices}

Nous aurons  besoin de  multiplier des matrices  entre elles.  Voici une
disposition pratique pour effectuer les calculs.

\subsubsection{Produit de deux matrices \og carré\fg{}}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
% unit

% the styles
\tikzset{node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit}}  
\tikzset{node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit}}
\tikzset{arrow style mul/.style={draw,sloped,midway,fill=white}}
\tikzset{arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=white}}
% defintion of matrices
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (0,0)
{%
  a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  \node[node style sp] {a_{21}};& \node[node style sp] {a_{22}};& \node[node style sp] {a_{23}}; \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 
\node [draw,below] at (A.south) {{\footnotesize $A$ : \textcolor{red}{$3$ lignes} $3$ colonnes}};
\matrix (B) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter =)] at (5*\myunit,5*\myunit)
{% 
  b_{11} &  \node[node style sp] {b_{12}};& b_{13}  \\ 
  b_{21} & \node[node style sp] {b_{22}}; & b_{23} \\ 
  b_{31} & \node[node style sp] {b_{32}}; & b_{33}  \\ 
};
\node [draw,above] at (B.north) { {\footnotesize $B$ : $3$ lignes \textcolor{red}{$3$ colonnes}}}; 
% matrice résultat
\matrix (C) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (5*\myunit,0)
{% 
  c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ 
  c_{21}&  \node[node style sp,red] {c_{22}};& c_{23} \\ 
  c_{31}&  c_{32} &  c_{33} \\ 
}; 
\node [draw,below] at (C.south) {{\footnotesize $ C=A\times B$ }};
% arrows
\draw[blue] (A-2-1.north) -- (C-2-2.north);
\draw[blue] (A-2-1.south) -- (C-2-2.south);
\draw[blue] (B-1-2.west)  -- (C-2-2.west);
\draw[blue] (B-1-2.east)  -- (C-2-2.east);
 \draw[<->,red](A-2-1) to[in=180,out=90] (B-1-2)%
       node[arrow style mul] (x){};% {$a_{21}\times b_{12}$};
 \draw[<->,red](A-2-2) to[in=180,out=90](B-2-2)%
       node[arrow style mul] (y){};% {$a_{22}\times b_{22}$};
 \draw[<->,red](A-2-3) to[in=180,out=90](B-3-2)%
       node[arrow style mul] (z){};% {$a_{23}\times b_{32}$};
% \draw[red,->] (x) to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (y)%
%                   to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (z);
%                   %
%                   % to (C-3-3.north west);
% \draw[->,red,decorate,decoration=zigzag] (z) -- (C-2-2.north west);
\end{tikzpicture} 
\end{center}


  \begin{DANGER}[produit de matrice non commutatif]
    Le produit  de deux matrices  n'est pas  commutatif. Cela
    signifie qu'en général $A\times B\neq B\times A$.
    \end{DANGER}
  





% \subsubsection{Produit d'une matrice \og carré\fg{} et d'une matrice \og colonne\fg{}}



% \begin{center}
% \begin{tikzpicture}[>=latex]
% % unit

% % the styles
% \tikzset{node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit}}  
% \tikzset{node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit}}
% \tikzset{arrow style mul/.style={draw,sloped,midway,fill=white}}
% \tikzset{arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=white}}
% % defintion of matrices
% \matrix (A) [matrix of math nodes,%
%              nodes = {node style ge},%
%              left delimiter  = (,%
%              right delimiter = )] at (0,0)
% {%
%   a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
%   \node[node style sp] {a_{21}};& \node[node style sp] {a_{22}};& \node[node style sp] {a_{23}}; \\ 
%   a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
% }; 
% \node [draw,below] at (A.south) { $A$ : \textcolor{red}{$3$ lignes} $3$ colonnes};
% \matrix (B) [matrix of math nodes,%
%              nodes = {node style ge},%
%              left delimiter  = (,%
%              right delimiter =)] at (5*\myunit,5*\myunit)
% {% 
%    \node[node style sp] {b_{11}};  \\ 
%   \node[node style sp] {b_{21}};  \\ 
%   \node[node style sp] {b_{31}};   \\ 
% };
% \node [draw,above] at (B.north) { $B$ : $3$ lignes \textcolor{red}{$1$ colonne}}; 
% % matrice résultat
% \matrix (C) [matrix of math nodes,%
%              nodes = {node style ge},%
%              left delimiter  = (,%
%              right delimiter = )] at (5*\myunit,0)
% {% 
%   c_{11}  \\ 
%    \node[node style sp,red] {c_{21}}; \\ 
%   c_{31} \\ 
% }; 
% \node [draw,below] at (C.south) {$ C=A\times B$ : \textcolor{red}{$3$ lignes}  \textcolor{red}{$1$ colonne}};
% % arrows
% \draw[blue] (A-2-1.north) -- (C-2-1.north);
% \draw[blue] (A-2-1.south) -- (C-2-1.south);
% \draw[blue] (B-1-1.west)  -- (C-2-1.west);
% \draw[blue] (B-1-1.east)  -- (C-2-1.east);
% \draw[<->,red](A-2-1) to[in=180,out=90] (B-1-1)%
%       node[arrow style mul] (x) {$a_{21}\times b_{12}$};
% \draw[<->,red](A-2-2) to[in=180,out=90](B-2-1)%
%       node[arrow style mul] (y) {$a_{22}\times b_{22}$};
% \draw[<->,red](A-2-3) to[in=180,out=90](B-3-1)%
%       node[arrow style mul] (z) {$a_{23}\times b_{32}$};
% \draw[red,->] (x) to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (y)%
%                   to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (z);
%                   %
%                   % to (C-3-3.north west);
% \draw[->,red,decorate,decoration=zigzag] (z) -- (C-2-1.north west);
% \end{tikzpicture} 
% \end{center}


\section{Rotations et bases de l'Espace}


% \subsection{Translation}

% Nous avons déjà défini une translation dans l'espace \vpageref{trans1}.

% Occupons-nous de $t$, la translation vectorielle associée, c'est-à-dire qu'on va
% étudier l'action d'une translation dont on connaît le vecteur sur un
% vecteur quelconque.





% Nous avons vu à la section précédente que pour caractériser la translation,
% il suffit de déterminer les images de chaque vecteur de base.

% Notons $\ve{v}$  le vecteur de  la translation de  coordonnées $(a,b,c)$
% dans une base orthonormée.

% On obtient immédiatement que~:



% \begin{center}
%   \begin{align*}
%     t\pav{\ve{e_1}}&=\ve{e_1}+\ve{v}=\ve{e_1}+a   \ve{e_1}+b  \ve{e_2}+c
%     \ve{e_3}=(1+a)\ve{e_1}+b \ve{e_2}+c \ve{e_3}\\
%     t\pav{\ve{e_2}}&=\ve{e_2}+\ve{v}=\ve{e_1}+a   \ve{e_1}+b  \ve{e_2}+c
%     \ve{e_3}=a\ve{e_1}+(1+b) \ve{e_2}+c \ve{e_3}\\
%     t\pav{\ve{e_1}}&=\ve{e_1}+\ve{v}=\ve{e_3}+a   \ve{e_1}+b  \ve{e_2}+c
%     \ve{e_3}=a\ve{e_1}+b \ve{e_2}+(1+c) \ve{e_3}\\
%   \end{align*}
% \end{center}



% Ce qui donne pour notre matrice~:



%  $$ \begin{blockarray}{cccc}
%      t\pav{\ve{e}_1}&  t\pav{\ve{e}_2}  &  t\pav{\ve{e}_3}  \\
%         \begin{block}{(ccc)c}
%         1+a & a & a   & \ve{e_1}  \\
%         b & 1+b  & b   & \ve{e_{2}} \\
%         c & c & 1+c & \ve{e_{3}} \\
%         \end{block}
%         \end{blockarray}
%         $$
%\subsection{Rotation}

Nous avons déjà défini une rotation dans l'espace \vpageref{rot1}. 


Occupons-nous de la rotation vectorielle associée, c'est-à-dire qu'on va
étudier l'action d'une rotation dont  on connaît l'axe et l'angle sur un
vecteur quelconque.



Dans un premier temps, nous étudierons une rotation d'axe $\ve{e_3}$.




\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{rotation2}
\caption{Rotation d'un vecteur}\label{rot2}
\end{center}
\end{figure}



Nous avons vu à la section précédente que pour caractériser la rotation,
il suffit de déterminer les images de chaque vecteur de base.

On observe que $\ve{e_3}$ est invariant
car il a la même direction que l'axe de rotation.

Il  suffit  donc  de  se  placer  dans le  plan  $\pav{e_1,e_2}$  et  de
déterminer les images des deux vecteurs de base~:




\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{rotation3}
\caption{Projection orthogonale de la rotation d'un vecteur}\label{rot3}
\end{center}
\end{figure}



Si vous avez quelques souvenirs trigonométriques de collège ou de lycée, vous ne serez
pas surpris par les résultats suivants~:

\begin{center}
\begin{align*}
\ve{e'_1}&=\cos\theta \ve{e_1}+\sin\theta \ve{e_2}\\
\ve{e'_2}&=\cos\pav{\theta+\frac{\pi}{2}}\ve{e_1}+\sin\pav{\theta+\frac{\pi}{2}}\ve{e_2}=-\sin\theta\ve{e_1}+\cos\theta \ve{e_2}\\
\end{align*}
\end{center}



Ce qui donne pour notre matrice, en se souvenant que $\ve{e'_3}=e_3$~:


$$ \begin{blockarray}{cccc}
     r\pav{\ve{e_1}}&  r\pav{\ve{e_2}}  &  r\pav{\ve{e_3}}  \\
        \begin{block}{(ccc)c}
        \cos\theta & -\sin\theta & 0   & \ve{e_{1}}  \\
        \sin\theta & \cos\theta  & 0   & \ve{e_{2}} \\
        0          &          0  & 1   & \ve{e_{3}} \\
        \end{block}
        \end{blockarray}
        $$
\section{Rotations et calcul matriciel}

\subsection{Détermination de l'image d'un vecteur}


Soit  $\ve{u}$ un vecteur  de coordonnées  $(x,y,z)$. Cela  signifie que
$\ve{u}=x \ve{e_1}+y \ve{e_2}+z \ve{e_3}$.

Soit $r$ la rotation d'axe $\ve{e_3}$ et d'angle $\theta$.




On obtient alors que~:
\begin{center}
  \begin{align*}
    r(\ve{u})&=x r\pav{\ve{e_1}}+y r\pav{\ve{e_2}}+z r\pav{\ve{e_3}}\\
             &=x
             \pav{\cos(\theta)\ve{e_1}+\sin(\theta)\ve{e_2}}+y\pav{-\sin(\theta)\ve{e_1}+\cos(\theta)\ve{e_2}}+z
             \ve{e_3}\\
            &=(x\cos(\theta)-y\sin(\theta))\ve{e_1}+(x\sin(\theta)+y\cos(\theta))\ve{e_2}+z \ve{e_3}
  \end{align*}
\end{center}



Notons     $R$     la     matrice     de    $r$     dans     la     base
canonique\footnote{C'est-à-dire la base orthonormée directe de référence.} 
et  $U$ la  matrice colonne  des coordonnées  de $\ve{u}$  dans  la base
canonique.
Calculons $R\times U$~:


\begin{promat}
promat([[cos(theta),-sin(theta),0],[sin(theta),cos(theta),0],[0,0,1]],[[x],[y],[z]],[["R","U","R\\times U"]])
\end{promat}

Miracle~! $R\times U$ est en  fait la matrice colonne des coordonnées de
$r\pav{\ve{u}}$. Un problème de  transformation géométrique se règle par
de simples  multiplications : la  puissance des mathématiques  en marche
grâce à  une notion fondamentale, l'\emph{isomorphie}. On  trouve un \og
corps mathématiques\fg{} tout à fait  similaire à celui étudié mais dans
lequel il est plus aisé de travailler...


\begin{remarque}[Espaces isomorphes]
    
Ainsi,   il  existe  de   telles  \emph{isomorphismes}   entre  l'Espace
géométrique de dimension 3,  l'ensemble $\bbr^3$ de leurs coordonnées et
$\mathfrak{M}_{3,1}(\bbr)$, l'ensemble des matrices à coefficients réels
ayant  trois lignes  et une  colonne. On  parlera souvent  de  l'un pour
l'autre.

   \end{remarque}




\subsection{Généralisation}



On peut alors admettre la généralisation suivante~:

\begin{propriete}[Expression matricielle de l'image d'un vecteur]\label{prop:mu}
    Soit M la matrice d'un déplacement dans une certaine base $\BR$ de
    $\bbr^3$.

Soit  $U$  la  matrice  colonne  des coordonnées  d'un  certain  vecteur
$\ve{u}$ dans cette base.

Alors la  matrice colonne des coordonnées de  $f\pav{\ve{u}}$ dans cette
base vaut~:
$${\rm mat}_{\BR}f\pav{\ve{u}}=M\times U$$
   \end{propriete}









\subsection{Matrice d'une composée de déplacements}


On  est  souvent  amené  à  décomposer  le  mouvement  d'un  système  en
mouvements   simples.   Pour  obtenir   les
coordonnées finales  à partir des initiales, il  faut ensuite recomposer
les mouvements.

Étudions le cas de la composée de deux déplacements.


\begin{remarque}[composée d'applications]
    On note  $\f \circ  g$ l'application composée  de $g$ suivie  de $f$
    (attention à l'ordre~!).

Ainsi,  $\f  \circ  g(x)=f\big(g(x)\big)$~:~on  calcule $g(x)$  puis  on
calcule l'image par $f$ du vecteur obtenu.
   \end{remarque}


Considérons deux déplacements $f$ et $g$. Notons $M={\rm mat}_{\BR}f$, $N={\rm mat}_{\BR}g$ et 
$U={\rm mat}_{\BR}\ve{u}$. Or 
$$f\circ g\pav{\ve{u}}=f\Big(g\pav{\ve{u}}\Big)$$

donc, point de vue matrice, d'après la propriété~\vref{prop:mu}~:

$${\rm mat}_{\BR}f\circ g\pav{\ve{u}}=M\times (N\times   U)=(M\times N)\times U$$

On en déduit la propriété suivante~:



\begin{propriete}[Expression matricielle de la composée de deux applications linéaires]\label{prop:fog}
    Soit M la matrice d'un déplacement dans une certaine base $\BR$ de
    $\bbr^3$.

 Soit N la matrice d'un déplacement dans la même  base.



Alors~:
$${\rm mat}_{\BR}f\circ g=M\times N$$

En particulier, avec les notations habituelles, 


$${\rm mat}_{\BR}f\circ g\pav{\ve{u}}=(M\times N)\times U$$

   \end{propriete}


\section{Inverse d'une matrice}


\subsection{Notion d'inverse}

Vous vous souvenez avoir entendu  un jour que tout nombre réel \emph{non
  nul} admet un inverse. Cette formulation est cependant trop vague.

Il faudrait  en fait préciser qu'un  nombre non nul
admet un  inverse \emph{pour la  multiplication des nombres  réels}, ce
qui signifie  que pour tout réel non  nul $x$, il existe  un nombre réel
non nul $x^{-1}$ tel que $x\times  x^{-1}=1$. On dit alors que ce nombre
est \emph{inversible pour la multiplication des réels}.

Pourquoi cherche-t-on  un nombre associé à  $x$ tel que  son produit par
$x$ fasse 1~?

En  fait,  1 n'est  pas  n'importe  quel nombre~:~c'est  l'\emph{élément
  neutre} pour  la multiplication des réels, c'est-à-dire  que pour tout
réel $x$, $x\times 1=1\times x=x$\label{neutre}.

Ainsi, l'inverse d'un nombre \og neutralise\fg{} ce nombre.

\subsection{Matrice identité}


Il est aisé de vérifier que $\left[\begin{smallmatrix}1&0&0\\
                                            0&1&0\\
                                            0&0&1\end{smallmatrix}\right]$       est
l'élément neutre du produit des matrices. Notons $I_3$ cette matrice.

Chercher l'inverse  d'une matrice $M$, c'est donc  déterminer la matrice
$M^{-1}$,    {\bf    si    elle    existe},    telle    que    $M\times
M^{-1}=I_3$.

\begin{definition}[inverse d'une matrice]
    Une matrice $M$ est inversible dans $\mathfrak{M}_3(\bbr)$ si, et
    seulement  si,  il  existe  une  matrice notée  $M^{-1}$  telle  que
    $$M\times M^{-1}=M^{-1}\times M=I_3$$

On appelle alors $M^{-1}$ l'inverse de $M$ dans $\mathfrak{M}_3(\bbr)$.
   \end{definition}


\subsection{Déterminant d'une matrice de \boldmath$ \mathfrak{M}_2(\bbr)$\unboldmath}

En fait, vous savez depuis la Seconde que deux vecteurs du plan de coordonnées
$(a,b)$  et  $(a',b')$  sont  colinéaires  si, et  seulement  si,  leurs
coordonnées sont proportionnelles. Il  existe donc un réel $\lambda$ tel
que $a=\lambda a'$ et $b=\lambda b'$ et alors 

$$ab'-a'b=\lambda ab-\lambda ab=0$$

On appelle  déterminant de  la matrice $A=\begin{pmatrix}  a & a'\\  b &
  b'\\ \end{pmatrix}$ le nombre $ab'-a'b$ et on note~:


\renewcommand{\myunit}{0.7 cm}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]

\tikzset{node style ge/.style={minimum size=\myunit}}


\node  at (-1.65,0) { $\det(A)=$};




% la matrice en blanc
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = |,%
             right delimiter = |%
            ] at (0,0)
{%
 a & a'   \\ 
  b &b'\\  
}; 

% les barres
\draw[gray] (A-1-1.north west) -- (A-2-2.center);
\draw[gray](A-2-2.center)--(A-1-2.center);
\draw[gray](A-1-2.center)--(A-2-1.south west);
\node at (2,0) { $=ab'-a'b$};



 \end{tikzpicture} 
 \end{center}



\subsection{Déterminant d'une matrice de \boldmath$ \mathfrak{M}_3(\bbr)$\unboldmath}

Un  moyen pratique  de  déterminer  si une  matrice  est inversible  est
de calculer son... déterminant.

Nous n'entrerons pas dans les détails théoriques et nous contenterons de
découvrir   un   moyen   pratique   de  calculer   ce   déterminant~:~le
développement par rapport à une ligne ou une colonne.

Par exemple ici, on développe par rapport à la première colonne~:





\renewcommand{\myunit}{0.35 cm}
\small

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]

\tikzset{node style ge/.style={minimum size=\myunit}}


\node  at (-2,0) { $(-1)^{(1+1)}$};




% la matrice en blanc
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             color=white,%
            %
            ] at (0,0)
{%
 a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  a_{21} &a_{22}& a_{23} \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 

% les barres
\draw[blue] (A-1-1.south) -- (A-3-1.south);
\draw[blue] (A-1-1.east) -- (A-1-3.east);


% les blocs 
\fill[yellow,rounded corners=0.2mm] (A-2-2.north west)
rectangle (A-3-3.south east);
\draw[orange,rounded corners=0.2mm] (A-2-2.north west)
rectangle (A-3-3.south east);


\fill[cyan,rounded corners=0.2mm] (A-1-1.north west)
rectangle (A-1-1.south east);
\draw[blue,rounded corners=0.2mm] (A-1-1.north west)
rectangle (A-1-1.south east);

% les noms
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = |,%
             right delimiter = |] at (0,0)
{%
 a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  a_{21} &a_{22}& a_{23} \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 
% \end{tikzpicture} 
% \end{center}





\node at (2,0) { $+(-1)^{(2+1)}$};




% \begin{center}
% \begin{tikzpicture}[>=latex]

\tikzset{node style ge/.style={minimum size=\myunit}}

% la matrice en blanc
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             color=white,%
            %
            ] at (4,0)
{%
 a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  a_{21} &a_{22}& a_{23} \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 

% les barres
\draw[blue] (A-2-1.south) -- (A-3-1.south);
\draw[blue] (A-2-1.north) -- (A-1-1.north);
\draw[blue] (A-2-1.east) -- (A-2-3.east);


% les blocs 
\fill[yellow,rounded corners=0.2mm] (A-1-2.north west)
rectangle (A-1-3.south east);
\draw[orange,rounded corners=0.2mm] (A-1-2.north west)
rectangle (A-1-3.south east);

\fill[yellow,rounded corners=0.2mm] (A-3-2.north west)
rectangle (A-3-3.south east);
\draw[orange,rounded corners=0.2mm] (A-3-2.north west)
rectangle (A-3-3.south east);

\fill[cyan,rounded corners=0.2mm] (A-2-1.north west)
rectangle (A-2-1.south east);
\draw[blue,rounded corners=0.2mm] (A-2-1.north west)
rectangle (A-2-1.south east);

% les noms
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = |,%
             right delimiter = |] at (4,0)
{%
 a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  a_{21} &a_{22}& a_{23} \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 
% \end{tikzpicture} 
% \end{center}

\node at (6.3,0) { $+(-1)^{(3+1)}$};


% \begin{center}
% \begin{tikzpicture}[>=latex]

\tikzset{node style ge/.style={minimum size=\myunit}}

% la matrice en blanc
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             color=white,%
            %
            ] at (8.5,0)
{%
 a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  a_{21} &a_{22}& a_{23} \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 

% les barres
\draw[blue] (A-3-1.north) -- (A-1-1.north);
\draw[blue] (A-3-1.east) -- (A-3-3.east);


% les blocs 
\fill[yellow,rounded corners=0.2mm] (A-1-2.north west)
rectangle (A-2-3.south east);
\draw[orange,rounded corners=0.2mm] (A-1-2.north west)
rectangle (A-2-3.south east);


\fill[cyan,rounded corners=0.2mm] (A-3-1.north west)
rectangle (A-3-1.south east);
\draw[blue,rounded corners=0.2mm] (A-3-1.north west)
rectangle (A-3-1.south east);

% les noms
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = |,%
             right delimiter = |] at (8.5,0)
{%
 a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  a_{21} &a_{22}& a_{23} \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 
\end{tikzpicture} 
\end{center}


\normalsize

C'est-à-dire~:

$$\det(A)=
a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\ 
       a_{32}& a_{33}\end{vmatrix}-
a_{21}\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\ 
       a_{32}& a_{33}\end{vmatrix}+
a_{31}\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\ 
       a_{22}& a_{23}\end{vmatrix}
$$


Par exemple, calculons le déterminant de $A=\begin{pmatrix}
1&2&3\\
2&1&-2\\
-2&3&1
\end{pmatrix}$



\small

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]

\tikzset{node style ge/.style={minimum size=\myunit}}


\node  at (-2,0) { $(-1)^{(1+1)}$};




% la matrice en blanc
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             color=white,%
            %
            ] at (0,0)
{%
 1&2&3\\
2&1&-2\\
-2&3&1\\
}; 

% les barres
\draw[blue] (A-1-1.south) -- (A-3-1.south);
\draw[blue] (A-1-1.east) -- (A-1-3.east);


% les blocs 
\fill[yellow,rounded corners=0.2mm] (A-2-2.north west)
rectangle (A-3-3.south east);
\draw[orange,rounded corners=0.2mm] (A-2-2.north west)
rectangle (A-3-3.south east);


\fill[cyan,rounded corners=0.2mm] (A-1-1.north west)
rectangle (A-1-1.south east);
\draw[blue,rounded corners=0.2mm] (A-1-1.north west)
rectangle (A-1-1.south east);

% les noms
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = |,%
             right delimiter = |] at (0,0)
{%
1&2&3\\
2&1&-2\\
-2&3&1\\
}; 
% \end{tikzpicture} 
% \end{center}





\node at (2,0) { $+(-1)^{(2+1)}$};




% \begin{center}
% \begin{tikzpicture}[>=latex]

\tikzset{node style ge/.style={minimum size=\myunit}}

% la matrice en blanc
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             color=white,%
            %
            ] at (4,0)
{%
1&2&3\\
2&1&-2\\
-2&3&1\\
}; 

% les barres
\draw[blue] (A-2-1.south) -- (A-3-1.south);
\draw[blue] (A-2-1.north) -- (A-1-1.north);
\draw[blue] (A-2-1.east) -- (A-2-3.east);


% les blocs 
\fill[yellow,rounded corners=0.2mm] (A-1-2.north west)
rectangle (A-1-3.south east);
\draw[orange,rounded corners=0.2mm] (A-1-2.north west)
rectangle (A-1-3.south east);

\fill[yellow,rounded corners=0.2mm] (A-3-2.north west)
rectangle (A-3-3.south east);
\draw[orange,rounded corners=0.2mm] (A-3-2.north west)
rectangle (A-3-3.south east);

\fill[cyan,rounded corners=0.2mm] (A-2-1.north west)
rectangle (A-2-1.south east);
\draw[blue,rounded corners=0.2mm] (A-2-1.north west)
rectangle (A-2-1.south east);

% les noms
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = |,%
             right delimiter = |] at (4,0)
{%
1&2&3\\
2&1&-2\\
-2&3&1\\
}; 
% \end{tikzpicture} 
% \end{center}

\node at (6.3,0) { $+(-1)^{(3+1)}$};


% \begin{center}
% \begin{tikzpicture}[>=latex]

\tikzset{node style ge/.style={minimum size=\myunit}}

% la matrice en blanc
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             color=white,%
            %
            ] at (8.5,0)
{%
1&2&3\\
2&1&-2\\
-2&3&1\\
}; 

% les barres
\draw[blue] (A-3-1.north) -- (A-1-1.north);
\draw[blue] (A-3-1.east) -- (A-3-3.east);


% les blocs 
\fill[yellow,rounded corners=0.2mm] (A-1-2.north west)
rectangle (A-2-3.south east);
\draw[orange,rounded corners=0.2mm] (A-1-2.north west)
rectangle (A-2-3.south east);


\fill[cyan,rounded corners=0.2mm] (A-3-1.north west)
rectangle (A-3-1.south east);
\draw[blue,rounded corners=0.2mm] (A-3-1.north west)
rectangle (A-3-1.south east);

% les noms
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = |,%
             right delimiter = |] at (8.5,0)
{%
1&2&3\\
2&1&-2\\
-2&3&1\\
}; 
\end{tikzpicture} 
\end{center}

\normalsize

C'est-à-dire~:

\begin{align*}
\det(A)&=
1\times\begin{vmatrix}1&-2\\ 
       3& 1\end{vmatrix}-
2\times\begin{vmatrix}2&3\\ 
       3& 1\end{vmatrix}+
(-2)\times\begin{vmatrix}2&3\\ 
       1& -2\end{vmatrix}\\
&=(1+6)-2(2-9)-2(-4-3)\\
&=7+14+14\\
&=35
\end{align*}


On admettra surtout le théorème suivant~:

\begin{theoreme}[déterminant d'une matrice inversible]
    Une matrice est inversible si,  et seulement si, son déterminant est
    non nul.
   \end{theoreme}


Ainsi,  la matrice  A précédente  est inversible...Il  reste  cependant à
calculer cette matrice inverse.

Il existe  bien des moyens  divers et variés  mais nous n'en  aurons pas
besoin car nous  n'allons étudier que des matrices  orthogonales qui ont
une particularité très intéressante.



\section{Produit scalaire - Matrices orthogonales}
\subsection{Produit scalaire de deux vecteurs}


 Nous rappellerons juste la définition vue en Terminale~:


\begin{definition}[produit scalaire]
    Dans  un repère orthonormé  de $\bbr^3$,  deux vecteurs  $\ve{v}$ et
    $\ve{v'}$   ont   pour    coordonnées   respectives   $(x,y,z)$   et
    $(x',y',z')$. 

On appelle \emph{produit  scalaire} de $\ve{v}$ et $\ve{v'}$  et on note
$\psv{v}{v'}$ le nombre réel~:


$$\psv{v}{v'}=xx'+yy'+zz'$$

   \end{definition}


%\pagebreak

\subsection{Représentation matricielle}


Nous aurons  besoin pour  le reste de  notre étude  la \emph{transposée}
d'une matrice.

\begin{definition}[matrice transposée]
    On appelle transposée de la matrice $A$ et on note $\vphantom{}^{\rm
      t}A$
    la matrice obtenue en échangeant lignes et colonnes.
   \end{definition}


Par  exemple, si $A=\left(\begin{smallmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\  \end{smallmatrix}\right)$, alors
$\vphantom{}^{\rm t}A=\left(\begin{smallmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\\ \end{smallmatrix}\right)$


Soit $\ve{v}$ et $\ve{v'}$ deux vecteurs de représentations matricielles
respectives $V$ et $V'$ dans une certaine base orthonormée.

Pour obtenir  matriciellement le produit scalaire des  deux vecteurs, on
effectue le produit $V\times\tr V'$.


% Par exemple~:


%  \begin{promat}
%  promat([[1,2,3]],[[4],[5],[6]],[[]])
%  \end{promat}

Nous aurons besoin enfin de cette importante définition~:

\begin{definition}[vecteurs orthogonaux]
    Deux  vecteurs sont orthogonaux  si, et  seulement si,  leur produit
    scalaire est nul.
   \end{definition}


%\subsection{Vecteurs orthogonaux}

\subsection{Norme d'un vecteur}

Il s'agit tout  simplement de la racine carrée  du produit scalaire d'un
vecteur par lui-même.

\begin{definition}[norme d'un vecteur]
    Soit $\ve{v}$  un vecteur.  On  appelle norme de $\ve{v}$  le nombre
    noté $\nov{v}$ et défini par~:

$$\nov{v}=\sqrt{\psv{v}{v}}$$
   \end{definition}



Ainsi,  si  $\ve{v}$  a   pour  coordonnées  $(x,y,z)$  dans  un  repère
orthonormé,  alors   $\nov{v}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.  Cela  vous  rappelle
sûrement un vieux théorème de collège...




\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.7\linewidth]{figIni3d5}\caption{\label{norme}norme
    d'un vecteur}
\end{center}
\end{figure}




\subsection{Matrices orthogonales}

Nous allons enfin pouvoir revenir  à nos transformations de l'espace. Il
nous faut d'abord donner une nouvelle définition...


\begin{definition}[matrice orthogonale]
     Une  matrice  de $  \mathfrak{M}_3(\bbr)$  est  orthogonale si,  et
     seulement si, elle est inversible et $A^{-1}=\tr A$
   \end{definition}

Voici qui  est bien pratique  : pour inverser  ce genre de  matrices, il
suffit de  les transposer. Il nous  reste à découvrir  qui sont vraiment
ces matrices...


\begin{theoreme}[caractérisation d'une matrice orthogonale]
    Une matrice de $ \mathfrak{M}_3(\bbr)$ est orthogonale si, et seulement si, ses colonnes
    forment une base orthonormée de $\bbr^3$.
   \end{theoreme}



Une nouvelle  fois, nous ne démontrerons  pas ce théorème (  car nous ne
sommes pas vraiment mathématiciens... ). 

Utilisons-le  cependant  dès  maintenant.  Reprenons  la  matrice  d'une
rotation d'angle  $\theta$ et d'axe  $(Oz)$ et appelons $C_1$,  $C_2$ et
$C_3$ ses colonnes~:


$$ R=\begin{blockarray}{ccc}
     C_1& C_2  &  C_3  \\
        \begin{block}{(ccc)}
        \cos\theta & -\sin\theta & 0     \\
        \sin\theta & \cos\theta  & 0    \\
        0          &          0  & 1    \\
        \end{block}
        \end{blockarray}
        $$


Alors    la     norme    du    vecteur    associé     à    $C_1$    vaut
$\sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta+0^2}=1$. Il en va de même pour $C_2$ et
$C_3$.

Formons à présent les produits scalaires~:

$$C_1\times \tr C_2=-\cos\theta\sin\theta+\sin\theta\cos\theta+0=0$$

Il en va de même pour $C_1$ et $C_3$ ainsi que pour $C_2$ et $C_3$.

La matrice de cette rotation est donc orthogonale.

\subsection{Quelques propriétés des matrices orthogonales}


Nous  allons  d'abord  donner,  une  nouvelle  fois  sans  preuve,  deux
propriétés importantes des déterminants~:

\begin{propriete}[déterminant d'une transposée et d'un produit ]
    $$\det \tr A=\det A$$

$$\det A\times B=\det A\cdot \det B$$
   \end{propriete}

cela va nous permettre d'établir le théorème suivant~:

\begin{theoreme}[déterminant d'une matrice orthogonale]
    Une matrice orthogonale a pour déterminant 1 ou $-1$
   \end{theoreme}

Allez, pour le plaisir, au moins une preuve dans ce cours....

On a d'une part $\det (A\times \tr A)=\det A\cdot\det \tr A=(\det A)^2$.

D'autre part $\det (A\times \tr A)=\det(I_3)=1$.

Finalement, $(\det A)^2=1$, c'est-à-dire $\det A=\pm1$.

Bon, ce n'était pas méchant...



\begin{theoreme}[Détermination de l'axe d'une rotation]
    Si A est une matrice orthogonale de $ \mathfrak{M}_3(\bbr)$ différente de
    l'identité et  dont le  déterminant vaut 1,  alors A est  la matrice
    d'une rotation autour d'un axe.

La direction de l'axe est donnée en déterminant un vecteur invariant.
   \end{theoreme}

%\pagebreak

Voilà pour l'axe. En ce qui concerne l'angle, nous aurons besoin...d'une
nouvelle définition~!


\begin{definition}[trace d'une matrice carrée]
    La  trace  d'une matrice,  notée  ${\rm  tr}(A)$  est la  somme  des
    éléments de sa diagonale.
   \end{definition}

Par exemple, la trace de la matrice  $\begin{pmatrix}
        \cos\theta & -\sin\theta & 0     \\
        \sin\theta & \cos\theta  & 0    \\
        0          &          0  & 1    \\
        \end{pmatrix}$ est $2\cos\theta+1$.



Or il  existe une  belle propriété qui  dit que  la trace ne  change pas
lorsqu'on effectue des changements de base et donc...

\begin{theoreme}[détermination du cosinus de l'angle d'une rotation]
    Soit $r$  une rotation  de matrice A  dans une certaine  base. Alors
    l'angle $\theta$ de la rotation vérifie~:

$$\cos\theta=\frac{{\rm tr }(A)-1}{2}$$
   \end{theoreme}

ce qui est \og magique\fg{},  c'est qu'on va ainsi pouvoir déterminer la
rotation quelque soit la base.


\subsection{Produit vectoriel}

Nous  avons parlé du  produit scalaire  qui à  deux vecteurs  associe un
nombre réel (un scalaire).  Nous allons maintenant introduire un nouveau
produit qui à deux vecteurs associe un troisième vecteur.


\begin{definition}[produit vectoriel]
    Soit $\ve{v}$ et $\ve{v'}$ deux vecteurs de coordonnées $(x,y,z)$ et
    $(x',y',z')$ dans une base orthonormée directe.

On  appelle  produit vectoriel  de  $\ve{v}$  et  $\ve{v'}$ et  on  note
$\ve{v}\wedge \ve{v'}$ le vecteur dont les coordonnées sont~:

$$
\left(\begin{vmatrix}y & z\\y' & z'\end{vmatrix},-\begin{vmatrix}x & z\\x' & z'\end{vmatrix},\begin{vmatrix}x & y\\x' & y'\end{vmatrix}\right)
$$


   \end{definition}




On peut vérifier assez facilement que le \emph{vecteur} $v\wedge v'$ est
orthogonal à la fois à $\ve{v}$ et à $\ve{v'}$.





\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=8cm]{figIni3d6}\caption{\label{pv}produit vectoriel}
\end{center}
\end{figure}




On montre aussi le résultat important suivant~:

$$
\DecalNorme{\ve{v}\wedge \ve{v'}}=\nov{v}\times\nov{v'}\times\left|\sin \left(\ve{v},\ve{v'}\right)\right|
$$

\begin{remarque}[disposition pratique]
    Une méthode  peu orthodoxe  mais pratique de  retenir la  formule de
    calcul du produit  scalaire est de le disposer  comme un déterminant
    d'une matrice de taille 3~:

$$\ve{v}\wedge \ve{v'}=\begin{vmatrix}
\ve{e_1}&\ve{e_2}&\ve{e_3}\\
x&y&z\\
x'&y'&z'\\
\end{vmatrix}
$$

puis de développer par rapport à la première ligne~:

$$
\ve{v}\wedge \ve{v'}=\begin{vmatrix}y & z\\y' & z'\end{vmatrix}\ve{e_1}-\begin{vmatrix}x & z\\x' & z'\end{vmatrix}\ve{e_2}+\begin{vmatrix}x & y\\x' & y'\end{vmatrix}\ve{e_3}
$$
\end{remarque}

On peut donc montrer que $\ve{v}\wedge \ve{v'}=-\ve{v'}\wedge \ve{v}$


    \begin{remarque}[règle du tire-bouchon]
      Très  grossièrement, quand  on  \og tourne\fg{}  de $\ve{v}$  vers
      $\ve{v'}$, on \og monte le long \fg{} de $\ve{v}\wedge \ve{v'}$ et
      \sout{vis} vice-versa
      \end{remarque}
    

\subsection{Exemple de détermination d'une rotation}


On  connaît la  matrice  d'une certaine  application  dans une  certaine
base~:


$$
A=\begin{pmatrix}
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\
\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\
\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{2}{3}
\end{pmatrix}
$$

\begin{enumerate}
\item Vérifiez que la matrice est orthogonale.

\item Vérifiez que $\det(A)=1$~:~il s'agit donc d'une rotation.

\item Pour déterminer l'axe, on va chercher un vecteur de représentation
  matricielle  $V=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ invariant  par la
  rotation donc  tel que  $A\times V-V$ soit  égal à la  matrice colonne
  nulle. On obtient après simplification (faites le calcul...)~:

$$
\begin{pmatrix}
\frac{-x-y-2 z}{3} \\
\frac{2 x-y+z}{3} \\
\frac{x-2 y-z}{3}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}
$$


cela revient à résoudre le système~:


$$
\bsys
\frac{-x-y-2 z}{3}=0 \\
\frac{2 x-y+z}{3}=0 \\
\frac{x-2 y-z}{3}=0
\esys
$$
 

Ce système admet une infinité  de solutions car en additionnant les deux
premières lignes on obtient la troisième. On choisit une des inconnues
comme paramètre  (par exemple  $z$) et on  résout le  système résultant
ayant maintenant deux équations et deux inconnues.

On obtient $x=-z$ et $y=-z$.

L'axe  de la  rotation est  donc la  droite vectorielle  dirigée  par le
vecteur $\ve{v}$ de coordonnées $(1,1,-1)$.


\item    Pour    l'angle,    on    sait    que    $\cos\theta=\frac{{\rm
      tr }(A)-1}{2}=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$.

On obtient donc  que $\theta=\pm \frac{\pi}{3}$ à un  multiple de $2\pi$
près.



Pour  déterminer le  signe, il  nous faut  un  autre renseignement~:~nous
allons utiliser le produit vectoriel. Nous allons déterminer un vecteur $\ve{n}$
orthogonal  à $\ve{v}$.  Il faut  donc  s'arranger pour  que le  produit
scalaire de $\ve{n}$ et $\ve{v}$ soit nul. 

Si   nous   posons  $(x,y,z)$   les   coordonnées   de  $\ve{n}$   alors
$\psv{v}{n}=x+y-z$.

Nous pouvons donc choisir $(1,0,1)$ pour les coordonnées de $\ve{n}$.

\medskip

Déterminons à présent l'image de $\ve{n}$ par la rotation~:

\begin{promat}
promat([[2/3,-1/3,-2/3],[2/3,2/3,1/3],[1/3,-2/3,2/3]],[[1],[0],[1]],[["A","N"]])
\end{promat}

Donc $r\pav{\ve{n}}$ a pour coordonnées $(0,1,1)$.

Calculons   à   présent   le   produit   vectoriel   de   $\ve{n}$   par
$r\pav{\ve{n}}$~:


$$\ve{n}\wedge r\pav{\ve{n}}=\begin{vmatrix}
\ve{e_1}&\ve{e_2}&\ve{e_3}\\
1&0&1\\

0&1&1\\
\end{vmatrix}=-\ve{e_1}-\ve{e_2}+\ve{e_3}=-\ve{v}$$




Si  nous  en  avions  le  loisir, nous  pourrions  montrer  le  résultat
suivant~:

\begin{propriete}[rotation et produit vectoriel]
    Si l'axe d'une rotation $r$ est dirigé par un vecteur $\ve{v}$ et si
    $\ve{n}$ est un vecteur du plan orthogonal à $\ve{v}$ alors 
$$\ve{n}\wedge r\pav{\ve{n}}=\frac{\nov{n}\times\DecalNorme{r\pav{\ve{n}}}}{\nov{v}}\times\sin(\theta)\cdot\ve{v}$$
   \end{propriete}

Ainsi,                                      $-\ve{v}=\frac{\sqrt{2}\times
  \sqrt{2}}{\sqrt{3}}\times\sin(\theta)\cdot \ve{v}$.
Nous    en   déduisons    que    $\sin(\theta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$   or
$\cos(\theta)=\frac{1}{2}$.

Finalement, A est la matrice dans la base canonique de la rotation d'axe
dirigé par $\ve{v}$ de coordonnées $(1,1,-1)$ et d'angle $-\frac{\pi}{3}$.



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=8cm]{figIni3d7}\caption{\label{rotA}rotation
    de matrice A}
\end{center}
\end{figure}


\end{enumerate}




\section{Changement de base}

\subsection{Le problème}

On connaît la matrice A d'une rotation relativement à une certaine base,
généralement une base orthonormée dont un des vecteurs dirige l'axe de la
rotation.

On  voudrait   alors  connaître  la  matrice  de   cette  rotation  mais
relativement à une autre base...

\subsection{Matrice de passage}


\begin{definition}[matrice de passage]
    Soit $\BR$ et  $\BR\,'$ deux bases de $\bbr^3$.  On appelle matrice de
    passage  de  $\BR$  à  $\BR\,'$   et  on  note  $\mat(\BR\,')$  ou  encore
    $\PR_{\BR,\BR\,'}$  la  matrice de  \mn  dont  les  colonnes sont  les
    vecteurs de $\BR\,'$ exprimés dans $\BR$~:


$$ \begin{blockarray}{cccc}
     \ve{e_1'}&  \ve{e_2'}  & \ve{e_3'}  \\
        \begin{block}{(ccc)c}
        \times & \times & \times   & \ve{e_{1}}  \\
        \times & \times & \times   & \ve{e_{2}} \\
        \times & \times & \times   & \ve{e_{3}} \\
        \end{block}
        \end{blockarray}
        $$

{\bf À  noter}~: si  les bases sont  \emph{orthonormées} alors les  matrices de
passages seront \emph{orthogonales}.

   \end{definition}



Nous retiendrons alors la propriété importante suivante~:


 \begin{propriete}[matrice de passage inverse]
$$\PR_{\BR\,',\BR}=\PR_{\BR,\BR\,'}^{-1}$$      

En particulier, si les bases sont \emph{orthonormées}~:


$$\PR_{\BR\,',\BR}=\tr \PR_{\BR,\BR\,'}$$ 
\end{propriete}


\subsection{Changement de coordonnées d'un vecteur}


Soit $\ve{v}$  un vecteur  dont les coordonnées  dans une  certaine base
$\BR$ sont $(x,y,z)$.  

On peut donc associer une matrice  colonne V à ce
vecteur~:
$V=\mat \ve{v}=\coordpp{x}{y}{z}$


{\bf ATTENTION~! 
    À  un même  vecteur  correspond une  infinité  de vecteurs  colonnes
    différents selon la base choisie~!
}

Notons maintenant $V'=\mat[\,'] \ve{v}$ alors~:

\begin{propriete}[changement de coordonnées d'un vecteur]
    $$V=P_{\BR,\BR\,'}\times V'$$
   \end{propriete}

Notez bien que cette formule donne les anciennes coordonnées en fonction
des nouvelles~!

\begin{remarque}[]
    On peut en fait retenir que les \og primes\fg{} sont du côté des \og primes\fg{}.

   \end{remarque}


Cette formule n'est donc pas  pratique sous cette forme mais sachant que
$V=\PR_{\BR,\BR\,'}V'$, alors $$V'=\PR_{\BR,\BR\,'}^{-1}\times V$$

et  comme   nous  travaillerons   dans  des  bases   orthonormées,  nous
utiliserons le plus souvent~:

 $$V'=\tr\PR_{\BR,\BR\,'}\times V$$


\subsection{Relation de Chasles}


Considérons 3 bases. Avec des notations standard on a
 $$V''=\PR_{\BR\,'',\BR}\times V$$

Mais on a aussi $V'=\PR_{\BR\,',\BR}\times V$ et $V''=\PR_{\BR\,'',\BR\,'}\times V'$ donc 

$$V''=\PR_{\BR\,'',\BR\,'}\times \PR_{\BR\,',\BR}\times V$$

Finalement~:
\begin{propriete}[relation de Chasles]
$$\PR_{\BR\,'',\BR}=\PR_{\BR\,'',\BR\,'}\times \PR_{\BR\,',\BR}$$
\end{propriete}


\subsection{Rotation et changement de base}


Soit A la matrice d'une rotation $r$ dans une certaine base. Notons toujours
$V=\mat  \ve{v}$  et  $W=\mat   r\pav{\ve{v}}$  et  leurs  pendants  \og
primés\fg{}.


Nous  avons vu  que  $W=A\times V$.  D'après  ce que  nous  avons vu  au
paragraphe précédent, cela donne~:

$$\PR_{\BR,\BR\,'}\times W'=A\times \PR_{\BR,\BR\,'}\times V'$$

et donc 


$$ W'=\left(\,\tr\PR_{\BR,\BR\,'}\times A\times \PR_{\BR,\BR\,'}\right)\times V'$$


On en déduit que $A'=\tr\PR_{\BR,\BR\,'}\times A\times \PR_{\BR,\BR\,'}$


\begin{theoreme}[transformation orthogonale et changement de base]
    $$\mat[\,']f=\tr\PR_{\BR,\BR\,'}\times \mat f\times \PR_{\BR,\BR\,'} $$
   \end{theoreme}

Il sera  pratique de  retenir le schéma  suivant (attention au  sens des
flèches)~:



\begin{remarque}[schéma du changement de base]
    
$$
% \begin{CD}
% \psovalbox{\BR}\ \bbr^3 @>{f}>{\psframebox*[fillcolor=yellow]{\ds A}}> \bbr^3\ \psovalbox{\BR}\\
% @V{\psdiabox*[fillcolor=yellow]{\PR_{\BR,\BR\,'}}}VV @VV{\psdiabox*[fillcolor=yellow]{\PR_{\BR,\BR\,'}}}V\\
%  \psovalbox{\BR\,'}\ \bbr^3 @>{f}>{\ds\textcolor{blue}{A'}}> \bbr^3\ \psovalbox{\BR\,'}\\
% \end{CD}
\begin{CD}
\BR\ \bbr^3 @>{f}>{{\ds A}}> \bbr^3\ \BR\\
@V{{\PR_{\BR,\BR\,'}}
}VV @VV{{\PR_{\BR,\BR\,'}}}V\\
 {\BR\,'}\ \bbr^3 @>{f}>{\ds\textcolor{blue}{A'}}> \bbr^3\ {\BR\,'}\\
\end{CD}
$$
   \end{remarque}

% \vfill
% \textcolor{white}{.}

\section{Angles d'Euler}

Il  est facile d'imaginer  qu'une base  orthonormée étant  donnée, toute
translation de vecteur $\ve{v}=x \ve{e_1}+y \ve{e_2}+z \ve{e_3}$ peut se
décomposer en trois translations  de vecteurs $x \ve{e_1}$, $y \ve{e_2}$
et $z \ve{e_3}$.


On  peut également  décomposer toute  rotation en  la composée  de trois
rotations élémentaires en prenant chaque axe de rotation orthogonal
au précédent~:


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=8cm]{Eulerangles}
\end{center}
\end{figure}


Il  s'agit ici  de  la présentation  anglo-saxonne  habituelle que  vous
retrouverez   dans  les   publications   internationales.  On   effectue
successivement:


\begin{itemize}
\item une rotation d'angle $\alpha$ autour de l'axe $(Oz)$. C'est la \emph{précession}~;
\item une rotation d'angle $\beta$ autour de la \og ligne des n\oe uds\fg{} qui est en
  fait  l'axe  $(Ox')$  du  premier  repère mobile.  Cet  axe  est  bien
  orthogonal à $(Oz)$. C'est la \emph{nutation}~;
\item  une rotation  d'angle $\gamma$  autour de  l'axe $(OZ)$,  qui est
  orthogonal à la ligne des n\oe uds et qui est l'image de $(Oz)$ par la
  rotation précédente. C'est la \emph{rotation propre}.
\end{itemize}


On code  cette succession  de rotation  par ZXZ. On  aurait pu  en effet
choisir d'autres axes et d'autres ordres de composition.

Comme il  y a des repères  mobiles dépendants des  rotations choisies, on
peut penser  que l'ordre est  en effet important.  On le vérifie  par le
calcul.

Tout  d'abord,  on  peut   exprimer  matriciellement  la  succession  de
rotations dans les différentes bases orthonormées. Schématisons la succession de rotations~:





\begin{center}
             \begin{tabularx}{\linewidth}{Y{2}}
	     \whline
Rotations   &    $r((Oz),\alpha)$   &   $r((Ox'),\beta)$   & $r((OZ),\gamma)$\\
\whline
Bases     & $\BR_0\to \BR_1$ & $\BR_1\to \BR_2$ & $\BR_2\to \BR_3$\\
\hline
Vecteurs  & $Vi_{\BR_0}     \to V'_{\BR_0}$&                              &\\
          &                                & $V'_{\BR_1}\to V''_{\BR_1}$ &\\
          &                                &                       & $V''_{\BR_2}\to Vf_{\BR_2}$\\   
             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}



On cherche  $M=\mat{_0}ZXZ$ la matrice de la rotation globale dans la base $\BR_0$  transformant $Vi_{\BR_0}$ en $Vf_{\BR_0}$.


On sait que  $Vf_{\BR_0}=\PR_{\BR_0,\BR_3}Vf_{\BR_3}$.


Or $Vf_{\BR_3}=Vi_{\BR_0}$ car les vecteurs et les bases \og tournent\fg{} en même temps.

D'après la relation de Chasles on obtient donc~:


$$Vf_{\BR_0}=\left(\PR_{\BR_0,\BR_1}\times \PR_{\BR_1,\BR_2} \times \PR_{\BR_2,\BR_3}\right) Vi_{\BR_0}$$

Or on cherche M telle que $Vf_{\BR_0}=M\times Vi_{\BR_0}$ donc 


$$M=\PR_{\BR_0,\BR_1}\times \PR_{\BR_1,\BR_2} \times \PR_{\BR_2,\BR_3}$$


Il suffit ensuite de reconnaître les rotations~:


    $M= \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \beta & -\sin \beta \\ 0 & \sin \beta & \cos \beta \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $

Cette décomposition  est très  intuitive mais a  quelques inconvénients.
Par exemple, les angles utilisés ne sont pas de même nature:~certains
varient       dans       $]-\pi;\pi]$       et       d'autres       dans
$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$:~lesquels?


%\pagebreak

\section{EXERCICES}

\bigskip

\begin{exercice}[reconnaître une application linéaire]
  Est-ce  que  l'application  $\colon\begin{array}{rll}  \bbr^3  &\longrightarrow  &
    \bbr^3\\ \ve{x} &  \longmapsto & \ve{x}+\ve{a}\end{array}$ avec $\ve{a}$
  un vecteur fixe est linéaire~?
\end{exercice}








\begin{exercice}
$f\in \mathcal{L}\left( \mathbb{R}^{3}\right) ,$ $\mathcal{B=}\left(
e_{1},e_{2},e_{3}\right) $ est une base de $\mathbb{R}^{3},$ $A=\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\ 
1 & 0 & 1 \\ 
1 & 1 & 1%
\end{array}%
\right) =\mathbf{Mat}_{\mathcal{B}}\left( f\right) .$


\begin{enumerate}
\item $f$\ est-il un endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$\ ?

\item Quelles sont les coordonn\'{e}es de $e_{1}$\ dans la base $\mathcal{B}$%
\ ?

\item Quelles sont les coordonn\'{e}es de $f\left( e_{2}\right) $\ dans la
base $\mathcal{B}$ ?

\item Quelles sont les coordonn\'{e}es de $f\left( x\right) $\ dans la base $%
\mathcal{B}$\ si $x=e_{1}+e_{2}-2e_{3}$\ ?

\item Qu'est $\ker f$\ ?
\end{enumerate}
\end{exercice}




\begin{exercice}
$f\in \mathcal{L}\left( \mathbb{R}^{p},\mathbb{R}^{n}\right) ,$ d\'{e}%
montrer :%
\begin{equation*}
\ker f=\left\{ 0_{\mathbb{R}^{p}}\right\} \Leftrightarrow f\text{ est
injective}
\end{equation*}
\end{exercice}

\begin{exercice}
On travaille dans l'espace vectoriel $\mathbb{R}^{3}$ rapport\'{e} \`{a} la
base canonique $\mathcal{B}=\left( e_{1},e_{2},e_{3}\right) .$ On donne : 
\begin{equation*}
\text{la lr\'{e} de }\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1 \\ 
1 & 2 & 1 \\ 
-1 & 1 & 2%
\end{array}%
\right) =\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1 \\ 
0 & 1 & 1 \\ 
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
On consid\`{e}re la famille $\mathcal{F}\mathbf{=}\left(
u_{1},u_{2},u_{3}\right) $ avec 
\begin{equation*}
u_{1}\left( 
\begin{array}{c}
0 \\ 
-1 \\ 
1%
\end{array}%
\right) _{\mathcal{B}},u_{2}\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
1 \\ 
2%
\end{array}%
\right) _{\mathcal{B}},u_{3}\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
2 \\ 
1%
\end{array}%
\right) _{\mathcal{B}}\vspace{0.5cm}
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la matrice $A$\ de la famille $\mathcal{F}$\ dans la
base $B$.

\item Donner la lr\'{e} de $A$.

\item On note $f$\ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$\ dont la matrice dans
la base $\mathcal{B}$\ est $A.$

\begin{enumerate}
\item Que repr\'{e}sentent les colonnes de $A$\ ?

\item D\'{e}terminer $\mathcal{B}$\ la matrice de la famille $\left( f\left(
u_{1}\right) ,f\left( u_{2}\right) ,f\left( u_{3}\right) \right) $\ dans la
base $\mathcal{B}.$

\item On note $\ker \left( f\right) $\ le noyau de $f,$\ d\'{e}finir $\ker
\left( f\right) .$

\item On note $x=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) $\ un vecteur quelconque de 
$\mathbb{R}^{3}.$\ D\'{e}terminer les coordonn\'{e}es de $f\left( x\right) $%
\ dans la base $\mathcal{B}.$

\item D\'{e}terminer une base de $\ker \left( f\right) $, on notera $%
\mathcal{F}_{\ker }$\ cette famille.

\item Donner une famille g\'{e}n\'{e}ratrice de $\mathbf{Im}\left( f\right) .$

\item D\'{e}terminer une base de $\mathbf{Im}\left( f\right) .$\ On notera $%
\mathcal{F}_{\mathbf{Im}}$\ cette famille.
\end{enumerate}

\item On note $\mathcal{B}^{\prime }=\left( e_{1}^{\prime },e_{2}^{\prime
},e_{3}^{\prime }\right) $\ la famille obtenue en juxtaposant le ou les
vecteurs de $\mathcal{F}_{\mathbf{Im}}$\ et le ou les vecteurs de $\mathcal{F}%
_{\ker }$. On admet que $\mathcal{B}^{\prime }$\ est une base (il suffit de v%
\'{e}rifier qu'elle est libre) ; $x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime }$\ et $%
x_{3}^{\prime }$\ d\'{e}signent les coordonn\'{e}es d'un vecteur $x$\ de $%
\mathbb{R}^{3}$\ dans cette base.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer $H$\ la matrice de passage de $\mathcal{B}$\ \`{a} $%
\mathcal{B}^{\prime }$.

\item On note $U$\ la matrice de $f$\ relativement ou dans la base $\mathcal{%
B}^{\prime },$\ $U=\mathbf{Mat}_{\mathcal{B}^{\prime }}\left( f\right) ,$\
exprimer $U$\ en fonction des matrices $H$\ et $A.$
\end{enumerate}

\item On note $g$\ l'application de $\mathbb{R}^{3}$\ dans $\mathbb{R}^{3}$\
d\'{e}finie par :%
\begin{equation*}
x\left( 
\begin{array}{c}
x_{1}^{\prime } \\ 
x_{2}^{\prime } \\ 
x_{3}^{\prime }%
\end{array}%
\right) _{\mathcal{B}^{\prime }}\rightarrow g\left( x\right) \left( 
\begin{array}{c}
x_{1}^{\prime } \\ 
x_{2}^{\prime } \\ 
0%
\end{array}%
\right) _{\mathcal{B}^{\prime }}
\end{equation*}%
et $g$\ est manifestement un endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}.$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer $V$\ la matrice de $g$\ dans la base $\mathcal{B}%
^{\prime }.$

\item D\'{e}terminer une base de $\ker \left( g\right) .$

\item D\'{e}terminer une base de\ $\mathbf{Im}\left( g\right) .$

\item Exprimer en fonction de $V$\ et de $H$\ la matrice de $g$\ dans la
base $\mathcal{B}.$

\item Exprimer \`{a} l'aide de lettres la matrice de $g\circ f$\ dans la
base $\mathcal{B}^{\prime }.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}







\begin{exercice}[détermination d'une rotation à partir d'une matrice]
On donne la matrice $A=\begin{pmatrix}
                                 \frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\\
                                -\frac{2}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\
                                -\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\
                       \end{pmatrix}$ d'une  certaine transformation $f$
                       de $\bbr^3$ dans lui-même.

Décrivez $f$ le plus précisément possible.
\end{exercice}

\begin{exercice}[matrice d'une rotation]
On  considère la rotation  $u$ d'angle  $\frac{\pi}{4}$ autour  de l'axe
dirigé     par     le      vecteur     $\ve{v_1}$     de     coordonnées
$\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$    dans    la    base
canonique $\BR_0$.
\begin{enumerate}
\item       Montrez       que       $\ve{v_2}$      de       coordonnées
  $\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$  dans  $\BR_0$ est
  orthogonal à $\ve{v_1}$.
\item     Déterminez      un     vecteur     $\ve{v_3}$      tel     que
  $(\ve{v_1},\ve{v_2},\ve{v_3})$ soit une base orthonormée directe.
\item Déterminez $\mat[_0] u$.
\end{enumerate}

\end{exercice}




\begin{exercice}[composée de rotations]
  Dans  $\bbr^3$, soit  $R_x$ la  rotation  autour de  l'axe dirigé  par
  $\ve{e_1}$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$, soit $R_y$ la rotation autour
  de  l'axe dirigé  par $\ve{e_2}$  et d'angle  $\frac{\pi}{2}$  et soit
  $R_z$ la  rotation autour  de l'axe dirigé  par $\ve{e_3}$  et d'angle
  $\frac{\pi}{2}$ .

  Décrivez $R_x\circ R_z$.

\end{exercice}








\begin{exercice}[reconnaître une application linéaire]
  Est-ce  que  l'application  $\colon\begin{array}{rll}  \bbr^3  &\longrightarrow  &
    \bbr^3\\ \ve{x} &  \longmapsto & \ve{x}+\ve{a}\end{array}$ avec $\ve{a}$
  un vecteur fixe est linéaire~?
\end{exercice}


\begin{exercice}[détermination d'une rotation à partir d'une matrice]
On donne la matrice $A=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}
                                1&2&2\\
                                -2&2&-1\\
                                -2&-1&2\\
                       \end{bmatrix}$ d'une  certaine transformation $f$
                       de $\bbr^3$ dans lui-même.
Décrivez $f$ le plus précisément possible.

Faites de même avec la matrice
$B=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}
  2&1&2\\
  -2&2&1\\
  1&2&-2\\
\end{bmatrix}
$
\end{exercice}

\begin{exercice}[matrice d'une rotation]
On  considère la rotation  $u$ d'angle  $\frac{\pi}{4}$ autour  de l'axe
dirigé     par     le      vecteur     $\ve{v_1}$     de     coordonnées
$\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$    dans    la    base
canonique $\BR_0$.
\begin{enumerate}
\item       Montrez       que       $\ve{v_2}$      de       coordonnées
  $\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$  dans  $\BR_0$ est
  orthogonal à $\ve{v_1}$.
\item     Déterminez      un     vecteur     $\ve{v_3}$      tel     que
  $(\ve{v_1},\ve{v_2},\ve{v_3})$ soit une base orthonormée directe.
\item Déterminez $\mat[_0] u$.
\end{enumerate}

\end{exercice}




\begin{exercice}[composée de rotations]
  Dans  $\bbr^3$, soit  $R_x$ la  rotation  autour de  l'axe dirigé  par
  $\ve{e_1}$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$, soit $R_y$ la rotation autour
  de  l'axe dirigé  par $\ve{e_2}$  et d'angle  $\frac{\pi}{2}$  et soit
  $R_z$ la  rotation autour  de l'axe dirigé  par $\ve{e_3}$  et d'angle
  $\frac{\pi}{2}$ .

  Décrivez $R_x\circ R_z$.

\end{exercice}


























\begin{exercice}
On travaille dans $\mathbb{R}^{3}$ et $\mathcal{B}=\left( i,j,k\right) $ est
une $BOND$. Dans ce qui suit, pour les repr\'{e}sentations, on choisira une
mesure d'angle peu diff\'{e}rente de $\frac{\pi }{6}$ ou $\frac{\pi }{3}.$


\begin{enumerate}
\item {On consid\`{e}re la rotation }${\rm Rot}_{1}\left( i,\alpha \right) $%
{\ qui transforme }$\mathcal{B}${\ en }$\mathcal{B}_{1}=\left(
i_{1},j_{1},k_{1}\right) ,${\ repr\'{e}senter }$\mathcal{B}${\
et }$\mathcal{B}_{1}${\ et d\'{e}terminer la matrice }$R_{1}${%
\ de }${\rm Rot}_{1}\left( i,\alpha \right) ${\ dans la base }$\mathcal{B}.$

\item {On consid\`{e}re la rotation }${\rm Rot}_{2}\left( j,\beta \right) $%
{\ qui transforme }$\mathcal{B}${\ en }$\mathcal{B}_{2}=\left(
i_{2},j_{2},k_{2}\right) ${, repr\'{e}senter }$\mathcal{B}${\
et }$\mathcal{B}_{2}${\ et d\'{e}terminer la matrice }$R_{2}${%
\ de }${\rm Rot}_{2}\left( j,\beta \right) ${\ dans la base }$\mathcal{B}.$

\item {On consid\`{e}re la rotation }${\rm Rot}_{3}\left( k,\gamma \right) $%
{\ qui transforme }$\mathcal{B}${\ en }$\mathcal{B}_{3}=\left(
i_{3},j_{3},k_{3}\right) ${,\ repr\'{e}senter }$\mathcal{B}${\
et }$\mathcal{B}_{3}${\ et d\'{e}terminer la matrice }$R_{3}${%
\ de }${\rm Rot}_{3}\left( k,\gamma \right) ${\ dans la base }$\mathcal{B}.$

\item {D\'{e}terminer la matrice de }${\rm Rot}_{3}\left( k,\gamma \right) $%
{\ dans la base }$\mathcal{B}_{3}.$

\item {D\'{e}terminer la matrice de }${\rm Rot}_{3}\left( k,\gamma \right) $%
{\ dans la base }$\mathcal{B}_{2}.$

\item {D\'{e}terminer la matrice de }${\rm Rot}_{2}\left( j,\beta \right) $%
{\ dans la base }$\mathcal{B}_{2}.$

\item {D\'{e}terminer la matrice de }${\rm Rot}_{2}\left( j,\beta \right) $%
{\ dans la base }$\mathcal{B}_{3}.$

\item {On consid\`{e}re la rotation }${\rm Rot}_{4}\left( j_{3},\varphi
\right) ${\ qui transforme la base }$\mathcal{B}_{3}=\left(
i_{3},j_{3},k_{3}\right) ${\ en la base }$\mathcal{B}_{4}=\left(
i_{4},j_{4},k_{4}\right) .$

\begin{enumerate}
\item {D\'{e}terminer la matrice de }${\rm Rot}_{4}\left( j_{3},\varphi
\right) ${\ dans la base }$\mathcal{B}_{3}.$

\item {D\'{e}terminer la matrice de }${\rm Rot}_{4}\left( j_{3},\varphi
\right) ${\ dans la base }$\mathcal{B}.$
\end{enumerate}

\item {D\'{e}terminer la matrice }${\rm Rot}_{1}\circ {\rm Rot}_{2}\circ {\rm Rot}_{3}$%
{\ dans la base }$\mathcal{B}_{2}.$

\item {D\'{e}tertminer la matrice de }${\rm Rot}_{2}\circ {\rm Rot}_{4}\circ
{\rm Rot}_{2}\circ {\rm Rot}_{3}\circ {\rm Rot}_{2}${\ dans la base }$\mathcal{B}_{4}.$

\item {D\'{e}terminer la matrice de passage de }$\mathcal{B}_{2}$%
{\ \`{a} }$\mathcal{B}_{4}.$

\item {D\'{e}terminer la matrice de passage de }$\mathcal{B}_{4}$%
{\ \`{a} }$\mathcal{B}_{3}.$
\end{enumerate}



\end{exercice}









\begin{exercice}
$\mathcal{B}=\left( i,j,k\right) $ est une \textbf{BOND }\ de $\mathbb{R}%
^{3},$ $r_{1}$ est la rotation d'axe $j$ et d'angle de mesure $\alpha \in %
\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] $ qui transforme la BOND $\mathcal{B}$ en la
BOND $\mathcal{B}_{1}=\left( i_{1},j_{1},k_{1}\right) .$


\begin{enumerate}
\item {Faire un dessin clair repr\'{e}sentant }$\mathcal{B}${\
et }$\mathcal{B}_{1}${.}

\item {Donner }$R${\ la matrice de }$r_{1}${\ dans la
base }$\mathcal{B}.$

\item $r_{2}${\ est la rotation d'axe }$i_{1}${\ qui
transforme la BOND }$\mathcal{B}_{1}${\ en la BOND }$\mathcal{B}_{2}$%
{\ et }$r_{3}${\ est la rotation d'axe }$k${\ qui
transforme la BOND }$\mathcal{B}${\ en la BOND }$\mathcal{B}_{3}.$%
{\ On note }$S${\ la matrice de }$r_{2}${\ dans la base 
}$\mathcal{B}_{1}${\ et }$T${\ la matrice de }$r_{3}${\
dans la base }$\mathcal{B}.${\ Donner la matrice de }$r_{2}\circ
r_{1}\circ r_{3}\circ r_{1}\circ r_{2}${\ dans la base }$B_{3}.$
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}
$\mathcal{B}=\left( i,j,k\right) $ est une \textbf{BOND }\ de $\mathbb{R}%
^{3},$ on consid\`{e}re les vecteurs $u$ et $v$ :%
\begin{equation*}
u\left( 
\begin{array}{c}
1 \\ 
2 \\ 
2%
\end{array}%
\right) _{\mathcal{B}}v\left( 
\begin{array}{c}
-2 \\ 
0 \\ 
1%
\end{array}%
\right) _{\mathcal{B}}
\end{equation*}%
et il est manifeste que $u$ et $v$ sont orthogonaux. D\'{e}terminer des
vecteurs $a,b$ et $c$ v\'{e}rifiant : $a$ colin\'{e}aire \`{a} $u,$ $c$ colin%
\'{e}aire \`{a} $v$ et $\left( a,b,c\right) $ est une BOND.
\end{exercice}



















\begin{exercice}[angles d'Euler]
  Calculez la matrice résultant de  la suite de rotations ZXZ des angles
  d'Euler. Déduisez-en que l'ordre est important. 
\end{exercice}

\begin{exercice}[angles de Cardan]
  Décrivez la série de rotations suivante  en vous inspirant de ce qui a
  été fait pour la séquence ZXZ des angles d'Euler.



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{cardan}
\end{center}
\end{figure}

\end{exercice}

% \begin{exercice}[blocage de Cardan]\label{eulerex}
% Le  blocage de  Cardan  (ou  gimble lock  en  anglais) intervient  quand
% l'angle de nutation est proche de 0. On dit alors qu'on perd un degré de
% liberté. Essayez  d'expliquer ce phénomène  en reprenant les  calculs de
% l'exercice précédent.

% \end{exercice}

% \begin{exercice}[modélisation du mouvement de l'épaule]\label{exeuler}
%   Analysez l'article  \emph{Rotation sequence as an  important factor in
%     shoulder kinematics}\cite{eulerarticle}.
% \end{exercice}

% \begin{exercice}[articulation fémur-tibia]
%   Analysez l'article \emph{Alterations in three-dimensional joint kinematics of anterior cruciate ligament-deficient and -reconstructed knees during walking}\cite{alteration}.
% \end{exercice}


% \begin{exercice}[Mouvement de l'épaule et vitesse]
%   Analysez l'article \emph{3-D scapular kinematics during arm elevation : effect of motion velocity}\cite{velocity}.
% \end{exercice}



% \begin{exercice}[Effets d'une manipulation au niveau des vertèbre lombaires]
%   Analysez l'article \emph{Force-deformation response of a lumbar spine : a sagittal plane model of posteroanterior manipulation and mobilization}\cite{manip}.
% \end{exercice}



% \begin{exercice}[Analyse du mouvement des vertèbre lombaires]
%   Analysez l'article \emph{Kinematics of rotational mobilisation of the lumbar spine}\cite{lee}.
% \end{exercice}



% \end{document}

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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "centralB.tex" 
%%% End: 

